Fonksiyon türleri: birebir, örten, içine

Korhan deneme sınavından önce salon görevlisine yardım ediyor: 24 öğrenciyi 30 sıralı bir salona yerleştirecek. Her öğrenciye bir sıra düşmeli, iki öğrenci aynı sıraya oturmamalı. Liste bitince 6 sıra boş kalıyor. Görevli gülerek soruyor: «Bu yerleştirme bir fonksiyon mu? Öyleyse hangi türden?» Korhan'ın aklına bir hafta önce yanlış yaptığı soru geliyor. «f(x) = x² örten midir?» diye sorulmuştu; o «evet» demişti, cevap anahtarı «hayır» diyordu. Arkadaşı Mehtap aynı kuralı başka bir kitapta görmüş ve orada cevap «evet» imiş. İki kitap da haklıydı, çünkü ikisinde tanım ve değer kümeleri farklı yazılmıştı. Bu derste bir fonksiyonun türünü kuralın yanında kümelerin de belirlediğini görecek, sonlu kümeler arasındaki fonksiyonları türlerine göre sayacağız.

• Birebirliği x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) tanımıyla, yatay doğru testiyle ve artanlık ya da azalanlık bilgisiyle sınarsın.
• Görüntü kümesini değer kümesiyle karşılaştırarak bir fonksiyonun örten mi içine mi olduğuna karar verirsin.
• Tanım ve değer kümesi değiştiğinde aynı kuralın türünün nasıl değiştiğini gösterirsin.
• Sonlu kümeler arasındaki tüm, birebir, birebir örten, örten ve içine fonksiyonların sayısını hesaplarsın.

TYT'den getirdiklerimiz

Fonksiyon kavramı dersinde tanım kümesini, değer kümesini ve görüntü kümesini ayırdık; sabit ve birim fonksiyonu tanıdık; s(A) elemanlı bir kümeden s(B) elemanlı bir kümeye s(B)^s(A) fonksiyon kurulabildiğini gördük. Grafik okuma dersinde artan ve azalan fonksiyonları, bileşke ve ters fonksiyona giriş dersinde de birebir ile örten kavramlarını ilk kez kullandık. AYT'de bu iki kavram tek başına soru konusu olur: soruda «birebir midir, örten midir, içine midir» diye sorulur, ya da bir parametre fonksiyonu belirli bir türe sokacak biçimde aranır. Bu yüzden tanımları kesin yazmak ve her birini sınamanın yolunu bilmek gerekir.

Birebir: tanım ve kanıt

f: A → B fonksiyonunda tanım kümesinden alınan her x₁ ≠ x₂ için f(x₁) ≠ f(x₂) oluyorsa f birebirdir. Aynı şart ters yönden de yazılabilir: f(x₁) = f(x₂) eşitliği yalnızca x₁ = x₂ iken sağlanıyorsa f birebirdir. Kanıt yazarken ikinci biçim daha kullanışlıdır. f(x) = 3x − 5 için 3a − 5 = 3b − 5 yazılırsa 3a = 3b ve a = b çıkar; demek ki f birebirdir.

Birebir olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeter. f(x) = x² − 4x gerçek sayılarda tanımlıysa f(0) = 0 ve f(4) = 0 olduğundan iki farklı girdi aynı görüntüye gider. Kanıt yazmak bütün girdiler için çalışır, karşı örnek ise tek bir çifti göstermekle işi bitirir.

Yatay doğru testi ve artanlık

Grafikle verilen bir fonksiyonda değer kümesindeki her k için y = k yatay doğrusu çizilir. Hiçbir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir. Dikey doğru testi bir eğrinin fonksiyon olup olmadığına bakıyordu; yatay doğru testi ise fonksiyon olduğu bilinen bir grafikte görüntülerin tekrar edip etmediğine bakar.

Tanım kümesinin tamamında kesin artan ya da kesin azalan bir fonksiyon birebirdir: x büyüdükçe görüntü hep büyüyorsa iki farklı girdinin aynı yere düşmesi imkânsızdır. Tersi her zaman doğru değildir. f(x) = 1/x fonksiyonu sıfırdan farklı gerçek sayılarda birebirdir, ama tüm tanım kümesinde artan ya da azalan sayılamaz: f(−1) = −1 iken f(1) = 1 olur. Artanlık, birebirliği göstermenin hızlı bir yoludur; birebirliğin tek yolu değildir.

Örten ve içine

Görüntü kümesi değer kümesine eşitse f örtendir. Başka bir deyişle, değer kümesindeki her y için f(x) = y denkleminin tanım kümesinde en az bir çözümü vardır. Görüntü kümesi değer kümesinin bir alt kümesi olup ona eşit değilse, yani değer kümesinde hiçbir elemanın görüntüsü olmayan en az bir eleman kalıyorsa, f içine fonksiyondur. Her fonksiyon bu iki türden yalnızca birine girer: ya örtendir ya içine.

Örtenliği sınarken y = f(x) yazılır ve x yalnız bırakılmaya çalışılır. f: R → R, f(x) = 2x + 7 için x = (y − 7)/2 her gerçek y için bir gerçek sayı verir, dolayısıyla f örtendir. f: R → R, f(x) = x² + 1 için ise x² = y − 1 eşitliği y < 1 olduğunda çözümsüzdür; görüntü kümesi [1, ∞) olur ve f içinedir. Grafikte aynı karar yatay doğrularla verilir: değer kümesindeki her yatay doğru grafiği en az bir kez kesmelidir.

Eşleme, sabit ve birim fonksiyon

Hem birebir hem örten olan fonksiyona birebir örten fonksiyon ya da eşleme denir. Eşlemede değer kümesinin her elemanı tanım kümesinden tam bir elemanın görüntüsüdür. Korhan'ın yerleştirmesi birebirdir, çünkü iki öğrenci aynı sırayı paylaşmaz; ama içinedir, çünkü altı sıra hiçbir öğrencinin görüntüsü olmadan kalır. Salonda 24 sıra olsaydı aynı yerleştirme bir eşleme olurdu.

Sabit fonksiyon her elemanı aynı c değerine götürür; görüntü kümesi {c} olur. Tanım kümesi birden fazla elemanlıysa sabit fonksiyon birebir olamaz, değer kümesi de {c}'den büyükse içinedir. Birim fonksiyon f: A → A, f(x) = x her elemanı kendine götürdüğü için her zaman eşlemedir. Katsayısı parametreli doğrusal fonksiyonlarda bu bilgi doğrudan kullanılır: f: R → R, f(x) = (m − 4)x + 7 için m ≠ 4 ise f eşlemedir, m = 4 ise f(x) = 7 sabit fonksiyonu ortaya çıkar ve f ne birebir ne örtendir.

Kümeler değişince tür değişir

Kancadaki iki kitabın neden ikisinin de haklı olduğu f(x) = x² kuralında görülür:

Tanım kümesini daraltmak birebirliği kazandırabilir, çünkü aynı görüntüyü veren girdilerden biri dışarıda kalır. Değer kümesini görüntü kümesine kadar daraltmak ise örtenliği kazandırır. Bu yüzden «f(x) = x² örten midir?» sorusunun cevabı kümeler yazılmadan verilemez. Sınavda ikinci dereceden bir kural için «birebir örten» isteniyorsa önce tam kareye tamamlanır: f(x) = (x − r)² + k ise tanım kümesi r'nin bir yanında kalmalı, değer kümesi de o aralığın görüntüsü olmalıdır.

Sonlu kümelerde sayılar

s(A) = n ve s(B) = m olsun. Bütün fonksiyonların sayısı mⁿ'dir. Birebir fonksiyonda A'nın elemanları sırayla farklı görüntüler seçer: birinci eleman m, ikinci m − 1 seçeneğe sahiptir ve sayı P(m, n) = m!/(m − n)! olur. n > m ise birebir fonksiyon kurulamaz, çünkü n eleman m kutuya farklı yerlere sığmaz. Benzer nedenle n < m ise örten fonksiyon da kurulamaz ve bütün mⁿ fonksiyon içinedir.

n = m durumunda birebir olmak ile örten olmak aynı şeydir; her iki türün sayısı da n!'dir. İçine fonksiyonlar bu durumda nⁿ − n! tanedir: s(A) = s(B) = 4 için 256 − 24 = 232.

n > m olduğunda örten fonksiyonları saymak için görüntülerin nasıl paylaşıldığına bakılır. s(A) = 4, s(B) = 2 ise 16 fonksiyonun yalnız ikisi, iki sabit fonksiyon, içinedir; örtenler 14 tanedir. s(A) = 4, s(B) = 3 ise örten bir fonksiyonda B'nin bir elemanı A'dan iki elemanı, diğer ikisi birer elemanı alır. İki eleman alacak görüntü 3 biçimde, ona gidecek ikili C(4, 2) = 6 biçimde seçilir; kalan iki eleman kalan iki görüntüye 2! biçimde dağılır: 3 · 6 · 2 = 36. Bütün fonksiyonlar 3⁴ = 81 olduğundan içine fonksiyonlar 45 tanedir. Bu sayıların her biri, A'dan B'ye kurulabilecek bütün fonksiyonlar tek tek listelenip türlerine göre ayrıldığında aynen çıkar.

Grafikten tür okuma

Tanım kümesi bir aralıkla sınırlanmış grafiklerde uç noktalara dikkat edilir. f: [−1, 3] → [0, 9], f(x) = x² için grafik 0'dan 9'a kadar her yüksekliğe ulaştığından f örtendir; ama y = 1 doğrusu grafiği x = −1 ve x = 1'de iki kez kestiğinden birebir değildir. Aynı kural [0, 3]'te tanımlansaydı ve değer kümesi [0, 9] olsaydı, tek kesişim kalır ve f eşleme olurdu. Grafik sorusunda önce değer kümesinin sınırları y ekseninde işaretlenir, sonra bu bandın her yüksekliğinde kaç kesişim olduğu sayılır.

x² örneğinde birebirliği bozan şey, x ile −x'in hep aynı görüntüyü vermesiydi; grafik y eksenine göre katlanınca iki yarısı üst üste geliyordu. Bir sonraki derste bu katlanmayı bir türe dönüştüreceğiz: f(−x) = f(x) ya da f(−x) = −f(x) eşitliklerinden hangisini sağladığına bakarak fonksiyonları çift ve tek diye ayıracak, bu simetrinin grafikte ve hesapta nasıl kullanıldığını göreceğiz.

Örnek 1 — Birebir fonksiyon sayısı

Soru: A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d, e} kümeleri veriliyor. A'dan B'ye tanımlanan birebir fonksiyonlar kaç tanedir?

• A) 625
• B) 120
• C) 24
• D) 1024
• E) 5

Çözüm: A'nın elemanları sırayla 5, 4, 3 ve 2 farklı görüntü arasından seçer: P(5, 4) = 5 · 4 · 3 · 2 = 120. 625 bütün fonksiyonların sayısıdır; 1024 ise taban ile üssün yer değiştirmesinden gelir. Cevap: B.

Örnek 2 — Örten fonksiyon sayısı

Soru: s(A) = 4 ve s(B) = 3 iken A'dan B'ye kaç örten fonksiyon tanımlanır?

• A) 81
• B) 24
• C) 45
• D) 36
• E) 12

Çözüm: Örten bir fonksiyonda B'nin bir elemanı iki görüntü alır. O eleman 3, ona giden ikili C(4, 2) = 6, kalan iki eleman 2! biçimde seçilir: 3 · 6 · 2 = 36. 45 içine fonksiyonların sayısıdır, 81 ise bütün fonksiyonları sayar. Cevap: D.

Örnek 3 — Değer kümesini bulmak

Soru: f: [2, ∞) → B, f(x) = x² − 4x + 7 fonksiyonu birebir ve örten olduğuna göre B kümesi nedir?

• A) [3, ∞)
• B) [7, ∞)
• C) [2, ∞)
• D) R
• E) [0, ∞)

Çözüm: f(x) = (x − 2)² + 3 olur. Tanım kümesi x = 2'den başladığı için fonksiyon bu aralıkta artandır ve birebirdir. En küçük görüntü f(2) = 3'tür ve x büyüdükçe görüntü sınırsız büyür; örten olması için B görüntü kümesine eşit olmalıdır: B = [3, ∞). [7, ∞) sabit terimi en küçük değer sanmaktan gelir. Cevap: A.

Örnek 4 — Parçalı fonksiyonda parametre

Soru: f: R → R fonksiyonu x < 1 için f(x) = x + m, x ≥ 1 için f(x) = 2x + 3 kuralıyla veriliyor. f birebir ve örten olduğuna göre m kaçtır?

• A) 2
• B) 3
• C) 5
• D) 6
• E) 4

Çözüm: Sol parça (−∞, 1 + m), sağ parça [5, ∞) aralığını görüntüler. İki aralık arasında boşluk kalırsa f örten olmaz; bu yüzden 1 + m ≥ 5 gerekir. Aralıklar üst üste binerse bir değer iki kez alınır ve f birebir olmaz; bu yüzden 1 + m ≤ 5 gerekir. İki şart birlikte 1 + m = 5 verir ve m = 4 bulunur. m = 5 seçilirse örtenlik kalır ama 5 ile 6 arasındaki değerler iki kez alınır. Cevap: E.

• Kümeleri okumadan tür söylemek. f(x) = x² için R → R'de ne birebir ne örten, [0, ∞) → [0, ∞)'da eşlemedir; kural tek başına türü belirlemez.
• İçine ile birebiri karıştırmak. «İçine», değer kümesinde boş kalan eleman olduğunu söyler; girdilerin farklı görüntüye gidip gitmediği ayrı bir sorudur.
• Fonksiyon sayısında taban ile üssü yer değiştirmek. Tüm fonksiyonlar s(B)^s(A)'dır; 3 elemanlıdan 5 elemanlıya 125, 243 değil.
• Birebir sayısında kombinasyon kullanmak. Farklı elemanların görüntüleri sıralı seçilir; doğru sayı C(m, n) değil P(m, n)'dir.
• s(A) = s(B) iken örten ile birebiri ayrı ayrı saymak. Bu durumda ikisi aynı fonksiyonlardır ve sayıları n!'dir; içine olanlar nⁿ − n! tanedir.
• Parçalı fonksiyonda yalnız bir şartı kontrol etmek. Aralıklar arasında boşluk örtenliği, çakışma birebirliği bozar; eşleme için iki şart birlikte gerekir.