Ters fonksiyon

Doruk AYT denemesinde şu soruyla karşılaşıyor: f: [3, ∞) → [−4, ∞), f(x) = x² − 6x + 5 olduğuna göre f⁻¹(12) kaçtır? TYT'de doğrusal fonksiyonlarda yaptığı gibi f(x) = 12 eşitliğini kuruyor, x² − 6x − 7 = 0 denklemini çarpanlarına ayırıyor ve −1 ile 7 köklerini buluyor. Seçeneklerde ikisi de var. Doruk ilk bulduğu −1'i işaretliyor; cevap anahtarı 7 diyor. Hesap doğruydu, eksik olan tek bilgi sorunun ilk satırındaydı: f'nin tanım kümesi 3'ten başlıyor. −1 bu kümeye hiç girmediği için f'nin oraya götürdüğü bir sayı da yoktur. Bir tersin hangi sayılardan çıkıp hangi sayılara döndüğünü bilmeden yapılan hesap, iki kökten birini şansa bırakır.

• Bir fonksiyonun tersinin var olup olmadığını birebirlik ve örtenlikle sınar, gerektiğinde tanım kümesini kısıtlayarak ters tanımlarsın.
• Karesel ve köklü fonksiyonların kısıtlı tersini kuralı ve tanım kümesiyle birlikte yazarsın.
• f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a bağıntısını, (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹ kuralını ve f∘g = h ⇒ g = f⁻¹∘h dönüşümünü değer ve kural sorularında kullanırsın.
• f ile f⁻¹'in grafiklerini y = x doğrusuna göre yorumlar, artan bir fonksiyonda kesişim noktalarını bulursun.

TYT'de kurulan zemin

TYT'nin M10 modülünde bileşkeyle birlikte terse de ilk adımı attık: orada tersin tanımını, doğrusal ve (ax + b)/(cx + d) biçimli fonksiyonların tersini bulmayı, (f⁻¹)⁻¹ = f eşitliğini ve tersin grafiğinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu gördük. O dersteki fonksiyonların hepsi tersi olan, gerçek sayıların büyük kısmında tanımlı kurallardı. AYT soruları üç yerden zorlaşır: ters her zaman var değildir, kural kısıtlı bir aralıkta tanımlanır, bileşke de işin içine girer.

Ters ne zaman vardır?

f: A → B verildiğinde f⁻¹ yönü çevirir: B'den bir y alır, f'nin onu ürettiği x'i geri verir. Bunun bir fonksiyon olabilmesi için B'deki her y'nin A'da tam bir kaynağı olmalıdır. Kaynak hiç yoksa f⁻¹ o y'de tanımsız kalır; bu, f'nin örten olmadığı durumdur. Birden çok kaynak varsa f⁻¹ hangisini vereceğini seçemez; bu da f'nin birebir olmadığı durumdur. Modülün ilk dersi «Fonksiyon türleri: birebir, örten, içine» bu iki kavramı sınarken yatay doğru testini ve artanlığı kullanmayı öğretti. Ters için ikisi birlikte gerekir: yalnız birebir ve örten fonksiyonların tersi vardır.

Pratikte asıl engel birebirliktir. f: [0, ∞) → R, f(x) = √x birebirdir ama içinedir, çünkü negatif sayılar hiçbir girdinin görüntüsü olmaz. Değer kümesi görüntü kümesine, yani [0, ∞) aralığına daraltılınca fonksiyon örten olur ve tersi x² kuralıyla [0, ∞) üzerinde tanımlanır. Birebir bir fonksiyonun değer kümesini daraltmak her zaman mümkündür; birebir olmayan bir kuralı ise tanım kümesine dokunmadan tersinir yapmanın yolu yoktur.

Tanım kümesini kısıtlamak

x² kuralı gerçek sayılarda birebir değildir: 3 ile −3 aynı yere, 9'a gider. Tanım kümesi [0, ∞) alınırsa parabolün yalnız sağ kolu kalır ve ters √x olur. (−∞, 0] alınırsa sol kol kalır ve ters −√x olur. Kural aynı, ama hangi kolun seçildiği tersin işaretini belirler.

Kancadaki fonksiyonu kare tamamlayarak yazalım: x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4. Tepe noktası x = 3'te olduğu için [3, ∞) aralığı tek bir kol seçer ve bu kolda f artandır. y = (x − 3)² − 4 eşitliğinden (x − 3)² = y + 4 bulunur. Karekök alınırken iki işaret aday olur; x ≥ 3 olduğundan x − 3 negatif olamaz ve pozitif kök alınır: x = 3 + √(y + 4). Harfler yer değiştirince f⁻¹(x) = 3 + √(x + 4) ve f⁻¹'in tanım kümesi f'nin görüntü kümesi olan [−4, ∞) olur. Kontrol: f⁻¹(12) = 3 + √16 = 7. Aynı kural (−∞, 3] üzerinde verilseydi ters 3 − √(x + 4) olurdu ve bu kez f⁻¹(12) = −1 çıkardı. Kancadaki iki kökün ikisi de bir kola aittir; soruyu çözen, kolu seçen tanım kümesidir.

Köklü fonksiyonun tersi

f: [2, ∞) → [1, ∞), f(x) = √(x − 2) + 1 olsun. y − 1 = √(x − 2) yazılır, iki taraf kare alınır: x = (y − 1)² + 2. Böylece f⁻¹(x) = (x − 1)² + 2 bulunur, fakat tanım kümesi yazılmadan bu cevap eksiktir. (x − 1)² + 2 gerçek sayıların tamamında bir paraboldür ve birebir değildir; f'nin tersi bu parabolün yalnız x ≥ 1 kısmıdır. Kök içeren bir kuralın tersi her zaman bir karesel kuralın bir koludur ve o kolu f'nin görüntü kümesi seçer. Sağlama için f⁻¹(3) = 2² + 2 = 6 ve f(6) = √4 + 1 = 3 hesaplanabilir.

Kural yazılamayınca: değerden değere

f(a) = b ile f⁻¹(b) = a aynı bilgidir. Bu denklik, kuralı hiç bulunamayan fonksiyonlarda bile tersin değerini verir. f(x) = x³ + x + 1 gerçek sayılarda kesin artandır, dolayısıyla birebirdir ve her gerçek değeri alır; ama y = x³ + x + 1 eşitliğinde x'i lise cebiriyle yalnız bırakmak mümkün değildir. f⁻¹(3) istendiğinde x³ + x + 1 = 3 denklemi çözülür: x = 1 sağlar, artanlık başka kök bırakmaz ve f⁻¹(3) = 1 olur. Benzer biçimde f(2) = 11 olduğu için f⁻¹(11) = 2'dir. AYT'de tersin değerini soran soruların çoğu bu yolla, kurala hiç dokunmadan çözülür.

Tersle bileşke: hangi birim fonksiyon?

f: A → B birebir örten ise f⁻¹∘f her x ∈ A için x verir, f∘f⁻¹ ise her y ∈ B için y verir. İki eşitlik de «birim fonksiyon» der, ama biri A üzerinde, öbürü B üzerinde çalışır. √x ile x² çiftinde bunu görmek kolaydır: x ≥ 0 için √(x²) = x olur, oysa x = −3 yazılırsa √9 = 3 çıkar ve −3'e dönülmez. Bu bir çelişki değildir; −3 zaten tanım kümesinde yoktu. Tersle kurulan her sadeleştirme, tanım kümesi dışına taşındığında bozulur.

Bileşkenin tersi sırayı çevirir

Bir mektup önce katlanıp sonra zarfa konuyorsa, açarken önce zarftan çıkarılır, sonra katlama açılır. f∘g'de x'e önce g, sonra f uygulanır; bu işi geri almak için önce f'yi, sonra g'yi bozmak gerekir: (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹. g(x) = x − 3 ile f(x) = 2x + 1 üzerinde deneyelim. f∘g = 2x − 5 olduğundan tersi (x + 5)/2'dir. Ayrı ayrı f⁻¹(x) = (x − 1)/2 ve g⁻¹(x) = x + 3 bulunur; g⁻¹∘f⁻¹ = (x − 1)/2 + 3 = (x + 5)/2 aynı sonucu verir. Yanlış sırayla kurulan f⁻¹∘g⁻¹ ise (x + 2)/2 olur ve seçeneklerde çoğu zaman hazır bekler. Değer sorularında da kural kurmak gerekmez: (f∘g)⁻¹(7) için 2x − 5 = 7 çözülür ve 6 bulunur.

Bileşke denkleminde ters kullanmak

Önceki derste f∘g = h eşitliğinden bilinmeyeni yerine koyarak bulmuştuk. Ters, aynı işi tek adımda yapar: eşitliğin iki yanına soldan f⁻¹ bileşkesi uygulanırsa f⁻¹∘f birim fonksiyona dönüşür ve g = f⁻¹∘h kalır. Dış fonksiyon aranıyorsa ters sağdan eklenir: f = h∘g⁻¹. Dış kural 3x − 2, bileşke 6x² + 7 iken g(x) = (6x² + 7 + 2)/3 = 2x² + 3 olur. İç kural 2x + 1, bileşke 4x + 9 olduğunda g⁻¹(x) = (x − 1)/2 yazılır ve f(x) = 4 · (x − 1)/2 + 9 = 2x + 7 bulunur. Tarafı karıştırmak en sık hatadır: ilk örnekte h∘f⁻¹ hesaplanırsa (2x² + 8x + 29)/3 gibi alakasız bir ifade çıkar.

Kendi tersi olan fonksiyonlar bu bağlamda ilginçtir. f∘f = I ise f = f⁻¹'dir. (ax + b)/(cx + d) biçiminde bu, d = −a olduğunda gerçekleşir: f(x) = (2x + 3)/(x − 2) için f∘f birim fonksiyondur ve grafik y = x doğrusuna göre kendi kendisinin yansımasıdır.

Tersin grafiği ve kesişim noktaları

f'nin grafiğindeki her (a, b) noktası f⁻¹'in grafiğinde (b, a) olarak görünür; bu yer değişimi y = x doğrusuna göre yansımadır. f artan ise f⁻¹ de artandır, çünkü yansıma iki koordinatın sıralamasını birlikte taşır. Kesişim sorularında f artan olduğunda işi kısaltan bir sonuç vardır: f(a) = f⁻¹(a) = b olsun. O zaman f(b) = a da doğrudur. a < b olsaydı artanlık f(a) < f(b), yani b < a verirdi; a > b için de benzer çelişki çıkar. Demek ki a = b'dir ve kesişim noktaları y = x üzerindedir. Bu yüzden artan f için f(x) = f⁻¹(x) denklemi yerine f(x) = x çözülür. f: [0, ∞) → [0, ∞), f(x) = x² için x² = x denkleminden (0, 0) ve (1, 1) bulunur.

Azalan fonksiyonlarda bu kısayol çalışmaz. f(x) = −x³ için tersi −∛x'tir; f(1) = −1 ve f⁻¹(1) = −1 olduğundan iki grafik (1, −1) noktasında da kesişir ve bu nokta y = x üzerinde değildir. Azalan bir fonksiyonda kesişim aranıyorsa f(x) = f⁻¹(x) denkleminin kendisi çözülür.

Sırada: öteki dönüşümler

y = x doğrusuna göre yansıma, grafiği bir kural değişikliğiyle taşımanın ilk örneğiydi: x ile y'nin yer değiştirmesi her noktayı tek bir hareketle yeni yerine götürdü. Sıradaki derste kurala başka biçimlerde dokunulacak: x'e bir sayı ekleyip çıkarmak, f(x)'in sonuna sabit eklemek, x'in ya da f(x)'in işaretini değiştirmek. Her birinde grafiğin bir noktası sağa, sola, yukarı, aşağı kayıyor ya da eksenlerden birine göre aynalanıyor; parantez içindeki eksi işaretinin grafiği neden beklenenin tersine götürdüğü de bu hareketlerden biriyle açıklanıyor.

Örnek 1 — Sol koldan ters

Soru: f: (−∞, 1] → [2, ∞), f(x) = x² − 2x + 3 fonksiyonu için f⁻¹(x) kuralını seçiniz.

• A) 1 + √(x − 2)
• B) 1 − √(x + 2)
• C) (x − 1)² + 2
• D) 1 − √(x − 2)
• E) √(x − 2) − 1

Çözüm: Kare tamamlanır: y = (x − 1)² + 2, buradan (x − 1)² = y − 2. Tanım kümesi x ≤ 1 olduğu için x − 1 ≤ 0'dır ve negatif kök alınır: x − 1 = −√(y − 2). Ters 1 − √(x − 2) olur. A seçeneği de f ile bileşkesinde x verir, ama çıktıları 1'den büyük olduğu için sağ kolun tersidir; C ise harfleri değiştirip x'i yalnız bırakmayı unutmanın sonucudur. Cevap: D.

Örnek 2 — Bileşkenin tersinden değer

Soru: g(x) = (x − 1)/2 ile f(x) = 3x + 4 fonksiyonları veriliyor. (f∘g)⁻¹(13) değerini bulunuz.

• A) 23/3
• B) 7
• C) 27
• D) 22
• E) 3

Çözüm: Ters sırayla gidilir: önce f⁻¹(13) için 3x + 4 = 13 çözülür ve 3 bulunur, sonra g⁻¹(3) için (x − 1)/2 = 3'ten x = 7 çıkar. Sağlama: g(7) = 3 ve f(3) = 13. Sıra karıştırılıp f⁻¹(g⁻¹(13)) hesaplanırsa 23/3 bulunur; 22 ise tersi değil (f∘g)(13)'ü verir. Cevap: B.

Örnek 3 — İç fonksiyonu tersle ayırmak

Soru: f(x) = x³ + 2 iken bileşke (f∘g)(x) = 8x³ + 12x² + 6x + 3 olduğuna göre g(x) hangisidir?

• A) 2x + 3
• B) 8x³ + 12x² + 6x + 1
• C) 2x + 1
• D) 2x − 1
• E) (2x + 1)³

Çözüm: g = f⁻¹∘h ve f⁻¹(x) = ∛(x − 2). h(x) − 2 = 8x³ + 12x² + 6x + 1 = (2x + 1)³ olduğundan g(x) = ∛((2x + 1)³) = 2x + 1. B seçeneği yalnız 2 çıkarılıp küpkök alınmadan bırakılmış hâldir, E ise küpkök yerine küp yazmaktır. Cevap: C.

Örnek 4 — Fonksiyonla tersinin kesişimi

Soru: f: [0, ∞) → [−2, ∞), f(x) = x² − 2 olduğuna göre f ile f⁻¹'in grafiklerinin ortak noktalarını belirleyiniz.

• A) (−1, −1)
• B) (2, 2) ve (−1, −1)
• C) (√2, 0)
• D) (0, −2)
• E) (2, 2)

Çözüm: f, [0, ∞) üzerinde artandır; kesişim y = x üzerinde aranır. x² − 2 = x denkleminin kökleri 2 ve −1'dir; −1 tanım kümesinde olmadığı için atılır. Tek ortak nokta (2, 2)'dir; gerçekten f(2) = 2 ve f⁻¹(2) = √(2 + 2) = 2. B seçeneği tanım kümesine bakmadan iki kökü birden almaktır. Cevap: E.

• Kısıtlı tanım kümesini atlamak. Karesel bir denklemin iki kökü çıktığında yalnız tanım kümesinde kalanı f⁻¹'in değeridir; öbür kök diğer kolun tersine aittir.
• Tersin tanım kümesini yazmamak. √(x − 2) + 1'in tersi (x − 1)² + 2 kuralının yalnız x ≥ 1 kısmıdır; tanım kümesi f'nin görüntü kümesidir.
• Bileşkenin tersinde sırayı korumak. (f∘g)⁻¹ = g⁻¹∘f⁻¹'dir; f⁻¹∘g⁻¹ başka bir fonksiyondur ve çeldirici olarak sık kullanılır.
• Tersi yanlış taraftan uygulamak. f∘g = h'den g bulunurken f⁻¹ soldan eklenir (g = f⁻¹∘h); h∘f⁻¹ yazmak alakasız bir kural verir.
• Kesişimi her zaman y = x'te sanmak. Bu kısayol artan fonksiyon içindir; f(x) = −x³ ile tersi (1, −1) noktasında da kesişir.
• g⁻¹(b)'yi aramak yerine g(b)'yi hesaplamak. g⁻¹(11) istendiğinde g'nin 11'i verdiği girdi aranır; 11'i g'ye koymak başka bir sayı üretir.