Parabol ile doğrunun durumu

Damla kareli kâğıda y = x² − 4x + 5 parabolünü ve y = 2x − 4 doğrusunu özenle çiziyor. Doğru, parabolün sağ kolunun hemen altından sıyırıp geçiyor gibi; (3, 2) civarında kurşun kalemin iki çizgisi üst üste biniyor. Damla karar veremiyor: doğru eğriye bir noktada mı dokunuyor, birbirine çok yakın iki noktada mı kesiyor, yoksa ince bir boşluk mu bırakıyor? Çizim bu soruyu cevaplayamaz, çünkü kalem ucunun kalınlığı farkı yutuyor. İki kuralı eşitlemek ise x² − 6x + 9 = 0 denklemini verir. Bu denklemin tek bir kökü var, x = 3. Doğru parabole yalnız (3, 2) noktasında değiyor, yani teğet. Bu derste kâğıda güvenmeden, tek bir denklemle bu kararı vermeyi öğreniyoruz.

• Bir parabol ile bir doğrunun ortak noktalarını, kuralları eşitleyip kurduğun ikinci dereceden denklemden bulursun.
• Ortak denklemin diskriminantına bakarak doğrunun parabolü kestiğini, ona teğet olduğunu ya da ona hiç değmediğini belirlersin.
• Kesişim noktalarının apsis toplamını, çarpımını ve kirişin orta noktasını noktaları bulmadan kök-katsayı ilişkileriyle hesaplarsın.
• Teğetlik şartından bilinmeyen eğimi ya da sabiti, eğimi verilen teğetin değme noktasını ve iki parabolün ortak noktalarını bulursun.

Ortak nokta iki kuralı birden sağlar

Bir P(x, y) noktası y = mx + n doğrusu ile y = ax² + bx + c eğrisinin ikisinin de üzerindeyse, iki kural aynı x için aynı y'yi vermek zorundadır. Bu yüzden ortak noktaları aramanın ilk adımı sağ tarafları eşitlemektir: ax² + bx + c = mx + n. Her şey sola toplanınca ax² + (b − m)x + (c − n) = 0 elde edilir. Bu derste buna ortak denklem diyeceğiz. Kökleri, ortak noktaların apsisleridir; ordinatlar ise bu apsisler kurallardan birine yazılarak bulunur.

Bir örnekle görelim. y = x² − 3x + 1 ile y = x − 2 için ortak denklem x² − 4x + 3 = 0 olur; çarpanlarına ayrılınca (x − 1)(x − 3) = 0 ve apsisler 1 ile 3 çıkar. Ordinatı hesaplarken doğruyu kullanmak daha az işlem ister: x = 1 için 1 − 2 = −1, x = 3 için 3 − 2 = 1. Ortak noktalar (1, −1) ve (3, 1)'dir. Parabolün kuralıyla kontrol: 1 − 3 + 1 = −1 ve 9 − 9 + 1 = 1, sonuçlar tutar.

Doğrunun kuralında x² terimi olmadığından ortak denklemin baş katsayısı parabolün a'sıyla aynı kalır ve a ≠ 0 olduğu için denklem her zaman ikinci derecedendir. Bu da kökler hakkında bildiğimiz her şeyin burada kullanılabileceği anlamına gelir.

Diskriminant üç durumu ayırır

Modülün ilk dersinde Δ'nın işaretinin gerçek kök sayısını belirlediğini görmüştük. Ortak denklemde gerçek kök sayısı, ortak nokta sayısıdır:

Kancadaki x² − 6x + 9 = 0 için Δ = 36 − 36 = 0 olduğundan doğru teğettir. Aynı parabolü y = 2x − 3 doğrusuyla eşitlersek x² − 6x + 8 = 0 gelir, Δ = 4 > 0 ve doğru parabolü x = 2 ile x = 4'te keser. Sabiti −5 yaptığımızda x² − 6x + 10 = 0 bulunur; Δ = −4 olduğundan doğru eğrinin tamamen altında kalır. Eğimi sabit tutup doğruyu aşağı kaydırmak, iki kesişimi önce tek noktada birleştirir, sonra yok eder.

Bir uyarı: x = 3 gibi dikey bir doğru parabolü daima tek noktada keser, ama ona teğet değildir; parabolün içinden geçip gider. Dikey doğru y = mx + n biçiminde yazılamadığı için yukarıdaki tablo onu kapsamaz. «Tek ortak nokta» ile «teğet» yalnız y = mx + n biçimindeki doğrular için aynı anlama gelir.

x ekseni bu yöntemin özel hâli

Parabol ve grafiği dersinde x ekseniyle kesişimi Δ'yla sınıflandırmıştık. x ekseni, m = 0 ve n = 0 olan y = 0 doğrusudur; ortak denklem ax² + bx + c = 0'ın kendisine iner. Yatay bir y = t doğrusu için ortak denklem ax² + bx + (c − t) = 0 olur ve doğru tam tepeden geçtiğinde, yani t tepenin ordinatı k'ye eşit olduğunda, teğettir. Böylece x ekseni tablosu bu dersin tablosunun bir satırı hâline gelir.

Noktaları bulmadan toplam, çarpım ve orta nokta

Kökler çirkin çıktığında ya da soru yalnız bir toplam istediğinde ortak denklemi çözmek gerekmez. Kök-katsayı ilişkileri dersindeki eşitlikler ortak denkleme uygulanır: apsisler toplamı x₁ + x₂ = −(b − m)/a, apsisler çarpımı x₁ · x₂ = (c − n)/a. Burada kullanılan katsayılar parabolün değil, ortak denklemin katsayılarıdır.

Ordinatlar için doğrunun kuralı yeterlidir. Her iki nokta doğru üzerinde olduğundan y₁ + y₂ = m(x₁ + x₂) + 2n yazılır. İki kesişim noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. Kirişin orta noktasının apsisi (x₁ + x₂)/2'dir ve orta nokta da doğrunun üzerinde olduğundan ordinatı m · (x₁ + x₂)/2 + n ile bulunur.

y = x² + 2x − 5 ile y = 4x + 10 eşitlenince x² − 2x − 15 = 0 gelir. Toplam 2, çarpım −15'tir; kirişin orta noktası x = 1'de ve ordinatı 4 + 10 = 14'tür. Kökler −3 ve 5 olduğundan noktalar (−3, −2) ile (5, 30) çıkar ve ortalamaları gerçekten (1, 14)'tür. Toplamı kullanmadan önce Δ > 0 olduğu doğrulanmalıdır; Δ < 0 iken kök-katsayı formülleri yine bir sayı üretir, ama ortada kesişim ya da kiriş yoktur.

Teğetlik şartından bilinmeyeni bulmak

Doğrunun eğimi ya da sabiti bilinmiyorsa ve doğrunun teğet olduğu söyleniyorsa, ortak denklemin diskriminantı sıfıra eşitlenir. y = 3x + n doğrusu y = x² − x + 2 parabolüne teğet olsun. Ortak denklem x² − 4x + (2 − n) = 0'dır; Δ = 16 − 4(2 − n) = 8 + 4n = 0 eşitliğinden n = −2 gelir.

Teğet noktasının apsisi için çakışık kök kullanılır: iki kök eşit olduğundan her biri toplamın yarısıdır, x = −(b − m)/2a. Örnekte x = 2 ve y = 3 · 2 − 2 = 4 olur; parabolde 4 − 2 + 2 = 4 değeri de bunu doğrular. Bilinmeyen eğim olduğunda Δ = 0 çoğu kez iki çözüm verir. y = mx doğrusu y = x² + 1 parabolüne teğet olsun: x² − mx + 1 = 0 için m² − 4 = 0 ve m = 2 ya da m = −2. Orijinden bu parabole iki teğet çizilebilir; biri (1, 2), öteki (−1, 2) noktasında değer.

Eğimi verilen teğet ve en yakın nokta

Teğetin eğimi m biliniyorsa değme noktası n hesaplanmadan bulunur. Çakışık kökün formülü x = (m − b)/2a'dır ve n'yi içermez. y = x² − 6x + 10 parabolüne eğimi 2 olan teğet x = (2 + 6)/2 = 4 apsisinde değer; ordinat 16 − 24 + 10 = 2'dir. Teğetin sabiti en son çıkar: 2 = 2 · 4 + n eşitliği n = −6 verir.

Bu bilgi bir mesafe sorusunu da çözer. Parabolle hiç kesişmeyen bir doğruya parabolün en yakın noktası, o doğruya paralel teğetin değdiği noktadır; eğri orada doğruya en çok yaklaşır, sonra yine uzaklaşır. Doğrunun eğimini teğetin eğimi olarak almak yeter.

İki parabolün ortak noktaları

Aynı düşünce iki parabol için de çalışır. y = x² − 2x ile y = −x² + 4x − 4 eşitlenirse 2x² − 6x + 4 = 0, sadeleşince x² − 3x + 2 = 0 bulunur. Kökler 1 ve 2'dir; ortak noktalar (1, −1) ve (2, 0). Ortak denklemin Δ'sı sıfırsa iki parabol tek noktada birbirine teğet olur.

Bir istisnaya dikkat: iki parabolün x² katsayıları eşitse x² terimleri birbirini götürür ve ortak denklem birinci dereceye düşer. y = x² + 3x ile y = x² − x + 8 için 4x − 8 = 0, tek ortak nokta (2, 10) çıkar; ama bu bir teğetlik değil, eğriler orada birbirini keser. x katsayıları da eşitse ve sabitler farklıysa denklem 0 = sabit biçimine düşer, çözüm kalmaz ve iki parabol hiç kesişmez. Böyle bir soruda Δ yazmak hatadır, çünkü ortada ikinci dereceden bir denklem yoktur.

Şimdiye kadar yalnız eşitliği, yani parabolün doğruyla buluştuğu yerleri aradık. İki kesişim noktası arasında parabol doğrunun altında mı kalır, bu aralığın dışında doğrunun üstüne mi çıkar? Bu soru, ortak denklemin sol tarafının hangi x aralıklarında pozitif, hangilerinde negatif olduğunu sormakla aynıdır. Sonraki derste ikinci dereceden bir ifadenin işaretini bir tabloda okuyup eşitsizlikleri bu tabloyla çözeceğiz.

Örnek 1 — Kesişim noktalarının ordinatları

Soru: y = x² − 2x − 1 parabolü ile y = x + 3 doğrusunun kesiştiği noktaların ordinatları toplamı kaçtır?

• A) y₁ + y₂ = 3
• B) y₁ + y₂ = 9
• C) y₁ + y₂ = 5
• D) y₁ + y₂ = 11
• E) y₁ + y₂ = 7

Çözüm: Ortak denklem x² − 3x − 4 = 0 olur, (x − 4)(x + 1) = 0 ve apsisler 4 ile −1. Doğruda x = 4 için 7, x = −1 için 2 bulunur; toplam 9. Çözmeden de gidilir: apsis toplamı 3, ordinat toplamı 1 · 3 + 2 · 3 = 9. A seçeneği apsis toplamını cevap sanmaktan gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Orijinden geçen teğet

Soru: y = mx doğrusu y = x² − 2x + 4 parabolüne teğettir ve m > 0'dır. Değme noktası hangisidir?

• A) (2, 4)
• B) (−2, 12)
• C) (4, 8)
• D) (1, 3)
• E) (−3, 18)

Çözüm: Ortak denklem x² − (2 + m)x + 4 = 0'dır. Teğetlik için (2 + m)² − 16 = 0, buradan 2 + m = 4 ya da 2 + m = −4; yani m = 2 ya da m = −6. Pozitif olan m = 2'dir. Çakışık kök toplamın yarısıdır: x = (2 + m)/2 = 2, y = 2 · 2 = 4. Parabolde de 4 − 4 + 4 = 4 çıkar. B seçeneği m = −6 için bulunan değme noktasıdır; işaret şartı okunmazsa o seçilir. Cevap: A.

Örnek 3 — Kirişin orta noktası

Soru: y = 2x² − 3x + 1 parabolü ile y = 5x − 3 doğrusunun kesişim noktalarını birleştiren kirişin orta noktası nedir?

• A) (2, 3)
• B) (4, 17)
• C) (2, 7)
• D) (3, 12)
• E) (−2, −13)

Çözüm: Ortak denklem 2x² − 8x + 4 = 0'dır. Önce kesişimin varlığı: Δ = 64 − 32 = 32 > 0, iki nokta vardır. Apsis toplamı 8/2 = 4, orta nokta x = 2'de; ordinatı doğrudan 5 · 2 − 3 = 7. Kökler 2 ± √2 gibi köklü sayılar olduğu için onları bulmak gereksiz yere uzardı. A seçeneği orta noktanın ordinatını parabolde hesaplamaktan gelir; orta nokta parabolün değil doğrunun üzerindedir. Cevap: C.

Örnek 4 — Birbirine teğet iki parabol

Soru: y = x² + kx + 3 ve y = −x² + 2x + 1 parabolleri birbirine teğettir. k'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

• A) k₁ + k₂ = 8
• B) k₁ + k₂ = −4
• C) k₁ + k₂ = 2
• D) k₁ + k₂ = 4
• E) k₁ + k₂ = −12

Çözüm: Eşitleyince 2x² + (k − 2)x + 2 = 0 bulunur; x² katsayıları farklı olduğundan denklem ikinci derecedendir. Teğetlik: (k − 2)² − 16 = 0, yani k − 2 = 4 ya da k − 2 = −4; k = 6 ya da k = −2. Toplam 4'tür. E seçeneği değerlerin çarpımıdır. Cevap: D.

• Diskriminantı parabolün kendi katsayılarından almak. Doğruyla ilgili soruda Δ, x ekseni sorusundaki gibi ax² + bx + c'den değil, doğru çıkarıldıktan sonra kalan ortak denklemden hesaplanır.
• Toplamı Δ'ya bakmadan kullanmak. Ortak denklemin gerçek kökü yoksa −(b − m)/a yine bir sayı verir; ama kesişim noktası, kiriş ve orta nokta yoktur.
• Orta noktanın ordinatını parabolde hesaplamak. Kirişin orta noktası doğrunun üzerindedir, parabolün üzerinde değildir; ordinat doğrunun kuralından gelir.
• x² katsayıları eşit iki parabolde Δ yazmak. Ortak denklem birinci dereceye düşer; tek ortak nokta bir kesişimdir, teğetlik değildir.
• Tek ortak noktayı her zaman teğet saymak. Dikey doğru parabolü tek noktada keser ama teğet değildir; eşitlik «tek nokta = teğet» yalnız y = mx + n doğrularında geçerlidir.