Merkezi eğilim ve yayılım ölçüleri

İki öğrencinin beş deneme sınavındaki netleri şöyle: Elif 30, 31, 29, 30, 30; Kerem 15, 45, 20, 40, 30. İkisinin de ortalaması 30'dur. Ortalamaya bakan biri iki öğrencinin aynı düzeyde olduğunu söyleyebilir. Oysa Elif'in netleri neredeyse hiç değişmezken Kerem'inkiler 15 ile 45 arasında savrulur. Bir veri kümesini tek bir sayıyla özetlemek bu yüzden yetmez: verinin merkezini gösteren bir sayının yanında, verinin bu merkez etrafında ne kadar dağıldığını gösteren bir sayı da gerekir. Bir önceki derslerde olasılığı gördük; istatistik ise gerçekleşmiş verileri inceler. Bu derste merkezi eğilim ölçülerini, yani aritmetik ortalamayı, medyanı ve modu, ardından yayılım ölçülerini, yani açıklığı, çeyrekler açıklığını ve standart sapmayı, son olarak verilere ekleme ve çarpma yapıldığında bu ölçülerin nasıl değiştiğini işliyoruz.

• Bir veri grubunun aritmetik ortalamasını, medyanını ve modunu bulur; eksik veriyi ortalamadan hesaplarsın.
• İki grubun birleşiminin ortalamasını ağırlıklı ortalamayla bulursun.
• Açıklığı, çeyrekleri ve çeyrekler açıklığını, standart sapmayı hesaplarsın.
• Her veriye bir sayı eklendiğinde ya da her veri bir sayıyla çarpıldığında merkezi eğilim ve yayılım ölçülerinin nasıl değiştiğini bilirsin.

Aritmetik ortalama

Bir veri grubundaki sayıların toplamının veri sayısına bölümüne aritmetik ortalama denir. 3, 6 ve 9'un ortalaması 18/3 = 6'dır. Ortalamanın en kullanışlı özelliği toplamla bağlantısıdır: n verinin ortalaması x ise toplamları n · x'tir. Bu yüzden eksik bir veri ya da gruptan çıkarılan bir veri toplam üzerinden bulunur. Bir grup veri çıkarıldığında ya da eklendiğinde önce eski ve yeni toplamlar yazılır, sonra farkları alınır.

İki grup birleştirildiğinde ortalamaların ortalaması alınmaz; her grubun toplamı bulunur ve toplam veri sayısına bölünür. Bu, ağırlıklı ortalamadır: kalabalık olan grup sonuca daha çok etki eder. 20 kişilik bir grubun ortalaması 50, 30 kişilik bir grubunki 60 ise genel ortalama (1000 + 1800)/50 = 56'dır; 55 değildir.

Medyan

Veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortadaki değere medyan denir. Veri sayısı tekse tam ortadaki sayı medyandır. Veri sayısı çiftse ortadaki iki sayının ortalaması alınır: 2, 4, 8 ve 10 için medyan (4 + 8)/2 = 6'dır. Medyan bulunmadan önce verilerin sıralanması gerekir; sırasız listede ortadaki sayıyı almak en yaygın hatadır.

Medyan, uç değerlerden etkilenmez. Bir mahalledeki evlerin değerleri arasında tek bir saray varsa ortalama yükselir ama medyan neredeyse değişmez. Bu yüzden gelir ve fiyat gibi aşırı değerler içeren verilerde medyan, ortalamadan daha iyi bir özet olabilir.

Mod

Bir veri grubunda en çok tekrar eden değere mod denir. Birden fazla değer aynı sayıda tekrar ediyorsa birden fazla mod olabilir; hiçbir değer tekrar etmiyorsa mod yoktur. Mod, ayakkabı numarası ya da en çok tercih edilen renk gibi sayı olmayan verilerde de kullanılabilen tek merkezi eğilim ölçüsüdür.

Açıklık ve çeyrekler

Yayılımın en basit ölçüsü açıklıktır: en büyük değerle en küçük değerin farkı. Açıklık hesaplaması kolaydır ama yalnızca iki uç değere bakar ve onlardan çok etkilenir.

Daha sağlam bir ölçü çeyreklerle elde edilir. Sıralı veri medyanla iki yarıya ayrılır. Alt yarının medyanı birinci çeyrek (Q₁), üst yarının medyanı üçüncü çeyrektir (Q₃). Veri sayısı tekse medyan iki yarıya da katılmaz. Çeyrekler açıklığı Q₃ − Q₁'dir ve verilerin ortadaki yarısının ne kadar yer kapladığını gösterir.

Standart sapma

Standart sapma, verilerin ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösterir. Hesaplamak için önce ortalama bulunur, sonra her verinin ortalamadan farkının karesi alınır ve bu kareler toplanır. Toplam, veri sayısının bir eksiğine bölünür ve sonucun karekökü alınır. Ortaöğretim programında kullanılan formül budur. 1, 4 ve 7 için ortalama 4, farkların kareleri 9, 0 ve 9'dur. Toplam 18 ikiye bölünür ve 9 bulunur; standart sapma 3'tür. Bütün veriler eşitse standart sapma 0'dır; veriler ortalamadan uzaklaştıkça büyür. Kancadaki Kerem'in netlerinin standart sapması Elif'inkinden çok daha büyüktür.

Veriler değiştiğinde

Her veriye aynı k sayısı eklenirse ortalama, medyan ve mod da k artar; açıklık, çeyrekler açıklığı ve standart sapma değişmez, çünkü verilerin birbirine uzaklığı aynı kalır. Her veri aynı pozitif m sayısıyla çarpılırsa merkezi eğilim ölçüleri de m ile çarpılır; yayılım ölçüleri de m katına çıkar. İki işlem birlikte yapılırsa, örneğin her veri 2 ile çarpılıp 3 eklenirse, standart sapma yalnızca çarpmadan etkilenir ve 2 katına çıkar.

Hangi ölçü, ne zaman?

Üç merkezi eğilim ölçüsü aynı veriyi farklı açılardan özetler ve hangisinin seçileceği verinin yapısına bağlıdır. Veriler birbirine yakın ve aşırı uçlar yoksa aritmetik ortalama en çok bilgi taşıyan ölçüdür, çünkü her veriyi hesaba katar. Veride çok büyük ya da çok küçük birkaç değer varsa medyan daha güvenilirdir; bir şehirdeki maaşları özetlerken birkaç çok yüksek maaş ortalamayı yukarı çeker ama medyanı neredeyse değiştirmez. Veriler sayı değil de kategori ise, örneğin en çok satılan beden ya da en çok seçilen ders, tek anlamlı ölçü moddur.

Yayılım ölçüleri için de benzer bir seçim yapılır. Açıklık hızlı bir fikir verir ama tek bir uç değerle bozulur. Çeyrekler açıklığı verinin ortadaki yarısına baktığı için uç değerlerden etkilenmez. Standart sapma bütün verileri hesaba katar ve iki veri grubunun ne kadar tutarlı olduğunu karşılaştırmak için en çok kullanılan ölçüdür.

Ölçüleri birlikte okumak

Bir veri grubu hakkında sağlıklı bir yargıya varmak için en az bir merkezi eğilim ölçüsü ile en az bir yayılım ölçüsü birlikte okunmalıdır. Kancadaki iki öğrencinin ortalamaları eşittir, ama standart sapmaları çok farklıdır: Elif her sınavda yaklaşık aynı neti yapar, Kerem'in netleri ise sınavdan sınava büyük farklar gösterir. Ortalama bir öğrencinin genel düzeyini, standart sapma ise o düzeyin ne kadar tutarlı olduğunu anlatır. Sınav sorularında iki grubun karşılaştırılması istendiğinde hangi özelliğin sorulduğuna, düzey mi yoksa tutarlılık mı olduğuna dikkat etmek gerekir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri ortalama, medyan ve modu, eksik ya da çıkarılan veriyi, iki grubun birleşik ortalamasını, açıklığı, çeyrekleri, standart sapmayı ve verilere ekleme ya da çarpma yapıldığında bu ölçülerin yeni değerlerini ister.

Örnek 1 — Ortalama

Soru: 5, 9, 13 ve 17 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?

• A) 10
• B) 11
• C) 44
• D) 13
• E) 9

Çözüm: Toplam 44, veri sayısı 4'tür: 44/4 = 11. Cevap: B.

Örnek 2 — Çift sayıda veride medyan

Soru: 7, 1, 9, 4, 12, 6 verilerinin medyanı kaçtır?

• A) 7
• B) 4
• C) 6,5
• D) 9
• E) 6

Çözüm: Sıralı veri 1, 4, 6, 7, 9, 12'dir; ortadaki iki sayının ortalaması (6 + 7)/2 = 6,5. Cevap: C.

Örnek 3 — Ağırlıklı ortalama

Soru: 20 kişilik bir grubun ortalaması 50, 30 kişilik bir grubun ortalaması 60'tır. İki grubun birlikte ortalaması kaçtır?

• A) 55
• B) 58
• C) 52
• D) 56
• E) 54

Çözüm: Toplamlar 1000 ve 1800'dür; 2800/50 = 56. Cevap: D.

Örnek 4 — Standart sapmanın değişimi

Soru: Standart sapması 5 olan bir veri grubunda her veri 2 ile çarpılıp 3 ekleniyor. Yeni standart sapma kaçtır?

• A) 13
• B) 20
• C) 5
• D) 25
• E) 10

Çözüm: Ekleme yayılımı değiştirmez; çarpma 2 katına çıkarır: 10. Cevap: E.

• Medyanı sırasız listeden okumak. Önce veriler sıralanır.
• Grupları birleştirirken ortalamaların ortalamasını almak. Toplamlar kullanılır.
• Her veriye ekleme yapılınca standart sapmayı değiştirmek. Ekleme yayılımı değiştirmez.
• Çift sayıda veride tek bir orta değer aramak. Ortadaki iki sayının ortalaması alınır.
• Açıklığı en büyük ile en küçüğün toplamı sanmak. Açıklık farktır.