İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu

Hazal deneme sınavında x² < 9 eşitsizliğini görünce iki tarafın karekökünü alıyor ve hızla x < 3 yazıyor. Kâğıdı kontrol eden arkadaşı Kaan tek bir sayı deniyor: x = −5. Bu değer Hazal'ın kümesinde duruyor, çünkü −5 gerçekten 3'ten küçük; ama (−5)² = 25 ve 25 sayısı 9'dan küçük değil. Demek ki yazılan küme eşitsizliği sağlamayan sayıları da içeriyor. Doğru cevap −3 < x < 3 aralığıdır: x² ancak sıfıra yakın değerlerde küçük kalır ve sayı negatif tarafta da uzaklaştıkça kare yeniden büyür. Karekök almak, eşitsizliğin hangi yönde bozulacağını görmeyi engelledi. Bu derste ax² + bx + c üç terimlisinin nerede pozitif, nerede negatif olduğunu tek bir tabloda okuyup eşitsizlikleri karekök almadan çözüyoruz.

• ax² + bx + c ifadesinin işaretini diskriminantın üç durumunda belirler, bunu parabolün x eksenine göre konumuyla açıklarsın.
• Kökleri sıralayıp işaret tablosu kurar; tek ve çift katlı kökte işaretin nasıl davrandığını uygularsın.
• Eşitlik içeren ve içermeyen eşitsizliklerde kök noktalarını doğru dahil eder, paydayı sıfırlayan değeri her zaman dışarıda bırakırsın.
• «Her x için pozitif» ya da «hiç çözümü yok» koşullarından parametre aralığı bulur, çözüm kümesindeki tam sayıları sayarsın.

İşaret grafikte görünür

f(x) = x² + x − 12 parabolünü düşünelim. Çarpanları (x + 4)(x − 3) olduğundan grafik x eksenini −4 ve 3 noktalarında keser, kollar da yukarı bakar. Parabolün x ekseninin üstünde kaldığı her yerde f(x) pozitif, altına indiği her yerde negatiftir. Grafik iki kesim noktasının dışında eksenin üstündedir; aralarında ise tepe noktası eksenin altına düştüğü için eğri de aşağıda kalır. Böylece x² + x − 12 < 0 eşitsizliğinin çözümü hiç kök almadan okunur: −4 < x < 3, yani (−4, 3) aralığı.

Bir sayı denemesi bunu doğrular. x = 0 için f(0) = −12, negatif; x = 5 için f(5) = 18, pozitif; x = −6 için f(−6) = 18, yine pozitif. Kökler arasında kalan her sayı aynı işareti verir, çünkü grafiğin işaret değiştirmesi için ekseni kesmesi, yani bir kökten geçmesi gerekir. Parabol dersinde Δ'ya göre çizdiğimiz üç tablo satırı, burada üç işaret kuralına dönüşür.

Diskriminantın üç durumu

a ≠ 0 olmak üzere f(x) = ax² + bx + c için:

Kuralın özü kısadır: x çok büyüdüğünde ax² terimi öteki terimleri ezer, bu nedenle büyük x değerlerinde ifade a ile aynı işareti taşır. Gerçek kök yoksa eğri eksene hiç değmediği için o işaret hiç bozulmaz. −x² + 4x − 3 ifadesinde a = −1 ve kökler 1 ile 3'tür; kökler dışında negatif, aralarında pozitif çıkar. Bu yüzden −x² + 4x − 3 ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi [1, 3] olur.

İşaret tablosu nasıl kurulur

Soru bir parabol çizdirmeden çözülmek istendiğinde tablo kullanılır. Adımlar şöyledir:

1. Bütün terimler eşitsizliğin bir tarafına toplanır, öteki taraf sıfır bırakılır. x² ≥ x + 12 yazılmışsa önce x² − x − 12 ≥ 0 biçimine getirilir.
2. İfadenin kökleri bulunur ve sayı doğrusuna küçükten büyüğe dizilir.
3. En sağdaki aralığa baş katsayının işareti yazılır. İfade çarpanlara ayrılmışsa bu işaret, çarpanlardaki x'lerin katsayılarının çarpımından gelir.
4. Sağdan sola ilerlenir: tek katlı bir kökten geçerken işaret değişir, çift katlı bir kökten geçerken aynı kalır.
5. Eşitsizliğin istediği işaretteki aralıklar seçilir.

Çarpanlar x + 3 ile x − 4 olduğundan tablo sağdan sola «+, −, +» olur ve ≥ 0 isteği (−∞, −3] ∪ [4, ∞) kümesini verir. Parabol ile doğrunun ortak noktalarını bulurken iki ifadeyi birbirine eşitleyip farklarını sıfıra eşitlemiştik. Aynı farkın işareti, eğrinin doğrunun hangi yanında kaldığını söyler: y = x² parabolünün y = x + 12 doğrusunun üstünde ya da onunla aynı yükseklikte kaldığı apsisler tam olarak bu kümedir; aradaki (−3, 4) bölümünde parabol doğrunun altına iner.

Köşeli parantez mi, normal parantez mi

Kesin eşitsizlik (> ya da <) kökü dışarıda bırakır, çünkü kökte ifade sıfırdır ve sıfır pozitif ya da negatif sayılmaz. Eşitlik içeren eşitsizlik (≥ ya da ≤) kökü içeri alır. Aralık gösterimini ve uç noktaların yazılışını TYT'deki aralıklar dersinde gördük; burada değişen tek şey uçların artık birer kök olmasıdır.

Δ = 0 olduğunda cevap, eşitsizliğin hangi sembolle yazıldığına göre dört ayrı biçim alır. f(x) = x² − 6x + 9 = (x − 3)² için:

• f(x) > 0 eşitsizliği 3 dışındaki her sayıda sağlanır: ℝ − {3}.
• f(x) ≥ 0 her gerçek sayıda doğrudur: ℝ.
• f(x) < 0 hiçbir sayıda sağlanmaz: ∅.
• f(x) ≤ 0 yalnız kökte sağlanır: {3}.

Δ < 0 olduğunda tablo tek bir işaretten ibarettir. x² + 2x + 5 ifadesinin diskriminantı 2² − 4 · 5 = −16 çıktığından ifade her yerde pozitiftir; > 0 isteyen eşitsizliğin cevabı ℝ, < 0 isteyeninki ∅ olur.

Çift katlı kök ve çarpım biçimi

Çarpanlarına ayrılmış bir ifadede her çarpanın kökü tabloya ayrı ayrı yazılır. Kare biçimindeki bir çarpanın kökü çift katlıdır ve orada işaret değişmez. (x − 1)²(x + 3) ≤ 0 için kökler −3 (tek katlı) ve 1 (çift katlı) olur. En sağ aralıkta işaret pozitiftir; 1'den geçerken pozitif kalır, −3'ten geçerken negatife döner. Negatif bölge (−∞, −3) aralığıdır; eşitlik de istendiği için iki kök de eklenir ve çözüm (−∞, −3] ∪ {1} çıkar. Çözümdeki tek başına duran 1 sayısını unutmak bu tür soruların en sık hatasıdır.

Paydalı eşitsizlik

Bölüm biçiminde bir eşitsizlikte payda da işareti belirler, çünkü bir bölümün işareti pay ile paydanın işaretlerinin çarpımıyla aynıdır. Bu yüzden paydanın kökü tabloya pay kökleriyle birlikte yazılır ve işaret onda da değişir. Tek fark şudur: paydayı sıfır yapan sayıda ifade tanımsızdır, eşitsizlik ≥ ya da ≤ olsa bile o sayı çözüm kümesine giremez.

(x − 4)/(x + 2) ≥ 0 için pay 4'te, payda −2'de sıfırlanır. Tablo sağdan sola «+, −, +» olur. 4 dahil edilir, −2 ise dışarıda kalır: (−∞, −2) ∪ [4, ∞). İki tarafı paydayla çarpıp kesirden kurtulmak cazip görünür, ama paydanın işareti bilinmediğinden eşitsizliğin yönü korunur mu belli değildir. Güvenli yol, her şeyi tek tarafa toplayıp tabloyu kurmaktır.

Her x için pozitif olma şartı

Bir ifadenin bütün gerçek sayılarda pozitif olması, tablonun tek işaretten oluşması ve o işaretin artı olması demektir. Bunun için a > 0 ve Δ < 0 gerekir. Her yerde negatif olması için a < 0 ve Δ < 0 gerekir. x² − 2x + m ifadesinin her x için pozitif olmasını istersek Δ = 4 − 4m < 0 yazılır ve m > 1 bulunur. Baş katsayıda parametre varsa o katsayının sıfır olduğu durum ayrıca denenir, çünkü o zaman ifade ikinci dereceden olmaktan çıkar ve yukarıdaki şart artık uygulanamaz.

Benzer bir soru «eşitsizliğin çözüm kümesi boş küme olsun» biçiminde gelir. x² − 2x + m < 0 hiçbir x için sağlanmayacaksa ifade her yerde sıfır ya da pozitif olmalıdır; bu kez Δ ≤ 0 yeter ve eşitlik durumu da kabul edilir.

Çözüm kümesindeki tam sayılar

Tablo bittikten sonra sayma işi TYT'de olduğu gibidir: uçların dahil olup olmadığına bakılır, dışlanan tekil noktalar ayrıca çıkarılır. x² − 2x − 15 ≤ 0 eşitsizliğinde sınır noktaları −3 ile 5'tir; küme [−3, 5] olur ve içinde 9 tam sayı vardır. Aynı ifade < 0 ile sorulsaydı uçlar düşer, 7 tam sayı kalırdı.

Buraya kadar her soruda tek bir koşul vardı. 1 ≤ x² < 4 gibi ortası ikinci dereceden olan bir çift eşitsizlik ya da √(9 − x²) gibi bir kökün tanımlı olduğu değerler sorulduğunda koşullar ikiye, üçe çıkar ve her biri kendi tablosunu ister. Bu ayrı çözüm kümelerinden ortak parçayı sayı doğrusunda seçmek, birden fazla çarpanı tek tabloya yerleştirmek ve köklü ifadelerin tanım kümesini bu yolla bulmak eşitsizlik sistemleri dersinin işi.

Örnek 1 — Kesin olmayan eşitsizlik

Soru: 2x² − 3x − 5 ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

• A) (−∞, −1] ∪ [5/2, ∞)
• B) [−5/2, 1]
• C) [−1, 5/2]
• D) (−1, 5/2)
• E) [1, 5/2]

Çözüm: İfade (2x − 5)(x + 1) biçiminde ayrılır; kökler −1 ve 5/2'dir. a = 2 > 0 olduğundan kökler arasında ifade negatiftir. Eşitlik de istendiği için uçlar dahil edilir: [−1, 5/2]. A seçeneği pozitif bölgeyi, D seçeneği eşitliği unutan cevabı verir. Cevap: C.

Örnek 2 — Paydalı eşitsizlik

Soru: (x + 5)/(x − 1) ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin kümesi nedir?

• A) [−5, 1]
• B) [−5, 1)
• C) (−5, 1)
• D) (−∞, −5] ∪ (1, ∞)
• E) [−1, 5)

Çözüm: Pay −5'te, payda 1'de sıfırlanır. En sağda bölüm pozitiftir; tablo sağdan sola «+, −, +» olur. Negatif bölge −5 ile 1 arasıdır. Pay kökü −5 eşitlik nedeniyle alınır, payda kökü 1 ise tanımsızlık nedeniyle alınmaz: [−5, 1). Cevap: B.

Örnek 3 — Parametre

Soru: x² + (m − 3)x + 4 ifadesi her gerçek x için pozitif olduğuna göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

• A) 9
• B) 3
• C) 14
• D) 7
• E) 8

Çözüm: Baş katsayı 1 > 0 olduğundan yalnız Δ < 0 şartı kalır: (m − 3)² < 16, buradan −4 < m − 3 < 4 ve −1 < m < 7. Aralıkta 0'dan 6'ya kadar 7 tam sayı bulunur. Δ ≤ 0 alan öğrenci uçları da sayar ve 9 bulur; oysa uç değerlerde ifade tam kareye döner ve bir noktada sıfırlanır. Cevap: D.

Örnek 4 — Üç çarpan ve çift katlı kök

Soru: (x − 3)²(x + 4)(x − 5) < 0 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

• A) 8
• B) 7
• C) 16
• D) 6
• E) 9

Çözüm: Kökler −4, 3 (çift katlı) ve 5'tir. En sağda işaret pozitif; 5'ten geçince negatif olur, 3'te değişmez, −4'te yeniden pozitife döner. Negatif bölge (−4, 5) aralığıdır, ama 3'te ifade sıfır olduğundan bu nokta kesin eşitsizlikte dışlanır. −3'ten 4'e kadar 8 tam sayı vardır; 3 çıkınca 7 kalır. Cevap: B.

• Kare eşitsizlikte karekök almak. x² < 9 için x < 3 yazmak negatif tarafı kaybettirir; ifadeyi x² − 9 < 0 biçimine getirip tablo kur.
• En sağ işareti her zaman artı yazmak. Baş katsayı negatifse ya da ifade 3 − x gibi bir çarpan içeriyorsa en sağdaki işaret eksidir.
• Çift katlı kökte işareti değiştirmek. (x − a)² çarpanının kökünde işaret aynı kalır; kesin eşitsizlikte o nokta ayrıca dışlanır, ≤ ya da ≥ varsa tekil nokta olarak eklenir.
• Paydanın kökünü dahil etmek. Eşitsizlik ≥ ya da ≤ olsa bile paydayı sıfırlayan değer çözüm kümesine girmez.
• Δ < 0 ile Δ ≤ 0'ı karıştırmak. «Her x için pozitif» kesin şart ister; «çözüm kümesi boş» olan < 0 sorusunda eşitlik de kabul edilir.
• Baş katsayıdaki parametrenin sıfır durumunu atlamak. a = 0 için ifade birinci dereceye düşer ve ayrıca denenmelidir.