Grafik dönüşümleri: öteleme ve yansıma

Ferhat, ödevini kontrol etmek için telefonundaki grafik çizim uygulamasına önce y = x² yazıyor, sonra altına y = (x − 3)² ekliyor. Eksi işaretini görünce parabolün sola kaymasını bekliyor; ekranda ise ikinci parabol 3 birim sağda duruyor. «Uygulama bozuk» diyor. Masanın öbür ucundaki Irmak, ikinci kuralda x = 3 yazınca sonucun 0 çıktığını, yani eski tepe noktasının yüksekliğine artık x = 3'te ulaşıldığını gösteriyor. Sonra kendi denemesini yapıyor: y = x² − 3 yazınca parabol bu kez gerçekten aşağı iniyor, işaret neyse yön de o. Aynı «− 3» bir yerde dediğini yapıyor, öbür yerde tersini. Bu ders, bir kuralın neresine dokunulduğunda grafiğin nereye gittiğini nokta nokta izlemeyi öğretiyor.

• y = f(x) + k ve y = f(x − h) ötelemelerinde grafiğin yönünü ve miktarını belirleyip her noktanın yeni koordinatlarını yazarsın.
• y = −f(x), y = f(−x) ve y = −f(−x) yansımalarında eksen kesişimlerinin, tanım ve görüntü kümesinin nasıl değiştiğini hesaplarsın.
• y = |f(x)| ve y = f(|x|) grafiklerini f'nin grafiğinden kurup bir yatay doğruyla kesişim sayısını bulursun.
• Birden çok dönüşümü verilen sırayla uygulayıp sıranın sonucu değiştirdiği durumları ayırt edersin.

Dönüşümü noktalarla izlemek

Bir grafiği yeniden çizmek yerine üzerindeki birkaç belirgin noktayı izlemek yeter. y = x² için bu noktalar (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1) ve (2, 4) olsun. Her dönüşüm bu beş noktayı belli bir kurala göre taşır; noktaların nereye gittiği bilinirse eğrinin nereye gittiği de bilinir. Bu derste her dönüşüm için tek bir soru soracağız: (a, b) noktası nereye gider? Cevap, eksen kesişimlerini, tepe noktasını, tanım kümesini ve görüntü kümesini birlikte verir.

Dikey öteleme: y = f(x) + k

Kuralın sonuna k eklendiğinde her x için çıktı k kadar değişir. (a, b) noktası (a, b + k) olur: k pozitifse grafik k birim yukarı, negatifse |k| birim aşağı kayar. y = x² + 3 grafiğinde beş nokta (−2, 7), (−1, 4), (0, 3), (1, 4), (2, 7) olur; tepe (0, 3)'e çıkar, görüntü kümesi [0, ∞)'dan [3, ∞)'a geçer. Tanım kümesi hiç değişmez, çünkü hiçbir nokta yatay yönde yer değiştirmedi.

Eksen kesişimleri ise değişebilir. y = x² − 4 grafiği x eksenini −2 ve 2'de keser, oysa x² yalnız orijinde değiyordu. Aşağı inen parabol, x ekseninin altına bir parça bırakmış olur.

Yatay öteleme: y = f(x − h)

Ferhat'ın şaşırdığı yer burasıdır. g(x) = f(x − 3) olsun. g(5) hesaplanırken f'ye 5 değil 2 girer; g, f'nin 2'deki değerini 5'te üretir. Genel olarak f'nin a noktasındaki yüksekliği b ise g bu yüksekliğe x − 3 = a, yani x = a + 3 olduğunda ulaşır. Böylece (a, b) noktası (a + 3, b) olur ve grafik 3 birim sağa kayar.

Kural şudur: y = f(x − h) grafiği, f'nin grafiğinin h birim sağa ötelenmişidir; h negatifse sola. Parantezin içindeki işaret, yönün tersini gösteriyor gibi görünür, çünkü işaret x'in kendisine değil, x'in f'ye girmeden önce uğradığı düzeltmeye aittir. y = (x + 2)² grafiği 2 birim sola kayar ve tepesi (−2, 0)'dır.

Yatay ötelemede tanım kümesi de kayar. √x yalnız x ≥ 0 için tanımlıdır; √(x − 2) ise x − 2 ≥ 0, yani x ≥ 2 ister. Grafik (0, 0) yerine (2, 0)'dan başlar, tanım kümesi [2, ∞) olur, görüntü kümesi [0, ∞) olarak kalır. Yatay öteleme yükseklikleri değiştirmediği için görüntü kümesine dokunmaz.

İki ötelemeyi birlikte okumak

y = f(x − h) + k iki ötelemeyi birden içerir: (a, b) noktası (a + h, b + k) olur. y = (x − 3)² + 1 için parabolün tepesi (0, 0)'dan (3, 1)'e taşınır. Grafik okumayı TYT'de işlerken x² − 6x + 10 ifadesini tam kareye tamamlamış ve en alçak noktayı (3, 1) olarak bulmuştuk; aynı sonuç şimdi başka bir dille okunuyor: o grafik, x²'nin 3 birim sağa ve 1 birim yukarı taşınmış hâlidir. Yatay öteleme yalnız x'e, dikey öteleme yalnız çıktıya dokunduğu için bu ikisinin hangisinin önce yapıldığı sonucu değiştirmez.

Kural açık biçimde istenirse yerine koyma yapılır. f(x) = x² − 2x için f(x − 1), kuraldaki her x yerine x − 1 yazılarak bulunur: (x − 1)² − 2(x − 1) = x² − 4x + 3. Sık yapılan hata, sonucun sonuna − 1 eklemektir; f(x) − 1 = x² − 2x − 1 başka bir ötelemedir.

x eksenine göre yansıma: y = −f(x)

Çıktının işareti değişince (a, b) noktası (a, −b) olur; grafik x eksenine göre ters çevrilir. x ekseni üzerindeki noktalar yerinde kalır, bu yüzden x eksenini kestiği yerler aynıdır. y eksenini kestiği nokta ise (0, c)'den (0, −c)'ye geçer. Görüntü kümesi de ters döner: x²'nin görüntü kümesi [0, ∞) iken −x²'ninki (−∞, 0]'dır. En alçak nokta en yüksek noktaya dönüşür.

y eksenine göre yansıma: y = f(−x)

Bu kez girdinin işareti değişir. f'nin a'daki değeri artık −a'da üretilir: (a, b) noktası (−a, b) olur. y eksenini kesen nokta yerinde kalır, x eksenini kestiği noktaların apsisleri işaret değiştirir, tanım kümesi de aynalanır. √x'in tanım kümesi [0, ∞) iken √(−x)'inki (−∞, 0]'dır.

Tek ve çift fonksiyonlar dersinde çift fonksiyonu f(−x) = f(x) eşitliğiyle tanımlamıştık. Bu eşitlik şimdi şöyle okunur: y eksenine göre yansıtılan grafik kendisiyle çakışıyor. Çift bir fonksiyona bu yansıma uygulanınca grafik değişmez.

Orijine göre yansıma: y = −f(−x)

İki işaret değişimi birlikte uygulanınca (a, b) noktası (−a, −b) olur. Bu, grafiği orijin etrafında yarım tur döndürmekle aynıdır. Tek fonksiyonda −f(−x) = f(x) olduğundan bu yansıma tek fonksiyonun grafiğini yerinde bırakır; orijine göre simetri tanımının dönüşüm dilindeki karşılığı budur. Bir önceki dersteki tersin grafiği ise bu üçünden ayrılır: orada apsis ile ordinat yer değiştiriyor, aynalama da eksenlerden birine değil y = x doğrusuna göre yapılıyordu.

Mutlak değerle katlamak: y = |f(x)|

Mutlak değer yalnız negatif çıktıları değiştirir. b ≥ 0 olan noktalar yerinde kalır, b < 0 olan (a, b) noktası (a, −b) olur. Görsel karşılığı, grafiğin x ekseninin altında kalan parçalarını eksen boyunca yukarı katlamaktır. f(x) = x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4) için grafik 2 ile 4 arasında eksenin altındadır ve en alçak noktası (3, −1)'dir. |f(x)| grafiğinde bu çukur bir tümseğe dönüşür: 2 ile 4 arasında tepesi (3, 1) olan küçük bir yay.

Kesişim sorularında bu tümsek belirleyicidir. |f(x)| = 1 denkleminde f(x) = 1 iki kök, f(x) = −1 yalnız x = 3 kökünü verir; toplam üç kök vardır. Yatay doğru tümseğin tepesine teğet geçtiği için tam bu yükseklikte kök sayısı tek sayıya düşer. Görüntü kümesi her zaman [0, ∞)'un içindedir.

Sağ yarıyı aynalamak: y = f(|x|)

Bu kez mutlak değer girdide durur. x ≥ 0 için |x| = x olduğundan grafiğin sağ yarısı aynen kalır. Negatif bir x'te ise |x| = −x olduğundan f(|x|) değeri f(−x)'e eşittir; sol tarafa sağ yarının y eksenine göre aynası çizilir. Asıl grafiğin sol yarısı tamamen silinir. Sonuç her zaman çift bir fonksiyondur.

Yine x² − 6x + 8 kuralıyla bakalım: sağ yarı (0, 8)'den başlayıp (3, −1)'e iner, sonra yükselir; aynası bu yolu sola doğru tekrarlar. f(|x|) grafiği x eksenini −4, −2, 2 ve 4'te keser. f'nin negatif bir kökü olsaydı o kök silinen sol yarıda kalır, f(|x|) grafiğine hiç girmezdi.

Sıra sonucu değiştirir mi?

Yansıma ile öteleme aynı yönde buluştuğunda, yani ikisi de çıktıya ya da ikisi de girdiye dokunduğunda, sıra önem kazanır. y = x² grafiğini 4 birim yukarı taşıyıp sonra x eksenine göre çeviren kişi −(x² + 4) = −x² − 4 kuralına ve (0, −4) tepesine varır. Aynı iki adımı ters sırayla atan kişinin eline −x² + 4 geçer; bu parabolün tepesi (0, 4)'tür ve x eksenini −2 ile 2'de keser, oysa ilki x eksenine hiç değmez.

Girdide de durum aynıdır. √x önce 3 birim sola ötelenirse √(x + 3) olur; bu kuralda x yerine −x yazılınca √(−x + 3) gelir ve tanım kümesi (−∞, 3] olur. Sıra tersine çevrilirse önce √(−x), sonra x yerine x + 3 yazılarak √(−x − 3) bulunur ve tanım kümesi (−∞, −3]'tür. Güvenli yol, her adımı o ana kadarki kurala yerine koyma olarak yazmaktır: yatay bir adım «x yerine ne yazılıyor», dikey bir adım «sonuca ne yapılıyor» sorusuyla kaydedilir. f(2 − x) gibi bir ifade bu yüzden f(−(x − 2)) diye okunur: y eksenine göre yansıma, ardından 2 birim sağa öteleme.

Esnemeye yalnız kısaca değinelim: m > 1 iken y = m · f(x) grafiği dikey yönde m kat uzar, y = f(m · x) grafiği ise yatay yönde m kat daralır. İlki (a, b) noktasını (a, m · b) noktasına, ikincisi (a/m, b) noktasına götürür. AYT'de bu derste istenen dönüşümler öteleme ve yansımadır.

Özet tablo

Bu derste kaydırdığımız, katladığımız kuralların çoğu x'in doğal sayı kuvvetlerinden ve katsayılardan oluşuyordu: x², x² − 6x + 8, x² − 2x. Öteleme bu ifadelerin en büyük kuvvetini yerinde bırakıp katsayılarını değiştirdi. M13'ün ilk dersi bu ifade ailesine adını veriyor: polinom, derece, baş katsayı ve sabit terim. f(x − 1) gibi içi değiştirilmiş bir kural orada yeniden karşımıza çıkacak; ama bu kez merak edilen grafiğin nereye kaydığı değil, katsayıları açmadan toplamak için x'e hangi sayının yazılacağı olacak.

Örnek 1 — Noktayı taşımak

Soru: y = f(x) grafiği (2, 5) noktasından geçmektedir. y = f(x + 3) − 2 grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden kesinlikle geçer?

• A) (5, 3)
• B) (−1, 7)
• C) (−1, 3)
• D) (5, 7)
• E) (2, 3)

Çözüm: f(x + 3) yatayda 3 birim sola, − 2 dikeyde 2 birim aşağı öteler. (2, 5) noktası (2 − 3, 5 − 2) = (−1, 3) olur. Gerçekten x = −1 için f(−1 + 3) − 2 = f(2) − 2 = 3'tür. A seçeneği parantezdeki + 3'ü sağa okumaktan gelir. Cevap: C.

Örnek 2 — Ötelenmiş parabolün kökleri

Soru: y = x² grafiği 2 birim sola ve 5 birim aşağı ötelenmiştir. Elde edilen grafiğin x eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

• A) −4
• B) 5
• C) 4
• D) −5
• E) −2

Çözüm: Yeni kural y = (x + 2)² − 5'tir. (x + 2)² = 5'ten x = −2 + √5 ya da x = −2 − √5 bulunur; toplam −4. İki kök, simetri ekseni x = −2'nin iki yanında eşit uzaklıkta olduğundan toplam doğrudan 2 · (−2)'dir. B seçeneği sola ötelemeyi (x − 2) diye yazmaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 3 — Sıra farkı

Soru: y = x² grafiği önce 2 birim yukarı ötelenip sonra x eksenine göre yansıtılıyor. Son grafiğin en yüksek noktası hangisidir?

• A) (0, 2)
• B) (0, −2)
• C) (2, 0)
• D) (−2, 0)
• E) (0, 0)

Çözüm: Öteleme x² + 2 kuralını, yansıma −(x² + 2) = −x² − 2 kuralını verir. Grafik kolları aşağıda bir paraboldür ve tepesi (0, −2)'dir. A seçeneği iki adımı ters sırayla uygulamaktan (−x² + 2) gelir. Cevap: B.

Örnek 4 — Katlanmış grafikte kesişim

Soru: f(x) = x² − 6x + 8 olmak üzere |f(x)| = 1 eşitliğini sağlayan kaç farklı x gerçek sayısı bulunur?

• A) 4
• B) 1
• C) 0
• D) 3
• E) 6

Çözüm: f(x) = 1 için x² − 6x + 7 = 0 ve x = 3 ± √2, iki kök. f(x) = −1 için x² − 6x + 9 = 0 ve yalnız x = 3. Toplam üç kök vardır. Katlanan tümseğin tepesi (3, 1) olduğundan y = 1 doğrusu ona teğettir. A seçeneği her denklemden iki kök sayan hatadan gelir. Cevap: D.

• f(x − 3)'ü sola öteleme sanmak. Parantez içindeki − 3 grafiği sağa götürür; (a, b) noktası (a + 3, b) olur.
• f(x) + 2 ile f(x + 2)'yi karıştırmak. Birincisi 2 birim yukarı, ikincisi 2 birim sola ötelemedir.
• −f(x) ile f(−x)'i karıştırmak. Eksi çıktının önündeyse x eksenine göre, girdinin önündeyse y eksenine göre yansıma vardır.
• f(|x|) grafiğinde sol yarıyı korumak. Asıl grafiğin sol yarısı silinir, yerine sağ yarının aynası gelir; negatif kökler kaybolur.
• f(2 − x)'i «2 birim sola» diye okumak. f(−(x − 2)) yazılır: önce y eksenine göre yansıma, sonra 2 birim sağa öteleme.
• Yatay ötelemede tanım kümesini kaydırmamak. √(x − 2) için tanım kümesi [2, ∞) olur.