Bileşke fonksiyon

Tülay AYT denemesinde f(x) = √(x − 3) ve g(x) = x² − 1 fonksiyonlarını görüyor; sorulan şey f∘g'nin en geniş tanım kümesi. TYT'den bildiği yolla iç fonksiyonu dışa yerleştiriyor, √(x² − 4) buluyor ve kontrol için x = 1 deniyor. g(1) = 0 çıkıyor, f(0) ise √(−3), yani tanımsız. Formül doğruydu ama her x için çalışmıyordu: g'nin bazı çıktıları f'ye girebilecek sayılardan değildi. Bileşkeyi AYT'de zorlaştıran şey hesap değil, bu tür ayrıntılardır: hangi x'lerde tanımlı olduğu, sıranın ve parantezin neyi değiştirdiği, parçalı bir fonksiyonda hangi kuralın seçileceği, grafikten nasıl okunacağı.

• Bileşkenin en geniş tanım kümesini iç fonksiyonun çıktılarına bakarak belirlersin.
• Değişme özelliğinin genelde olmadığını, birleşme özelliğinin ve birim fonksiyonun bileşkedeki rolünü kullanırsın.
• Tekrarlı bileşkeyi, parçalı fonksiyonlarla bileşkeyi ve grafikten bileşke değerini durum ayırarak hesaplarsın.
• Bileşke ile fonksiyonlardan biri verildiğinde ötekini ya da onun tek bir değerini bulursun.

TYT'den gelen ve eklenen

TYT'de bileşkeye ve terse ilk adımı attığımız M10 dersinde bileşkenin f(g(x)) olarak yazılışını, değeri içten dışa hesaplamayı, doğrusal bileşkeden bilinmeyen fonksiyonu bulmayı ve tablodan bileşke okumayı gördük. O derste fonksiyonların hepsi gerçek sayıların tamamında tanımlıydı. AYT soruları ise bu varsayımı kaldırır: kök, kesir ya da parçalı tanım işin içine girince bileşkenin nerede çalıştığı ayrı bir soru olur.

Bileşke nerede tanımlı?

f∘g'de bir x sayısının yolculuğu iki duraktan geçer. Önce g(x) hesaplanabilmeli, yani x, g'nin tanım kümesinde olmalı. Sonra çıkan g(x) sayısı f'ye verilebilmeli, yani g(x), f'nin tanım kümesinde olmalı. f∘g'nin en geniş tanım kümesi bu iki şartı birlikte sağlayan x'lerden oluşur.

Kancadaki örnekte f yalnız 3 ve üzerindeki sayıları kabul eder. Bu yüzden x² − 1 ≥ 3, yani x² ≥ 4 şartı gerekir ve tanım kümesi x ≤ −2 ya da x ≥ 2 olur. Ters sırada durum daha sinsidir: (g∘f)(x) = (√(x − 3))² − 1 sadeleşince x − 4 görünür, ama bu ifade x = 0 için de bir sayı verse bile g∘f orada tanımsızdır, çünkü ilk durak f(0) hesaplanamaz. Sadeleşmiş kural tanım kümesini taşımaz; tanım kümesi her zaman sadeleştirmeden önce, iç fonksiyondan başlanarak bulunur. Burada g∘f'nin tanım kümesi x ≥ 3'tür.

Sıra ve parantez

f(x) = x² ve g(x) = x + 1 alalım. f∘g = (x + 1)², g∘f = x² + 1 olur; x = 1'de birincisi 4, ikincisi 2 verir. Tek bir karşı örnek, bileşkenin genel olarak değişme özelliği taşımadığını göstermeye yeter. Bazı çiftlerde sıra fark etmeyebilir: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = 3x + 2 için iki bileşke de 6x + 5'tir. Bu bir istisnadır, kural değil; f∘g = g∘f eşitliği soruda koşul olarak verilirse katsayılar arasında bir denklem kurdurur.

Birleşme özelliği ise her zaman geçerlidir: (f∘g)∘h = f∘(g∘h). İki taraf da x'e önce h'yi, sonra g'yi, en son f'yi uygular. Bu yüzden üç fonksiyonlu bileşkede parantez yazılmaz, f∘g∘h demek yeter; değer yine en sağdan başlanarak hesaplanır. f(x) = x + 1, g(x) = 2x ve h(x) = x² ise (f∘g∘h)(3) için önce h(3) = 9, sonra g(9) = 18, en son f(18) = 19 bulunur.

Birim fonksiyon I(x) = x, bileşkede çarpmadaki 1 gibi davranır: f∘I = I∘f = f. I girdiyi değiştirmeden geçirdiği için bir zincire eklemek ya da çıkarmak sonucu bozmaz.

Tekrarlı bileşke

Bir fonksiyon kendisiyle de birleştirilebilir. f(x) = 2x + 1 için f∘f = 4x + 3 ve f∘f∘f = 8x + 7 olur; her uygulamada katsayı ikiye katlanır. Değer istenen sorularda kurala hiç gerek kalmayabilir: (f∘f∘f)(0) için 0 → 1 → 3 → 7 zinciri izlenir.

Bazı fonksiyonlar birkaç adımda başa döner. f(x) = 1/(1 − x) için (x ≠ 0 ve x ≠ 1) f∘f = (x − 1)/x ve f∘f∘f = x bulunur. Üç uygulamada her sayı kendine döndüğüne göre fonksiyonu 20 kez uygulamak, 20'nin 3'e bölümünden kalan kadar, yani 2 kez uygulamakla aynıdır. Uzun bir tekrar sorulduğunda ilk birkaç değeri yazıp dönüyü aramak, kuralı hesaplamaktan hızlıdır.

Parçalı fonksiyonla bileşke

Dış fonksiyon parçalıysa hangi kuralın kullanılacağına x değil, iç fonksiyonun çıktısı karar verir. f(x), x < 1 için x + 3 ve x ≥ 1 için 2x − 1 olsun; g(x) = x² − 4. (f∘g)(1) hesaplanırken x = 1'e bakıp ikinci kuralı seçmek yanlıştır. g(1) = −3 bulunur, −3 < 1 olduğundan birinci kural çalışır ve f(−3) = 0 olur. Aynı sorunun ters sırası (g∘f)(1)'de ise önce f(1) = 1 hesaplanır, sonra g(1) = −3 bulunur. Kural istendiğinde de aynı mantık geçerlidir: f∘g, x² − 4 < 1 olan x'lerde bir kurala, x² − 4 ≥ 1 olanlarda öbürüne ayrılır.

Grafikten bileşke

Fonksiyon grafikle verildiğinde bileşke iki okuma ister. f'nin grafiği (0, 2), (2, 0) ve (4, 4) noktalarını sırayla birleştiren iki doğru parçası olsun. (f∘f)(3) için önce x = 3'teki yükseklik okunur; ikinci parçanın denklemi y = 2x − 4 olduğundan f(3) = 2'dir. Sonra bu 2, yatay eksende yeni girdi olur ve f(2) = 0 okunur.

Grafik sorularının zor biçimi denklemdir: f(f(x)) = 0'ın çözümleri istenirse dıştan içe çözülür. Önce f(t) = 0 eşitliğini sağlayan t bulunur; grafikte bu yalnız t = 2'dir. Sonra f(x) = 2 çözülür ve iki parça ayrı ayrı denenir: birinci parçada x = 0, ikinci parçada x = 3. Bir parçanın verdiği çözüm o parçanın aralığında değilse atılır.

Bileşkeden fonksiyon bulmak

Dış fonksiyon bilinmiyorsa iç ifadeye yeni bir harf verilir. g(x) = 2x − 1 ve f(g(x)) = 4x² − 2 olsun. t = 2x − 1 denirse x = (t + 1)/2 olur ve f(t) = (t + 1)² − 2 = t² + 2t − 1 elde edilir. f'nin yalnız bir değeri isteniyorsa kural kurmaya gerek yoktur: f(g(x)) = 4x − 1 ve g(x) = 2x + 3 iken f(7) için g(x) = 7 eşitliğinden x = 2 bulunur ve f(7) = 4 · 2 − 1 = 7 olur. Asıl soru, iç fonksiyonun hangi x'te istenen sayıyı ürettiğidir.

İç fonksiyon bilinmiyorsa dış fonksiyonun kuralına g(x) yerleştirilir ve g(x) bilinmeyen gibi çözülür. Dış fonksiyon karesel olduğunda tek cevap çıkmayabilir: f(x) = x² için f(g(x)) = x² + 2x + 1 eşitliğini hem g(x) = x + 1 hem g(x) = −x − 1 sağlar. Bu tür sorularda soru ek bir koşul verir (eğimin işareti, bir noktadaki değer); o koşul adaylardan birini eler.

Tek ve çift fonksiyonların bileşkesi

Bir önceki derste tek ve çift fonksiyonları f(−x) eşitliğiyle ayırdık. Bileşkede bu özellik içten dışa taşınır. g çiftse −x ile x aynı g değerini ürettiği için dış fonksiyon iki durumda da aynı sayıyı alır; f ne olursa olsun f∘g çifttir. İkisi de tekse −x girince g önce −g(x) verir, f de bu eksiyi dışarı taşır; sonuç (f∘g)(x)'in negatifidir ve f∘g tektir. f(x) = x³ − x tek, g(x) = x² + 1 çift olduğunda f∘g ve g∘f ikisi de çift çıkar.

Birebirlik ve örtenlik

Modülün ilk dersindeki fonksiyon türleri bileşkede de izlenebilir. f ve g ikisi de birebirse f∘g birebirdir: farklı iki girdi g'den farklı çıkar, f de farklı girdileri ayrı tutar. İkisi de örtense f∘g de örtendir. Ters yön her zaman işlemez: f∘g birebir olduğunda g birebir olmak zorundadır, ama f olmayabilir. g: [0, ∞) → R, g(x) = x ve f(x) = x² alınırsa f∘g = x² yalnız negatif olmayan sayılarda çalıştığı için birebirdir, oysa f, 2 ile −2'yi aynı yere götürür.

Geri alan fonksiyon

Bazı fonksiyon çiftleri birleştirildiğinde birim fonksiyonu verir: biri ne yaptıysa öbürü onu tam olarak bozar ve x yine x olarak çıkar. Sıradaki ders bu eşe, yani ters fonksiyona ayrılıyor: hangi fonksiyonun böyle bir eşi olduğu, eşin kuralının y = f(x) eşitliğinden nasıl çıkarıldığı ve bir fonksiyonla eşinin grafiklerinin y = x doğrusuna göre nasıl yerleştiği.

Örnek 1 — Bileşkenin tanım kümesi

Soru: f(x) = √(x + 1) ve g(x) = 3 − x olduğuna göre f∘g fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?

• A) x ≥ −1
• B) x ≤ 4
• C) x ≥ 4
• D) x ≤ 3
• E) Bütün gerçek sayılar

Çözüm: g her gerçek sayıda tanımlıdır; şart g(x)'in f'ye girebilmesidir: 3 − x + 1 ≥ 0, yani x ≤ 4. A seçeneği f'nin kendi tanım kümesidir, iç fonksiyonun çıktısına bakılmadan yazılmıştır. Cevap: B.

Örnek 2 — Parçalı fonksiyonla bileşke

Soru: f(x), x < 1 için x + 3 ve x ≥ 1 için 2x − 1 olarak tanımlanıyor; g(x) = x² − 4. (f∘g)(1) + (g∘f)(1) toplamı kaçtır?

• A) −10
• B) 3
• C) −3
• D) 0
• E) −6

Çözüm: g(1) = −3 ve −3 < 1 olduğundan f(−3) = 0. f(1) = 1 ve g(1) = −3. Toplam 0 + (−3) = −3. f'nin kuralı x = 1'e bakılarak seçilirse f(−3) = −7 hesaplanır ve −10 bulunur. Cevap: C.

Örnek 3 — Dış fonksiyonu bulmak

Soru: g(x) = 2x − 1 ve f(g(x)) = 4x² − 2 ise f(x) aşağıdakilerden hangisidir?

• A) x² − 2
• B) 4x² − 2
• C) x² − 2x − 1
• D) 2x² − 1
• E) x² + 2x − 1

Çözüm: t = 2x − 1 denirse x = (t + 1)/2 ve 4x² = (t + 1)² olur. f(t) = (t + 1)² − 2 = t² + 2t − 1. Sağlama: (2x − 1)² + 2(2x − 1) − 1 = 4x² − 2. Cevap: E.

Örnek 4 — Başa dönen tekrar

Soru: f(x) = 1/(1 − x) fonksiyonu 3 sayısına art arda 20 kez uygulanıyor. Elde edilen sayı kaçtır?

• A) 3
• B) −1/2
• C) 3/2
• D) 2/3
• E) −2

Çözüm: f(3) = −1/2, f(−1/2) = 2/3, f(2/3) = 3; üç adımda başa dönülür. 20 = 3 · 6 + 2 olduğundan sonuç iki uygulamadan sonraki değerdir: 2/3. Cevap: D.

• Tanım kümesini sadeleşmiş kuraldan okumak. √(x − 3) içeren bir bileşke x − 4'e sadeleşse de x < 3 için tanımsız kalır; şart her zaman iç fonksiyondan başlanarak kurulur.
• Parçalı dış fonksiyonda kuralı x'e göre seçmek. Karar iç fonksiyonun çıktısına göre verilir; x'e bakmak yanlış parçayı çalıştırır.
• f∘g∘h'yi soldan uygulamak. Değer en sağdaki fonksiyondan başlar; soldan başlamak seçeneklerde hazır bir sayı verir.
• f(g(x)) kuralına doğrudan sayıyı koymak. f(5) istenince x = 5 yazılmaz; önce g(x) = 5 eşitliğinden x bulunur.
• Karesel dış fonksiyonda tek iç fonksiyon aramak. f(g(x)) karesel bir ifadeyse iki aday çıkabilir; sorudaki ek koşul hangisinin kaldığını söyler.
• Grafik denkleminde parça aralığını unutmak. Bir parçadan çıkan çözüm o parçanın x aralığında değilse sayılmaz.