Tek ve çift fonksiyonlar

Rana, y = x² − 4 grafiğini kareli kâğıda çizmek için bir değer tablosu hazırlıyor. x = 1, 2, 3 için −3, 0 ve 5 yüksekliklerini işaretledikten sonra x = −1, −2, −3 sütununu doldururken kalemini bırakıyor: aynı sayılar tekrar geliyor. Sol yarıyı hesaplamaya gerek yok, sağ yarının aynası yeterli. Ertesi gün y = x³ için aynı kolaylığı arıyor ve hayal kırıklığına uğruyor: (2, 8) noktasının karşısında (−2, 8) yok, onun yerine (−2, −8) var. Sayılar yine tekrar ediyor, ama bu kez işaret değiştirerek. Rana'nın fark ettiği iki düzen, bu dersin konusu olan çift ve tek fonksiyonlardır. Bir fonksiyonun bu iki düzenden hangisine uyduğunu bilmek, yarım hesapla tam sonuca ulaşmak demektir.

• f(−x) ifadesini hesaplayıp f(x) ve −f(x) ile karşılaştırarak bir fonksiyonun tek, çift ya da ikisi de olmadığını belirlersin.
• Tanım kümesinin sıfıra göre simetrik olup olmadığını denetler, tek fonksiyonda f(0) = 0 sonucunu kullanırsın.
• Polinomlardaki tek ve çift kuvvetlerden, sabit terimden ve toplama, çarpma kurallarından yararlanarak parametreli soruları çözersin.
• Grafiğin y eksenine ya da orijine göre simetrisinden, parçalı ve mutlak değerli kurallardan eksik değerleri bulursun.

Çift fonksiyon

Tanım kümesindeki her x için f(−x) = f(x) oluyorsa f'ye çift fonksiyon (even function) denir. Kancadaki f(x) = x² − 4 bunun en tanıdık örneğidir: f(−3) = 9 − 4 = 5 ve f(3) = 5. Kuralda x yerine −x yazıldığında (−x)² = x² olduğu için ifade hiç değişmez; denetim tam olarak budur. Tek bir sayı çiftinde eşitlik tutması yetmez, eşitlik her x için sağlanmalıdır.

Grafik dilinde bu tanımın karşılığı şudur: (a, b) noktası grafikteyse (−a, b) noktası da grafiktedir. Bu iki nokta y ekseninin iki yanında, eksene eşit uzaklıktadır. Dolayısıyla çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir. TYT'deki «Fonksiyon grafiği okuma» dersinde parabolün en alçak noktasını bulmuştuk; tepe noktası y ekseni üzerinde olan her parabol bu yüzden çift bir fonksiyonun grafiğidir.

Tek fonksiyon

Tanım kümesindeki her x için f(−x) = −f(x) oluyorsa f'ye tek fonksiyon (odd function) denir. f(x) = x³ için f(−2) = −8 = −f(2) olur. Kuralda −x yazılınca ifadenin tamamı −1 ile çarpılmış hâle gelir: (−x)³ = −x³.

Grafikte bu kez (a, b) noktasının eşi (−a, −b) noktasıdır. Bu iki noktanın orta noktası (0, 0)'dır; yani grafik orijine göre simetriktir. Orijin etrafında yarım tur döndürülen bir tek fonksiyon grafiği kendisiyle çakışır. Grafikten okuma yapılırken pratik kural şöyledir: çift fonksiyonda sağ yarıdaki her yükseklik sol yarıda aynen, tek fonksiyonda ise ters işaretle görülür.

Tanım kümesi simetrik olmalı

İki tanım da f(−x) ifadesini kullandığı için x tanım kümesindeyken −x de tanım kümesinde olmalıdır. Bu şarta tanım kümesinin sıfıra göre simetrik olması denir: [−4, 4], (−1, 1) ve R simetriktir, [−2, 3] simetrik değildir. f(x) = x² kuralı [−2, 3] aralığında tanımlanırsa artık çift fonksiyon sayılmaz, çünkü f(3) var ama f(−3) yoktur. Bu yüzden «f: [a − 2, 6] → R çift fonksiyondur» gibi bir soruda ilk iş uç noktaları eşleştirmektir: a − 2 = −6 ve a = −4. Kural ne kadar uygun görünürse görünsün, simetrik olmayan bir tanım kümesinde fonksiyon tek de çift de değildir.

Ne tek ne çift

Çoğu fonksiyon iki sınıfa da girmez. f(x) = x² + x için f(1) = 2, f(−1) = 0 bulunur; 0 sayısı ne 2'ye ne de −2'ye eşittir. Bir fonksiyonun çift olmadığını göstermek için eşitliği bozan tek bir x yeter, ama çift olduğunu göstermek için genel ifadeyle f(−x) hesaplanmalıdır. Tersine durum da var: f(x) = 0 sabit fonksiyonu hem f(−x) = f(x) hem de f(−x) = −f(x) eşitliğini sağlar. Simetrik bir tanım kümesinde iki sınıfa birden giren tek fonksiyon budur, çünkü f(x) = −f(x) eşitliği f(x) = 0 demektir.

Bir önceki dersle de bir bağ kurulabilir. Tanım kümesinde sıfırdan farklı bir a ile birlikte −a varsa çift fonksiyon a ve −a'yı aynı görüntüye gönderir, dolayısıyla birebir olamaz.

Polinomlarda kuvvetler

Adlar buradan gelir. xⁿ kuvveti n çiftse çift, n tekse tek fonksiyondur, çünkü (−x)ⁿ çift n için xⁿ, tek n için −xⁿ olur. Sabit terim x⁰ gibi davrandığı için çift kuvvetlerin yanında sayılır. Buna göre bir polinom yalnızca çift kuvvetler ve sabit terimden oluşuyorsa çifttir: x⁴ − 5x² + 1. Yalnızca tek kuvvetlerden oluşuyorsa tektir: x⁵ + 2x³ − x. İki türü birlikte içeriyorsa sıfırdan farklı katsayılarla ne tek ne çifttir: x³ + 1 bu yüzden tek değildir. Sabit terimin varlığı bir tek fonksiyonu bozmaya yeter.

Parametreli sorular bu gözlemle çözülür. Polinomun tek olması isteniyorsa çift kuvvetlerin katsayıları ve sabit terim sıfıra, çift olması isteniyorsa tek kuvvetlerin katsayıları sıfıra eşitlenir. f(x) = x⁴ + (k − 3)x³ + 2x² çift olacaksa k − 3 = 0 ve k = 3 olur.

Tek fonksiyonda f(0)

Tek fonksiyonun tanım kümesinde 0 varsa f(0) = −f(0) yazılabilir; iki tarafa f(0) eklenince 2 · f(0) = 0 olur, sıfır görüntüsü kendiliğinden çıkar. Demek ki tanım kümesinde 0 bulunan bir tek fonksiyonun grafiği orijinden geçmek zorundadır. Bu kısa sonuç, sabit terimi bir parametre içeren sorularda doğrudan denklem verir. Çift fonksiyonda ise f(0) herhangi bir sayı olabilir.

İşlemlerde tek ve çift

Tek ve çift fonksiyonlar toplanıp çarpıldığında sonuç, sayılardaki işaret kurallarına benzer bir tabloya uyar:

Her satır f(−x) hesabıyla doğrulanır. f ve g tekse (f · g)(−x) = (−f(x)) · (−g(x)) = f(x) · g(x) olur; iki eksi birbirini götürür. f tek, g çiftse (f · g)(−x) = −f(x) · g(x) bulunur ve çarpım tektir. Tek bir fonksiyonla çift bir fonksiyonun toplamı ise, ikisi de sıfır fonksiyonu değilse, hiçbir sınıfa girmez: x³ + x² bunun örneğidir. Çarpımda tekliğin sayılara benzer işlediğini görmek akılda tutmayı kolaylaştırır: tek sayıda tek çarpan varsa çarpım tek, çift sayıda varsa çifttir.

Son bir gözlem toplamın tersine çalışır: simetrik tanım kümesindeki her fonksiyon bir çift ve bir tek parçanın toplamı olarak yazılabilir. h(x) = x³ + 2x² − 5x + 4 için çift parça 2x² + 4, tek parça x³ − 5x'tir. Soruda «f çift, g tek ve f + g şu polinom» deniyorsa f'yi çift kuvvetler, g'yi tek kuvvetler oluşturur.

Parçalı ve mutlak değerli kurallar

|x| çift bir fonksiyondur, çünkü |−x| = |x|. Mutlak değerli ifadelerde de yol f(−x) hesabıdır. |x − 3| + |x + 3| toplamına −x konunca iki terim yalnız yer değiştirir, |x + 3| + |x − 3| elde edilir ve fonksiyon çifttir; |x − 2| − |x + 2| ise işaret değiştirir ve tektir. x · |x| tek fonksiyondur, x⁴ − |x| çifttir.

Parçalı verilen sorularda kural çoğu zaman yalnız x > 0 için yazılır; öteki yarı teklik ya da çiftlikten elde edilir. f tek ve x > 0 için f(x) = x² − 4x ise f(−1) hesaplanırken negatif sayı pozitif kurala konmaz: f(−1) = −f(1) = −(1 − 4) = 3. TYT'deki «Fonksiyon kavramı» dersinde parçalı fonksiyonda önce bölgeyi seçmiştik; burada da ilk adım sayının hangi yarıda olduğunu görmektir.

Sırada ne var?

Şu ana kadar fonksiyonları tek başına ya da toplayıp çarparak inceledik. Bir sonraki ders başka bir birleştirmeye geçiyor: bir fonksiyonun çıktısını ikincisine girdi yapmak, yani (f∘g)(x) = f(g(x)) bileşkesi. Orada iç fonksiyonun ürettiği sayıların dış fonksiyonun kabul ettiği sayılar arasında olup olmadığı tanım kümesini belirleyecek, f∘g ile g∘f'nin neden çoğu zaman farklı çıktığı görülecek; bu dersteki tek-çift sorusu da iki fonksiyon art arda uygulandığında yeniden sorulacak.

Örnek 1 — Kuraldan sınıflama

Soru: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi çifttir?

• A) f(x) = x³ + 1
• B) f(x) = x² + x
• C) f(x) = x⁵ − x
• D) f(x) = x⁴ − 3x² + 5
• E) f(x) = 2x

Çözüm: D seçeneğinde yalnız çift kuvvetler ve sabit terim vardır; (−x)⁴ = x⁴ ve (−x)² = x² olduğundan f(−x) = f(x) olur. A ve B tek ile çift kuvveti birlikte taşıdığı için iki sınıfa da girmez; C ve E ise tektir. Cevap: D.

Örnek 2 — Katsayıyı sıfırlamak

Soru: f(x) = (a + 2)x⁴ + (b − 3)x³ + 5x² + (a − b + 1)x + 7 çift bir fonksiyon olduğuna göre f(1) kaçtır?

• A) 16
• B) 12
• C) 18
• D) 9
• E) 14

Çözüm: Çift olması için tek kuvvetlerin katsayıları sıfır olmalıdır: b − 3 = 0'dan b = 3, a − b + 1 = 0'dan a = 2. Fonksiyon 4x⁴ + 5x² + 7 olur ve f(1) = 4 + 5 + 7 = 16. Cevap: A.

Örnek 3 — Yalnız pozitif tarafı verilen kural

Soru: f: R → R tek bir fonksiyondur ve x > 0 için f(x) = x² − 4x'tir. f(−1) kaçtır?

• A) −3
• B) 5
• C) −5
• D) 0
• E) 3

Çözüm: −1 negatif olduğu için kural doğrudan kullanılamaz. Teklikten f(−1) = −f(1) yazılır; f(1) = 1 − 4 = −3 olduğundan f(−1) = 3. B seçeneği −1'i pozitif tarafın kuralına koymaktan, A ise eksi işaretini unutmaktan gelir. Cevap: E.

Örnek 4 — Çarpım ve toplam birlikte

Soru: f tek, g çift fonksiyonlardır; f(2) = 3 ve g(2) = −1'dir. h(x) = f(x) · g(x) + g(x) olduğuna göre h(−2) kaçtır?

• A) −4
• B) 4
• C) 2
• D) −2
• E) 0

Çözüm: f(−2) = −3 ve g(−2) = −1 olur. h(−2) = (−3) · (−1) + (−1) = 3 − 1 = 2. h(2) = −4 hesaplanıp A seçeneğine gidilirse h'nin ne tek ne çift olduğu gözden kaçmış olur. Cevap: C.

• Tanım kümesine bakmadan kurala güvenmek. x² kuralı [−2, 3] aralığında çift değildir; önce tanım kümesinin sıfıra göre simetrik olduğu denetlenir.
• Sabit terimi tek fonksiyonun içinde bırakmak. x³ + 2 tek değildir; tek fonksiyonda 0 tanımlıysa f(0) = 0 olmak zorundadır.
• Negatif sayıyı pozitif taraf için verilen kurala koymak. Kural yalnız x > 0 için verilmişse f(−a), f(a) üzerinden hesaplanır.
• Tek · tek çarpımını tek sanmak. İki eksi işareti birbirini götürür; tek · tek çifttir, tek · çift tektir.
• Tek ile çiftin toplamını sınıflamaya çalışmak. İkisi de sıfırdan farklı fonksiyonlarsa bu toplam ne tek ne çifttir.