Parabol ve grafiği

Şebnem, y = x² − 5x + 4 grafiğini çizmek için defterine bir değer tablosu hazırlıyor: x = 0, 1, 2, 3, 4 için sırasıyla 4, 0, −2, −2, 0 buluyor. Noktaları birleştirince eğrinin dibini −2 sanıp «en küçük değer −2» yazıyor. Cevap anahtarında ise −9/4 var. Tablosunda hiçbir hata yok; eksik olan, tam sayıların arasına düşen bir nokta. x = 2 ile x = 3'te aynı değerin çıkması aslında bir ipucuydu: parabol bu iki noktanın tam ortasından, x = 2,5'ten geçen dikey bir doğruya göre simetrik ve dönüş noktası orada. f(2,5) = 6,25 − 12,5 + 4 = −2,25 = −9/4. Bu derste tepe noktasını tahmin etmeden, tek bir formülle bulmayı ve parabolün geri kalanını o noktadan okumayı öğreniyoruz.

• y = ax² + bx + c parabolünün tepe noktasını r = −b/2a ve k = f(r) ile bulur, simetri eksenini ve görüntü kümesini yazarsın.
• Parabolün eksenleri kestiği noktaları c ve Δ'dan belirler, kökleri ya da tepesi verilen parabolün denklemini kurarsın.
• Bir ikinci derece fonksiyonun tüm gerçek sayılarda ve kapalı bir aralıkta aldığı en büyük ve en küçük değeri hesaplarsın.
• Grafiğin kollarından, tepesinden ve eksen kesişimlerinden a, b, c ve Δ'nın işaretlerini çıkarırsın.

Kolların yönü ve açıklık

a ≠ 0 olmak üzere y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiğine parabol denir. Şeklini önce en sade hâlinde, y = ax² ile görelim. Apsisi 1 ve 2 olan noktalarda y = x² sırasıyla 1 ve 4, y = 2x² ise 2 ve 8 değerini alır; y = ½x² aynı noktalarda yalnız ½ ve 2'ye çıkar. Her üç eğri de orijinden geçer ve yukarı açılır, ama katsayı büyüdükçe değerler hızla tırmanır ve kollar birbirine yaklaşır. Kural iki parçalıdır: a > 0 iken kollar yukarı, a < 0 iken aşağı yönelir; |a| büyüdükçe parabol daralır, küçüldükçe genişler. y = −3x² ile y = 3x² aynı açıklıktadır, yalnızca biri ötekinin x eksenine göre aynasıdır. Bu yansımayı ve grafiği kaydırmayı öteleme ve yansımanın işlendiği dönüşümler dersinde nokta nokta izlemiştik; burada parabolün kendi denkleminden neler okunabildiğine bakıyoruz.

Simetri ekseni

Kancadaki tabloda f(1) = f(4) = 0 ve f(2) = f(3) = −2 çıkmıştı. Eşit değer veren her iki apsisin ortası aynı yerdir: (1 + 4)/2 = (2 + 3)/2 = 2,5. Bu tesadüf değildir. Her parabol, tepesinden geçen dikey bir doğruya göre simetriktir; bu doğruya simetri ekseni denir. Sonuç sık kullanılır: f(x₁) = f(x₂) ve x₁ ≠ x₂ ise simetri ekseni x = (x₁ + x₂)/2 doğrusudur. Soruda iki noktada eşit değer verildiyse eksen tek satırda bulunur.

Tepe noktası: r = −b/2a

Eksenin yerini katsayılardan bulmak için tam kareye tamamlama yapılır. Hedef, ifadeyi a(x + b/2a)² + c − b²/4a biçiminde yazmaktır; doğruluğu açarak görülür, çünkü a(x + b/2a)² çarpımı ax² + bx + b²/4a verir ve fazladan gelen b²/4a sondaki eksiyle geri alınır. Kare terim hiçbir zaman negatif olmaz ve x = −b/2a'da sıfırlanır. Bu yüzden tepe noktası T(r, k) için r = −b/2a bulunur. Ordinat iki yoldan hesaplanır: r fonksiyonda yerine yazılır, k = f(r); ya da sondaki sabit düzenlenir, k = (4ac − b²)/4a = −Δ/4a.

Bir örnekle sınayalım: y = 2x² − 8x + 3 için r = 8/4 = 2 ve k = f(2) = 8 − 16 + 3 = −5. Öteki yol aynı sayıyı verir: Δ = 64 − 24 = 40, −40/8 = −5. Tepe T(2, −5)'tir. TYT'de grafik okurken en alçak noktayı tam kareye tamamlayarak bulmuştuk; formül o işlemin genel sonucudur ve her parabolde aynı adımları tekrarlamaktan kurtarır.

Tepe biçimi ve görüntü kümesi

Tamamlamanın sonucu y = a(x − r)² + k biçiminde yazılır. Örneğimizde y = 2(x − 2)² − 5 elde edilir ve açınca yine 2x² − 8x + 3 çıkar. Bu biçim parabolü bir bakışta anlatır: y = ax² eğrisi r birim yatay, k birim dikey kaydırılmıştır. a > 0 olduğunda kare terim sıfırdan küçük olamayacağından en küçük değer k'dir ve görüntü kümesi [k, ∞) olur; a < 0 olduğunda k en büyük değerdir ve görüntü kümesi (−∞, k] olur. y = 2(x − 2)² − 5 için görüntü kümesi [−5, ∞)'dur.

Eksenleri kestiği noktalar

y eksenini kestiği nokta için x = 0 yazılır ve her zaman (0, c) çıkar; c'nin işareti, parabolün y eksenine eksenin üstünde mi altında mı değdiğini söyler. x ekseniyle kesişim y = 0 demektir; kesişimlerin apsisleri, ikinci dereceden ifadeyi sıfır yapan gerçek sayılardır. Modülün ilk dersindeki diskriminant burada grafiğe dönüşür:

Tablonun son satırındaki x² + 2x + 5 = 0 eşitliğinin kökleri −1 ± 2i biçiminde iki karmaşık sayıdır; gerçek olmadıkları için grafikte x ekseniyle buluşma noktası olarak görünmezler. Tepenin nereye düştüğü de aynı sayıdan okunur, çünkü k = −Δ/4a. Kollar yukarıdayken (a > 0) Δ > 0 ise k < 0 olur: tepe x ekseninin altına iner ve yukarı açılan kollar ekseni iki kez geçmek zorunda kalır. Δ = 0 ise k = 0 olur ve tepe tam eksenin üzerine oturur. Δ < 0 ise k > 0 olur, tepe eksenin üstünde kalır ve eğri eksene hiç ulaşamaz. Kollar aşağıdayken aynı tablo ters yönde okunur: iki kesişim için tepenin eksenin üstünde olması gerekir.

Kökleri verilen parabol

Kökler x₁ ve x₂ ise parabolün kuralı (x − x₁)(x − x₂) çarpımının a katıdır; a'yı bulmak için bir nokta daha gerekir. Simetri ekseni köklerin tam ortasından geçer, yani r = (x₁ + x₂)/2. Kök-katsayı ilişkileri dersindeki x₁ + x₂ = −b/a eşitliğini ikiye bölmek de aynı r = −b/2a sonucunu verir. y = (x + 2)(x − 4) parabolünde r = 1 ve k = (1 + 2)(1 − 4) = −9 olur; tepe T(1, −9)'dur ve açmaya gerek kalmadan bulunur.

Denklemi kurmanın üç yolu

Hangi bilgi verildiyse ona uyan kalıp seçilir. Tepe ve bir nokta verilmişse y = a(x − r)² + k yazılıp nokta yerine konur. Kökler ve bir nokta verilmişse çarpanlı kalıp kullanılır. Yalnız üç nokta verilmişse y = ax² + bx + c'de üç denklem kurulur; noktalardan biri y ekseni üzerindeyse c hemen bulunur. (0, −4), (1, −3) ve (−1, −1) noktalarından geçen parabolde c = −4'tür; geri kalan iki nokta a + b = 1 ve a − b = 3 denklemlerini verir, buradan a = 2, b = −1 ve y = 2x² − x − 4 elde edilir.

En büyük ve en küçük değer

Tanım kümesi bütün gerçek sayılarsa uç değer tepededir: kollar yukarıysa k en küçük değer olur ve en büyük değer yoktur; kollar aşağıysa tersi geçerlidir. Örneğin 40 metre telle bir duvarın önüne üç kenarı telden dikdörtgen bir bahçe çevrilecekse, duvara dik kenarlar x olduğunda alan x(40 − 2x) olur; bu parabol x = 10'da en büyük değerine, 200 metrekareye ulaşır.

Tanım kümesi [p, q] gibi kapalı bir aralıksa iki aday daha devreye girer: uç noktalar. Kural, tepenin aralığın içinde olup olmadığına bakmaktır. h(x) = x² − 2x − 3 için tepe T(1, −4)'tür. [−2, 2] aralığında tepe içeride kalır: en küçük değer −4, en büyük değer ise uçlardan büyük olanıdır; h(−2) = 5, h(2) = −3 olduğundan 5'tir. [2, 4] aralığında tepe dışarıda kalır, fonksiyon bu aralıkta yalnız artar ve iki uç değer h(2) = −3 ile h(4) = 5 olur. Tepe aralığın dışındayken k'yi cevap yazmak bu konunun en sık hatasıdır.

Grafikten işaret okumak

Çizilmiş bir parabolden katsayıların işaretleri sırayla okunur. a, kolların yönünden gelir. c, y ekseninin kesildiği yerin işaretidir. Δ, x ekseniyle kesişim sayısından gelir: iki kesişim Δ > 0, teğetlik Δ = 0, hiç kesişim yoksa Δ < 0. b doğrudan görünmez; r = −b/2a eşitliği b = −2ar biçiminde yazılınca okunur. Tepe y ekseninin sağındaysa (r > 0) b ile a zıt işaretlidir, solundaysa aynı işaretlidir, tepe y ekseni üzerindeyse b = 0'dır. Kısa bir hatırlatma: f(1) = a + b + c ve f(−1) = a − b + c olduğundan grafiğin apsisi 1 ve −1 olan noktalardaki yükseklikleri bu iki toplamın işaretini de verir.

Bu dersin sonunda parabol tek başına duruyor. Aynı düzleme bir de y = mx + n doğrusu çizildiğinde, doğru parabolü iki noktada mı keser, bir noktada mı teğet geçer, yoksa ona hiç dokunmadan mı geçer? Bu üç durumu hangi denklemin diskriminantının ayırdığı sonraki dersin konusu.

Örnek 1 — Tepe noktası

Soru: y = 3x² + 12x + 7 parabolünün tepe noktası nedir?

• A) (2, 43)
• B) (−4, 7)
• C) (−2, −5)
• D) (−6, 43)
• E) (1, 22)

Çözüm: r = −12/6 = −2 ve k = f(−2) = 12 − 24 + 7 = −5. A seçeneği r'nin işaretini kaçırmaktan, B seçeneği 2'ye bölmeyi unutup r = −b/a almaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Tepe ve bir noktadan denklem

Soru: Tepe noktası T(1, −8) olan ve (3, 0) noktasından geçen parabol y eksenini hangi noktada keser?

• A) (0, −8)
• B) (0, −6)
• C) (0, 6)
• D) (0, −2)
• E) (0, −10)

Çözüm: y = a(x − 1)² − 8 yazılır. (3, 0) yerine konursa 4a − 8 = 0 ve a = 2 olur. y = 2(x − 1)² − 8 = 2x² − 4x − 6, dolayısıyla x = 0 için y = −6. Parabolün kökleri −1 ve 3'tür; ortaları 1, tepeyle uyumludur. Cevap: B.

Örnek 3 — Kapalı aralıkta uç değerler

Soru: f(x) = x² − 4x + 1 fonksiyonunun [−2, 3] aralığındaki en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

• A) 11
• B) 16
• C) −5
• D) 10
• E) 13

Çözüm: Tepe r = 2'dedir ve aralığın içindedir; en küçük değer f(2) = −3. En büyük değer uçlardan gelir: f(−2) = 13, f(3) = −2, büyük olan 13. Toplam 13 + (−3) = 10. A seçeneği tepeyi atlayıp yalnız uçlara bakmaktan (13 − 2), B seçeneği toplam yerine farkı almaktan gelir. Cevap: D.

Örnek 4 — İşaret okuma

Soru: Vural'ın defterine çizdiği y = ax² + bx + c parabolünün kolları aşağı yönelmiş, tepe noktası y ekseninin sağında kalmış, grafik y eksenini negatif tarafta ve x eksenini iki noktada kesiyor. Buna göre hangisi doğrudur?

• A) a · c < 0
• B) b < 0
• C) Δ < 0
• D) b · c > 0
• E) a · b · c > 0

Çözüm: Kollar aşağı olduğundan a < 0, y ekseni kesişimi negatif olduğundan c < 0. r > 0 ve b = −2ar olduğundan b, a'nın zıt işaretlisi, yani b > 0. İki kesişim Δ > 0 demektir. a · c > 0, b · c < 0 ve a · b · c = (−) · (+) · (−) > 0 olur. Cevap: E.

• r = −b/a yazmak. Payda 2a'dır; 2 unutulunca tepe yanlış apsise kayar ve k de bozulur.
• Kapalı aralıkta tepeyi kontrolsüz almak. Tepe aralığın dışındaysa uç değerler yalnız uç noktalardan gelir; içindeyse yine de en büyük (ya da en küçük) değer için uçlara bakılır.
• Tamsayı tablosuyla tepeyi aramak. Tepe kesirli bir apsiste olabilir; eşit değer veren iki noktanın ortası ya da −b/2a kullanılır.
• b'nin işaretini tepenin konumundan doğrudan okumak. b, r ile aynı değil, −2ar ile aynı işaretlidir; a'nın işareti hesaba katılmalıdır.
• Parametreli soruda yalnız Δ koşulunu yazmak. «Kolları aşağı» ya da «en küçük değeri var» gibi bir ifade a'nın işaretine ayrı bir şart koyar; Δ'dan gelen aralık bu şartla kesiştirilmeden cevap verilmez.