Karmaşık sayılar

Rabia, x² − 4x + 13 = 0 denklemini çözerken diskriminantı hesapladı: 16 − 52 = −36. Defterine «Δ negatif, çözüm kümesi boş» yazıp kitabı kapattı. Ağabeyi Taylan deftere bakıp formülü sonuna kadar yazmasını istedi: x = (4 ± √(−36))/2. Rabia itiraz etti; negatif sayının karekökü olmazdı. Taylan, karesi −1 olan bir sayıya i adını verip √(−36) yerine 6i yazdı ve kökleri 2 + 3i ile 2 − 3i olarak buldu. Sonra 2 + 3i'yi denklemde yerine koydu: 4 + 12i − 9 − 8 − 12i + 13 = 0. Denklem sağlanıyordu. Diskriminant dersinde kökü olmadığı söylenip geçilen her ikinci dereceden denklem, i ile kurulan sayılar arasında iki köke kavuşur. Bu derste o sayıların kümesini kuruyoruz: i'nin kuvvetleri, dört işlem, eşlenik, modül ve Δ < 0 olan denklemlerin kökleri.

• i'nin kuvvetlerini üssün 4'e bölümünden kalanla hesaplar, ardışık kuvvetlerin toplamını bulursun.
• Karmaşık sayılarla toplama, çıkarma ve çarpma yapar, bölmede paydayı eşleniğiyle genişletirsin.
• Eşlenik ve modül kurallarıyla |z|, z · z̄ ve karmaşık düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplarsın.
• Diskriminantı negatif olan gerçek katsayılı denklemin eşlenik köklerini bulur, bir kökü verilen denklemi kurarsın.

Karesi negatif olan sayı

TYT'deki «Köklü sayılarda temel kurallar» dersinde √(−4)'ün gerçek sayılarda tanımsız olduğunu gördük; sayı doğrusundaki her sayının karesi sıfır ya da pozitiftir. Bu engeli aşmak için gerçek sayılara yeni bir sayı eklenir. Karesi −1 olan bu sayıya sanal birim (imaginary unit) denir ve i ile gösterilir:

i² = −1, yani i = √(−1).

Bu tanımla her negatif sayının karekökü yazılabilir. a > 0 olmak üzere √(−a) = √a · i olur. Böylece √(−4) = 2i, √(−49) = 7i, √(−12) = 2√3 · i bulunur. Sağlaması kolaydır: (2i)² = 4 · i² = −4.

i'nin kuvvetleri

i'nin ilk kuvvetleri hesaplanınca bir düzen ortaya çıkar: i¹ = i, i² = −1, i³ = i² · i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Beşinci kuvvette baştan başlanır, çünkü i⁵ = i⁴ · i = i'dir. Değerler i, −1, −i, 1 sırasıyla dörder dörder döner. Bu yüzden iⁿ hesaplanırken n'nin 4'e bölümünden kalan bulunur ve yalnız o kalan kuvvet alınır. i²⁰²⁷ için 2027 = 4 · 506 + 3 olduğundan i²⁰²⁷ = i³ = −i'dir. Kalan 0 çıkarsa sonuç i⁰ = 1'dir.

Negatif üste de aynı döngü işler, yeter ki kalan 0, 1, 2 ya da 3 olarak seçilsin. i⁻¹ = 1/i'dir; payı ve paydayı i ile çarpınca i/i² = −i bulunur. Döngüyle de aynı sonuç çıkar: −1 = 4 · (−1) + 3 ve i³ = −i. Benzer biçimde −13 = 4 · (−4) + 3 olduğundan i⁻¹³ = −i olur.

Ardışık dört kuvvetin toplamı her zaman sıfırdır: i + (−1) + (−i) + 1 = 0. i + i² + … + i³⁰ toplamında ilk 28 terim yedi tam döngü oluşturup sıfırlanır; geriye i²⁹ + i³⁰ = i + (−1) kalır ve toplam −1 + i olur. Bu tür sorularda terim sayısı 4'ün katına kadar atılır, artan birkaç terim tek tek eklenir.

Karmaşık sayı, gerçek kısım ve sanal kısım

a ve b gerçek sayılar olmak üzere z = a + bi biçimindeki sayılara karmaşık sayı (complex number) denir; bunların kümesi ℂ ile gösterilir. a'ya z'nin gerçek kısmı, b'ye sanal kısmı denir ve Re(z) = a, Im(z) = b yazılır. Dikkat: sanal kısım bi değil, yalnız b sayısıdır. z = 4 − 7i için Re(z) = 4 ve Im(z) = −7'dir.

b = 0 ise z = a bir gerçek sayıdır; demek ki her gerçek sayı sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıdır ve ℝ ⊂ ℂ'dir. a = 0 ve b ≠ 0 olan 5i, −2i gibi sayılara saf sanal sayı adı verilir.

Karmaşık sayıların eşitliği

Bir karmaşık sayı gerçek kısmı ve sanal kısmıyla tek biçimde belirlenir. Bu yüzden a + bi = c + di eşitliği, a = c ve b = d eşitliklerinin ikisinin birden sağlanması demektir. (x − 2) + (y + 1)i = 5 − 3i verilmişse x − 2 = 5 ve y + 1 = −3 yazılır; x = 7, y = −4 bulunur. Polinom eşitliğinde aynı dereceli terimlerin katsayılarını karşılaştırdığımız gibi burada da parçalar ayrı ayrı eşitlenir. Gerçek sayılardan farklı olarak karmaşık sayılar arasında «büyüktür» ilişkisi tanımlanmaz; 3 + i ile 2 + 5i'nin hangisinin büyük olduğu sorusunun anlamı yoktur.

Toplama, çıkarma ve çarpma

Toplama ve çıkarmada gerçek kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar kendi aralarında işleme girer: (3 + 2i) + (1 − 5i) = 4 − 3i. Çarpma, iki terimli ifadelerin çarpımı gibi dağıtılarak yapılır; i²'nin görüldüğü her yere −1 yazılır:

(3 − 2i)(1 + 4i) = 3 + 12i − 2i − 8i² = 3 + 10i + 8 = 11 + 10i.

Sık karşılaşılan iki çarpım ezberlenmeye değer: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i ve (1 − i)² = −2i. Yüksek kuvvetlerde bu kısayol işi kısaltır: (1 + i)⁸ = ((1 + i)²)⁴ = (2i)⁴ = 16 · i⁴ = 16.

Eşlenik

z = a + bi sayısının eşleniği (conjugate), sanal kısmının işareti değiştirilerek elde edilir ve z̄ = a − bi ile gösterilir. 2 + 3i'nin eşleniği 2 − 3i, −5i'ninki 5i, 7'ninki yine 7'dir. Bir sayı ile eşleniği toplanınca sanal kısımlar yok olur: z + z̄ = 2a. Çarpılınca ise iki kare farkı özdeşliği iş görür ve sonuç her zaman negatif olmayan bir gerçek sayıdır:

z · z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² − b²i² = a² + b².

Toplamın, farkın ve çarpımın eşleniği, eşleniklerin toplamına, farkına ve çarpımına eşittir. Eşleniğin eşleniği sayının kendisidir.

Bölme

z · z̄ çarpımının gerçek çıkması bölmenin anahtarıdır. Paydada karmaşık sayı varsa pay ve payda, paydanın eşleniğiyle çarpılır; payda böylece gerçek bir sayıya dönüşür. (5 + i)/(1 − i) için eşlenik 1 + i'dir:

(5 + i)(1 + i)/((1 − i)(1 + i)) = (5 + 5i + i + i²)/(1 + 1) = (4 + 6i)/2 = 2 + 3i.

Sonucu sağlamak için 2 + 3i ile 1 − i çarpılır; 2 − 2i + 3i − 3i² = 5 + i elde edilir. Paydadaki çarpım a² − b² değil a² + b²'dir; işaret hatası en çok burada yapılır.

Modül

z = a + bi'nin modülü (modulus) |z| = √(a² + b²) sayısıdır. |3 − 4i| = √(9 + 16) = 5. Eşlenik çarpımıyla birleştirilince z · z̄ = |z|² eşitliği çıkar. Modülün işlemlerle ilişkisi hesapları açmadan sonuç almayı sağlar:

• |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂| ve z₂ ≠ 0 için |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|,
• |zⁿ| = |z|ⁿ,
• |z̄| = |z| ve |−z| = |z|.

|(3 + 4i)(1 − i)| sorulduğunda çarpımı yapmaya gerek yoktur: 5 · √2 = 5√2. Toplama için böyle bir kural yoktur; |z₁ + z₂| genel olarak |z₁| + |z₂|'ye eşit değildir.

Karmaşık düzlem

z = a + bi sayısı, koordinat düzleminde (a, b) noktasıyla gösterilir. Yatay eksen gerçek eksen, düşey eksen sanal eksen olarak adlandırılır. Bu resimde |z|, noktanın başlangıç noktasına uzaklığıdır; tanım Pisagor teoreminden başka bir şey değildir. Eşlenik z̄ = a − bi, noktanın gerçek eksene göre yansımasıdır.

İki karmaşık sayının farkının modülü, düzlemdeki iki noktanın arasındaki uzaklığı verir. z₁ = 1 + 2i ve z₂ = 4 − 2i için z₁ − z₂ = −3 + 4i ve |z₁ − z₂| = 5 bulunur. Analitik geometrideki «Koordinat düzlemi ve iki nokta arası uzaklık» dersinde (1, 2) ile (4, −2) noktaları için yazılan √(3² + 4²) hesabının aynısıdır.

Negatif sayıların kökleri çarpılırken

TYT'de a ve b negatif olmayan sayılar için √a · √b = √(ab) kuralını kullandık. Kural her iki sayı negatifken bozulur. √(−4) · √(−9) çarpımı √36 = 6 diye yazılamaz. Doğru yol, i'yi önce dışarı çıkarmaktır: √(−4) · √(−9) = 2i · 3i = 6i² = −6. Sayılardan yalnız biri negatifse kural yine çalışır: √(−3) · √12 = √3 · i · √12 = 6i. Güvenli alışkanlık şudur: kök içinde eksi işareti gördüğün anda onu i olarak dışarı al, işlemi sonra yap.

Diskriminantı negatif olan denklemler

Diskriminantı negatif çıkan ikinci dereceden bir denklemde kök formülündeki √Δ artık bir sanal sayıdır. Kancadaki x² − 4x + 13 = 0 denkleminde √(−36) = 6i yazılınca x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i bulunur. Katsayılar gerçek olduğunda kökler daima birbirinin eşleniğidir, çünkü ± işareti yalnız sanal kısmın önüne düşer. Bir önceki derste kökler toplamı 2, çarpımı 5 hesaplandığı hâlde kökü gösterilemeyen x² − 2x + 5 = 0 artık çözülür: diskriminant −16, onun karekökü 4i, kökler 1 ± 2i. Bu iki sayı toplanınca 2, çarpılınca 1 − 4i² = 5 verir.

«Kök-katsayı ilişkileri» dersindeki kurallar karmaşık köklerde de geçerlidir. 2 + 3i ile 2 − 3i'nin toplamı 4 = −b/a, çarpımı 4 + 9 = 13 = c/a'dır. Eşlenik kökler için bu iki sayının anlamı da açıktır: toplam gerçek kısmın iki katı, çarpım ise modülün karesidir.

Bir kökü verilen denklemi kurmak

Gerçek katsayılı ikinci dereceden bir denklemin kökünün 3 − 2i olduğu söylenirse öteki kök sorulmasa da bellidir: 3 + 2i. Kökler toplamı 6, kökler çarpımı 9 + 4 = 13 olduğundan baş katsayısı 1 olan denklem x² − 6x + 13 = 0'dır. Genel olarak a ± bi kökleri x² − 2a · x + (a² + b²) = 0 denklemini verir. «Gerçek katsayılı» şartı burada zorunludur; katsayılardan biri karmaşık olsaydı eşlenik sayı kök olmak zorunda kalmazdı.

Kökler ve grafik

Gerçek kök bulunmayan denklemlerin kökleri artık yazılabiliyor; ancak bir sayının karmaşık çıkması onun sayı doğrusunda yerinin olmadığını da söyler. Sıradaki ders «Parabol ve grafiği»: y = ax² + bx + c eğrisi çizildiğinde Δ'nın işareti resimde nasıl okunur? Eğrinin x eksenini iki noktada kesmesi, ona tek noktada değmesi ya da hiç ulaşmaması köklerin türü hakkında ne söyler, tepe noktası bu üç durumda nereye düşer?

Örnek 1 — Negatif üslü kuvvetler

Soru: i⁵⁸ + i⁻¹³ + i²⁰³ toplamı neye eşittir?

• A) −1
• B) −1 − 2i
• C) 1 − 2i
• D) −1 + 2i
• E) −2i

Çözüm: 58 = 4 · 14 + 2 olduğundan i⁵⁸ = −1. −13 = 4 · (−4) + 3 olduğundan i⁻¹³ = i³ = −i. 203 = 4 · 50 + 3 olduğundan i²⁰³ = −i. Toplam −1 − 2i olur. i⁻¹³'ü i¹³ = i gibi alan öğrenci −1 + i − i = −1 bulur. Cevap: B.

Örnek 2 — Bölme

Soru: z = (8 + i)/(2 − i) olmak üzere Re(z) + Im(z) kaçtır?

• A) 1
• B) 25/3
• C) 5
• D) 13/5
• E) 27/5

Çözüm: Pay ve payda 2 + i ile çarpılır. Payda 4 + 1 = 5 olur. Pay 16 + 8i + 2i + i² = 15 + 10i'dir. z = 3 + 2i, Re(z) + Im(z) = 5. Paydayı 4 − 1 = 3 yazan 25/3'e, i²'yi +1 alan 27/5'e ulaşır. Cevap: C.

Örnek 3 — Modül kuralları

Soru: z = (3 + 4i) · (1 − i)²/(2 + i) sayısının modülü kaçtır?

• A) 10
• B) 2√5
• C) 5√2
• D) 4
• E) 10√5

Çözüm: Çarpımı açmak gerekmez. |3 + 4i| = 5, |(1 − i)²| = |1 − i|² = 2, |2 + i| = √5'tir. |z| = 5 · 2/√5 = 10/√5 = 2√5. Paydayı unutan 10'a, paydayla çarpan 10√5'e varır. Cevap: B.

Örnek 4 — Kökten denklem kurma

Soru: m ve n gerçek sayılar olmak üzere x² + mx + n = 0 denkleminin bir kökü 3 − 2i'dir. m + n toplamı kaçtır?

• A) −1
• B) 19
• C) −7
• D) 7
• E) 13

Çözüm: Katsayılar gerçek olduğundan öbür kök 3 + 2i'dir. Kökler toplamı 6 = −m, yani m = −6. Kökler çarpımı 9 + 4 = 13 = n. m + n = 7. m'yi işaretsiz 6 alan 19'a, çarpımı 9 − 4 = 5 yazan −1'e ulaşır. Cevap: D.

• √(−4) · √(−9)'u √36 diye birleştirmek. √a · √b = √(ab) kuralı iki sayı birden negatifken bozulur; önce i dışarı alınır ve sonuç −6 çıkar.
• Sanal kısmı i ile birlikte yazmak. z = 2 − 5i için Im(z) = −5'tir, −5i değil.
• Negatif üste kalanı yanlış almak. i⁻¹ = −i'dir; i⁻ⁿ'yi iⁿ ile aynı sanmak işaret hatası doğurur.
• Bölmede paydayı a² − b² yazmak. (a + bi)(a − bi) = a² + b²'dir; i² = −1 olduğu için eksi artıya döner.
• Modülü a + b ya da √(a² − b²) sanmak. |a + bi| = √(a² + b²); |3 + 4i| = 5'tir, 7 değil.
• Her denklemde eşlenik kökü otomatik yazmak. Kökün eşleniği ancak katsayılar gerçekse kesin olarak öteki köktür.