Kök-katsayı ilişkileri

Nehir deneme kitapçığında x² − 7x + 3 = 0 denkleminin kökleri için x₁² + x₂² değerini arıyor. Kök formülünü yazıyor, Δ = 37 çıkıyor ve kökler (7 + √37)/2 ile (7 − √37)/2 oluyor. İkisinin karesini ayrı ayrı açarken kesirler ve kökler birbirine giriyor, iki dakika geçiyor. Yan sıradaki Lale soruya bakıp on saniyede «43» diyor ve kâğıdına yalnız tek satır yazıyor: 7² − 2 · 3. Nehir kökleri hiç bulmadan nasıl sonuca varıldığını soruyor. Lale'nin cevabı kısa: soru kökleri değil, köklerin toplamını ve çarpımını istiyordu; bu ikisi de denklemin katsayılarında zaten yazılı. Bu ders o tek satırın nereden geldiğini ve nerede işe yarayıp nerede yanılttığını gösteriyor.

• ax² + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamını, çarpımını ve köklerin farkının mutlak değerini katsayılardan hesaplarsın.
• x₁² + x₂², 1/x₁ + 1/x₂, x₁³ + x₂³ gibi simetrik ifadeleri toplam ve çarpım cinsinden yazıp değerlerini bulursun.
• Kökleri verilen ya da başka bir denklemin köklerine bağlı olan ikinci dereceden denklemi kurarsın.
• Köklerin işaretine, oranına ya da farkına dair bir koşuldan parametreyi bulur, her adayı Δ şartıyla sınarsın.

Toplam ve çarpım kök formülünden çıkar

Gerçek kökleri olan bir ax² + bx + c = 0 denkleminde (a ≠ 0) bir önceki dersin kök formülü iki değer verir: x₁ = (−b + √Δ)/(2a) ve x₂ = (−b − √Δ)/(2a). İki kesrin paydası aynı olduğu için toplamak kolaydır: payda √Δ terimleri birbirini götürür, geriye −2b/(2a) kalır. Böylece

x₁ + x₂ = −b/a

bulunur. Çarpımda payda iki kare farkı belirir: (−b + √Δ)(−b − √Δ) = b² − Δ. Δ = b² − 4ac olduğundan bu fark 4ac'ye eşittir ve 4ac/(4a²) sadeleşince

x₁ · x₂ = c/a

elde edilir. 2x² − 5x − 3 = 0 denklemi ile sınayalım. Kökleri 3 ile −1/2'dir; toplamları 5/2, çarpımları −3/2 olur. Katsayılardan da −(−5)/2 = 5/2 ve −3/2 okunur. Kökler bilinmeden, tek bir karekök almadan iki bilgi elde edildi.

Aynı sonuca çarpanlar yolundan da varılır. Köklerden çarpanlara geçişi işlediğimiz derste, x₁ ve x₂ kökleri olan bir polinomun a(x − x₁)(x − x₂) biçiminde yazılabildiğini gördük. Bu çarpım açılınca ax² − a(x₁ + x₂)x + a · x₁x₂ çıkar. Katsayılar eşleştirildiğinde b = −a(x₁ + x₂) ve c = a · x₁x₂ olur; iki formül bu eşleştirmenin kendisidir.

Bu derste kökler toplamını T, çarpımını Ç harfiyle kısaltacağız: T = −b/a, Ç = c/a.

Köklerin farkı

Kökler arasındaki uzaklık da katsayılardan gelir. (x₁ − x₂)² açılıp yeniden düzenlenince T² − 4Ç bulunur. T² − 4Ç = b²/a² − 4c/a = (b² − 4ac)/a² = Δ/a² olduğundan

yazılır. Kancadaki denklemde Δ = 37 ve a = 1'dir; kökler arasındaki uzaklık √37 olur. 2x² − 5x − 3 = 0 için Δ = 49, a = 2 ve uzaklık 7/2'dir; gerçekten 3 − (−1/2) = 7/2. Formül farkın yalnız mutlak değerini verir, çünkü hangi kökün x₁ diye adlandırıldığını denklem bilmez.

Simetrik ifadeler

İki kökün yeri değiştirildiğinde değeri değişmeyen ifadeye simetrik ifade denir. x₁ + x₂ ve x₁x₂ böyledir, x₁ − x₂ ise değildir. Bütün simetrik ifadeler T ve Ç ile yazılabilir; sınavda en sık çıkanlar şunlardır:

Her satır bilinen bir özdeşlikten gelir. (x₁ + x₂)² açılımında fazladan 2x₁x₂ vardır; o çıkarılınca karelerin toplamı kalır. 1/x₁ + 1/x₂ paydalar eşitlenince (x₁ + x₂)/(x₁x₂) olur, bu yüzden Ç ≠ 0, yani c ≠ 0 gerekir. Küp toplamında (x₁ + x₂)³ = x₁³ + x₂³ + 3x₁x₂(x₁ + x₂) eşitliği kullanılır. x₁/x₂ + x₂/x₁ ifadesinin paydası eşitlenince payda karelerin toplamı belirir.

Kancadaki x² − 7x + 3 = 0 için T = 7, Ç = 3 alınırsa x₁² + x₂² = 49 − 6 = 43, 1/x₁ + 1/x₂ = 7/3, x₁³ + x₂³ = 343 − 63 = 280 ve x₁/x₂ + x₂/x₁ = 43/3 bulunur. Lale'nin hızı buradan geliyordu.

Kökleri bilinen denklemi kurmak

Bu kez yol ters yönde yürünür. Kökleri x₁ ve x₂ olan, başkatsayısı 1 olan denklem

x² − T · x + Ç = 0

biçimindedir. Kökleri 2 ve −5 olan denklem için T = −3, Ç = −10 alınır ve x² + 3x − 10 = 0 yazılır. Kökler 3 + √2 ile 3 − √2 olduğunda toplam 6, çarpım 9 − 2 = 7'dir; denklem x² − 6x + 7 = 0 olur. Bu denklemin sıfırdan farklı her katı da aynı kökleri taşır; soru başkatsayıyı ya da tam sayı katsayıları şart koşuyorsa denklem uygun sayıyla çarpılır.

Köklere bağlı yeni denklem

x² − 5x + 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olsun; T = 5, Ç = 2. Kökleri 2x₁ ve 2x₂ olan denklemi kurmak için yeni toplam 2T = 10, yeni çarpım 4Ç = 8 hesaplanır: x² − 10x + 8 = 0. Kökleri x₁ + 1 ve x₂ + 1 olan denklemde yeni toplam T + 2 = 7'dir; yeni çarpım ise (x₁ + 1)(x₂ + 1) = Ç + T + 1 = 8 olur ve x² − 7x + 8 = 0 elde edilir.

İkinci bir yol yerine koymadır. Yeni kök y = x + 1 ise eski kök x = y − 1'dir; eski denklemde x yerine x − 1 yazmak yeni denklemi verir: (x − 1)² − 5(x − 1) + 2 = x² − 7x + 8. Grafik dönüşümleri dersindeki f(x − 1) ötelemesi grafiği bir birim sağa taşıyordu; kesişim noktaları, yani kökler de onunla birlikte bir birim sağa kayar. Kökleri 1/x₁ ve 1/x₂ olan denklemde aynı düşünce katsayıların sırasını tersine çevirir: 2x² − 5x + 1 = 0.

Köklerin işareti

Kökleri bulmadan işaretlerini okumak için T ve Ç birlikte kullanılır, ama bir şartla: gerçek kök olmalıdır. Δ < 0 iken T ve Ç yine hesaplanabilir, fakat yorumlanacak gerçek kök yoktur.

• Ç < 0 ise kökler zıt işaretlidir. Bu durumda a ve c'nin işaretleri farklıdır, −4ac pozitif olur ve Δ kendiliğinden pozitif çıkar; ayrıca kontrol gerekmez.
• Ç < 0 ve T > 0 ise pozitif kökün mutlak değeri büyüktür; Ç < 0 ve T < 0 ise negatif kökünki.
• İki farklı pozitif kök için Δ > 0, Ç > 0 ve T > 0 birlikte gerekir; iki farklı negatif kök için Δ > 0, Ç > 0 ve T < 0.
• c = 0 ise köklerden biri sıfırdır. b = 0 ve Ç < 0 ise kökler birbirinin toplama göre tersidir: x₂ = −x₁.

x² − 6x + m = 0 denkleminin iki farklı pozitif kökü olsun. Ç = m > 0 ve T = 6 > 0 hemen okunur. Yalnız bunlara bakan öğrenci m > 0 der; oysa m = 10 için Δ = 36 − 40 < 0 olur ve hiç gerçek kök yoktur. Δ = 36 − 4m > 0 şartı eklenince doğru cevap 0 < m < 9 olur.

Koşuldan parametreye

Köklere bir ilişki dayatıldığında o ilişki T ve Ç ile bir denkleme çevrilir. «Köklerden biri öbürünün iki katı» denirse x₂ = 2x₁ yazılır; T = 3x₁ ve Ç = 2x₁² olur, x₁ yok edilince 2T² = 9Ç ilişkisi kalır. «Kökler ardışık tam sayılar» ise |x₁ − x₂| = 1 demektir, yani a = 1 olan bir denklemde Δ = 1'dir. x² − 7x + m = 0 için 49 − 4m = 1'den m = 12 bulunur; kökler 3 ve 4'tür. x² − mx + 20 = 0 için ise m² − 80 = 1'den m = 9 ya da m = −9 çıkar ve ikisi de geçerlidir: ilki 4 ile 5'i, ikincisi −5 ile −4'ü verir.

Parametre bulunduktan sonra her aday denklemde yerine konup Δ kontrol edilir. Kökler hakkındaki koşulu sağlayan formül, kök gerçekte yoksa bile bir sayı üretir; ele alınmayan aday sorudaki en tipik çeldiricidir.

Ortak kök

x² − 3x + m = 0 ve x² − 5x + 2m = 0 denklemlerinin sıfırdan farklı bir ortak kökü olsun. Ortak kök r iki denklemi de sağladığı için denklemler taraf tarafa çıkarılınca x² terimi gider: 2r − m = 0, yani r = m/2. Bu birinci denklemde yerine konunca m²/4 − m/2 = 0 çıkar; m = 0 ya da m = 2. m = 0 ortak kök olarak 0'ı verdiği için elenir, m = 2 için ortak kök 1'dir. Başkatsayılar eşit değilse önce eşitlenir, sonra çıkarılır.

Toplamı ve çarpımı olan ama kökü olmayan denklem

x² − 2x + 5 = 0 denkleminde T = 2 ve Ç = 5 kâğıt üzerinde duruyor. Oysa x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4 ifadesi hiçbir gerçek sayıda 4'ün altına inmez; toplamı 2, çarpımı 5 olan iki gerçek sayı yoktur. Formüller iki kökten söz ediyor, sayı doğrusunda ise onlara ayrılmış bir yer görünmüyor. Sıradaki ders karesi negatif çıkan bir sayı tanımlayarak gerçek sayıları genişletiyor; Δ'sı negatif olan denklemlerin kökleri, karmaşık sayılar adı verilen bu yeni kümede bulunuyor.

Örnek 1 — Karelerin toplamı

Soru: 2x² − 6x − 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁² + x₂² toplamı kaçtır?

• A) 8
• B) 11
• C) 10
• D) 19/2
• E) 7

Çözüm: Başkatsayı 2 olduğundan T = 6/2 = 3 ve Ç = −1/2 alınır. x₁² + x₂² = T² − 2Ç = 9 + 1 = 10. Ç yerine c = −1 kullanmak 11'i, 2Ç yerine yalnız Ç çıkarmak 19/2'yi, işareti karıştırıp T² + 2Ç yazmak 8'i verir. Cevap: C.

Örnek 2 — Kökleri iki birim kaydırmak

Soru: x² − 4x + 1 = 0 eşitliğini sağlayan iki sayı x₁ ve x₂ olsun. Kökleri x₁ + 2 ve x₂ + 2 olan, başkatsayısı 1 olan denklem hangisidir?

• A) x² − 6x + 3 = 0
• B) x² − 8x + 5 = 0
• C) x² + 8x + 13 = 0
• D) x² − 8x + 13 = 0
• E) x² − 3 = 0

Çözüm: T = 4, Ç = 1. Yeni toplam T + 4 = 8, yeni çarpım (x₁ + 2)(x₂ + 2) = Ç + 2T + 4 = 13. Denklem x² − 8x + 13 = 0 olur. Yerine koymayla denetim: (x − 2)² − 4(x − 2) + 1 aynı sonucu verir. E seçeneği x yerine x + 2 yazan, kökleri iki birim sola kaydıran yanlış yönden gelir. Cevap: D.

Örnek 3 — İki farklı pozitif kök

Soru: x² − (m + 2)x + 2m + 1 = 0 denkleminin birbirinden farklı iki pozitif kökü vardır. Bu koşulu sağlayan tam sayı m'lerin en küçüğü kaçtır?

• A) −2
• B) 0
• C) 5
• D) −1/2
• E) 4

Çözüm: Üç şart birlikte yazılır. Δ = (m + 2)² − 4(2m + 1) = m² − 4m = m(m − 4) > 0'dan m < 0 ya da m > 4. T = m + 2 pozitif olmalı, bu da m > −2 demektir. Ç = 2m + 1 > 0'dan m > −1/2. Kesişim −1/2 < m < 0 ya da m > 4'tür. İlk aralıkta tam sayı yoktur, ikinci aralığın en küçük tam sayısı 5'tir. Δ'yı hiç yazmayan da Δ ≥ 0 yazan da 0'ı seçer, oysa m = 0 için denklem (x − 1)² = 0 olur ve tek bir çift kök verir. 4 ise Δ'nın sıfırlandığı öbür sınırdır; orada da x² − 6x + 9 = 0 yalnız 3'ü çift kök olarak taşır. Cevap: C.

Örnek 4 — Δ'nın elediği aday

Soru: x² − (m − 2)x + m + 2 = 0 denkleminin gerçek kökleri x₁ ve x₂'dir ve x₁² + x₂² = 7'dir. m kaçtır?

• A) −7
• B) 1
• C) 6
• D) 7
• E) −1

Çözüm: T = m − 2, Ç = m + 2. T² − 2Ç = m² − 6m + 4 − 4 = m² − 6m = 7 eşitliğinden m² − 6m − 7 = 0 ve m = 7 ya da m = −1. m = 7 için denklem x² − 5x + 9 = 0 olur ve Δ = 25 − 36 = −11 < 0; gerçek kök yoktur, aday elenir. m = −1 için x² + 3x + 1 = 0, Δ = 5 > 0 ve 9 − 2 = 7 tutar. Cevap: E.

• Başkatsayıyı unutmak. Toplam −b/a, çarpım c/a'dır; a ≠ 1 iken yalnız −b ya da c yazmak seçeneklerdeki hazır çeldiricidir.
• Toplamda işareti kaçırmak. x² − 7x + 3 için toplam 7'dir, −7 değil; eksi işareti formülün içindedir.
• Δ şartını atlamak. İşaret ve parametre sorularında T ile Ç'nin koşulu sağlaması yetmez; Δ < 0 veren aday gerçek kök üretmez ve elenir.
• Farklı kök isteyen soruda Δ ≥ 0 yazmak. «İki farklı kök» Δ > 0 ister; Δ = 0 çift kök verir.
• Köklere bağlı denklemde yönü ters kurmak. Kökleri bir birim büyütmek için eski denklemdeki her x, x − 1 ile değiştirilir; x + 1 ile değiştirmek kökleri küçültür.
• 1/x₁ + 1/x₂ için c ≠ 0 şartını görmemek. Köklerden biri sıfırsa ifade tanımsızdır.