Koşullu ve bağımsız olasılık

Bir arkadaşın zar atıyor ve sonucu sana göstermeden yalnızca "Çift geldi" diyor. Zarın 4 gelmiş olma olasılığı artık nedir? Zar atılmadan önce bu olasılık 1/6'ydı. Ama arkadaşının verdiği bilgi tek sayıları elemiştir; geriye yalnızca 2, 4 ve 6 kalmıştır. Bu üç sonuçtan biri 4 olduğundan olasılık 1/3'e yükselmiştir. Yeni bir bilgi, bakılan örnek uzayı daraltır ve olasılığı değiştirir. Bu tür hesaplara koşullu olasılık denir. Bazen ise verilen bilgi hiçbir şeyi değiştirmez: bir paranın tura gelmesi, aynı anda atılan bir zarın sonucu hakkında bilgi vermez. Böyle olaylara bağımsız olaylar denir. Bir önceki derste bir olayın olasılığını tek bir örnek uzayda hesapladık. Bu derste koşullu olasılığı, art arda gelen olaylarda çarpma kuralını, iadeli ve iadesiz çekilişleri, bağımsız olayları ve ağaç diyagramıyla iki aşamalı deneyleri işliyoruz.

• M olayının gerçekleştiği biliniyorken K olayının olasılığını P(K | M) = P(K ∩ M)/P(M) ile ya da daraltılmış örnek uzayda sayarak bulursun.
• Art arda gelen olaylarda çarpma kuralını kullanır, iadeli ve iadesiz çekilişleri ayırt edersin.
• P(K ∩ M) = P(K) · P(M) eşitliğiyle bağımsız olayları tanır ve bağımsız olayların birleşim ve "en az bir" olasılıklarını bulursun.
• İki aşamalı deneyleri ağaç diyagramıyla ya da iki yönlü tabloyla çözersin.

Koşullu olasılık

M olayının gerçekleştiği biliniyorsa K olayının olasılığı P(K | M) ile gösterilir ve "M verildiğinde K'nın olasılığı" diye okunur. Tanımı P(K | M) = P(K ∩ M)/P(M)'dir. Her sonucun aynı şansa sahip olduğu deneylerde bu, daraltılmış bir örnek uzayda saymakla aynıdır: yeni örnek uzay M olayıdır, uygun sonuçlar da M'nin içinde K'yı sağlayanlardır. Zarın 5'ten küçük geldiği biliniyorsa yeni örnek uzay {1, 2, 3, 4} olur; tek sayı olma olasılığı 2/4 = 1/2'dir.

Koşullu olasılıkta sıra önemlidir. P(K | M) ile P(M | K) genellikle farklıdır. "Gözlüklü olduğu bilinen birinin kız olma olasılığı" ile "kız olduğu bilinen birinin gözlüklü olma olasılığı" farklı örnek uzaylarda hesaplanır: birincisinde gözlüklüler, ikincisinde kızlar sayılır.

İki yönlü tablo

İki özelliğin birlikte verildiği sorularda bilgiler bir tabloya yerleştirilir: satırlarda bir özellik, sütunlarda öteki. Koşullu olasılık sorulduğunda verilen koşulun satırı ya da sütunu yeni örnek uzaydır. Bu yöntem, Venn şemasıyla çözülen küme problemlerinin olasılık karşılığıdır ve özellikle sınıf, anket ve ürün sorularında kullanılır. Örneğin bir fabrikada iki makinenin ürettiği parçalar ve bunların kusurlu olup olmadığı bir tabloya yazılmışsa, kusurlu olduğu bilinen bir parçanın birinci makineden gelme olasılığı yalnızca kusurlu sütununa bakılarak bulunur. Tablonun geri kalanı bu soruda kullanılmaz; koşul, bakılacak satırı ya da sütunu seçer ve olasılık o bölüm içinde hesaplanır.

Çarpma kuralı

Koşullu olasılığın tanımından iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı elde edilir: P(K ∩ M) = P(M) · P(K | M). Art arda yapılan çekilişlerde bu kural her adımda o anki duruma göre olasılık hesaplamayı sağlar.

İadesiz çekilişte çekilen nesne geri konmaz ve ikinci çekilişin olasılıkları birincinin sonucuna bağlıdır. İçinde 4 turuncu ve 1 gri bilye olan bir kavanozdan iadesiz iki bilye alınırsa ikisinin de turuncu olma olasılığı 4/5 · 3/4 = 3/5'tir; ikinci seferde kavanozda 3 turuncu ve toplam 4 bilye kalmıştır. İadeli çekilişte nesne geri konur ve her çekiliş aynı koşullarda yapılır; olasılıklar değişmez. Soruda iadeli mi iadesiz mi çekildiği açıkça yazmıyorsa, nesnelerin "birlikte" ya da "art arda geri konmadan" alınması iadesiz çekiliş demektir.

Bağımsız olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi ötekinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır: P(K | M) = P(K). Bu durumda çarpma kuralı P(K ∩ M) = P(K) · P(M) biçimine iner. Bir para ile bir zar birlikte atıldığında paranın tura, zarın 5'ten büyük olmayan bir sayı gelmesi olasılığı 1/2 · 5/6 = 5/12'dir. İadeli çekilişler, farklı paraların ya da zarların atılması ve birbirinden habersiz kişilerin denemeleri tipik bağımsız olaylardır.

İki olayın bağımsız olup olmadığını anlamak için P(K ∩ M) ile P(K) · P(M) karşılaştırılır; eşitse olaylar bağımsızdır. Bağımsızlık, ayrıklıkla karıştırılmamalıdır. Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez; bu yüzden olasılıkları sıfırdan büyükse bağımsız olamazlar, çünkü birinin gerçekleşmesi ötekinin olasılığını sıfıra indirir.

Bağımsız olaylarda "en az bir"

Bağımsız denemelerden en az birinin başarılı olma olasılığı, tümleyenle kısa yoldan bulunur: hiçbirinin başarılı olmama olasılığı tek tek başarısızlık olasılıklarının çarpımıdır ve 1'den çıkarılır. İki kişinin bir hedefi bağımsız olarak vurma olasılıkları 0,5 ve 0,6 ise en az birinin vurma olasılığı 1 − 0,5 · 0,4 = 0,8'dir.

Ağaç diyagramı ve iki aşamalı deneyler

Deney iki aşamada yapılıyorsa ve ikinci aşama birincinin sonucuna bağlıysa ağaç diyagramı çizilir. İlk dallar birinci aşamanın sonuçlarını, onların ucundaki dallar ikinci aşamanın sonuçlarını gösterir. Bir yol boyunca olasılıklar çarpılır; aynı sonuca götüren farklı yolların olasılıkları toplanır. Örneğin önce bir para atılıp sonuca göre iki kutudan birinden top çekiliyorsa, kırmızı top çekme olasılığı iki yolun olasılıklarının toplamıdır.

Bilginin değeri

Koşullu olasılık, bir bilginin bir olay hakkındaki tahmini nasıl değiştirdiğini ölçer. Kancadaki örnekte "çift geldi" bilgisi 4 gelme olasılığını 1/6'dan 1/3'e çıkarmıştı; aynı bilgi 5 gelme olasılığını ise sıfıra indirir. Bilgi bazı sonuçları eler ve kalan sonuçların payını büyütür. Eğer verilen bilgi bir olayın olasılığını hiç değiştirmiyorsa, o bilgi o olay hakkında hiçbir şey söylemiyor demektir; bu, bağımsızlığın sözel tanımıdır. Bu bakış açısı, soruda verilen her koşulun hangi sonuçları elediğini tek tek düşünmeyi kolaylaştırır.

Hangi yöntem, ne zaman?

Koşullu olasılık sorularında önce verilen bilginin bir koşul mu, yoksa art arda gelen bir adım mı olduğuna bakılır. "Biliniyor" ya da "olduğu bilindiğine göre" gibi ifadeler bir koşul bildirir ve örnek uzay daraltılır. "Önce, sonra" ya da "ardından" gibi ifadeler art arda adımları bildirir ve çarpma kuralı kullanılır. Adımların sonucu bir öncekine bağlıysa ağaç diyagramı çizmek en güvenli yoldur. Olayların bağımsız olduğu açıkça söylenmişse ya da farklı paralar, zarlar ve iadeli çekilişler söz konusuysa olasılıklar doğrudan çarpılır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir bilgi verildiğinde olayın olasılığını, iki yönlü tablolardan koşullu olasılığı, iadeli ve iadesiz çekilişleri, bağımsız olayların birlikte ve en az birinin gerçekleşme olasılığını ve iki aşamalı deneylerde ağaç diyagramıyla bulunan olasılıkları ister.

Örnek 1 — Daraltılmış örnek uzay

Soru: Bir zarın 2'den büyük geldiği biliniyor. 6 gelmiş olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/4
• B) 2/7
• C) 1/5
• D) 3/7
• E) 2/3

Çözüm: Yeni örnek uzay {3, 4, 5, 6}'dır; uygun sonuç bir tanedir: 1/4. Cevap: A.

Örnek 2 — Bağımsız olaylar

Soru: K ve M bağımsız olaylardır; P(K) = 0,5 ve P(M) = 0,2 ise P(K ∩ M) kaçtır?

• A) 0,7
• B) 0,3
• C) 0,6
• D) 0,1
• E) 0,25

Çözüm: Bağımsız olaylarda olasılıklar çarpılır: 0,5 · 0,2 = 0,1. Cevap: D.

Örnek 3 — İadesiz çekiliş

Soru: 6 lacivert ve 4 sarı kart olan bir desteden iadesiz iki kart alınıyor. İkisinin de lacivert olma olasılığı kaçtır?

• A) 9/25
• B) 1/3
• C) 4/9
• D) 2/7
• E) 5/12

Çözüm: 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3. Cevap: B.

Örnek 4 — En az biri

Soru: İki kişinin bir hedefi bağımsız olarak vurma olasılıkları 0,5 ve 0,6'dır. En az birinin vurma olasılığı kaçtır?

• A) 0,8
• B) 0,3
• C) 1,1
• D) 0,2
• E) 0,7

Çözüm: İkisinin de ıskalama olasılığı 0,5 · 0,4 = 0,2'dir; 1 − 0,2 = 0,8. Cevap: A.

• P(K | M) ile P(M | K)'yı karıştırmak. Verilen bilgi yeni örnek uzaydır.
• İadesiz çekilişte ikinci adımın olasılığını değiştirmemek. Torbadaki sayılar azalır.
• Bağımsız olmayan olaylarda olasılıkları doğrudan çarpmak. Önce bağımsızlığı denetle.
• Bağımsızlığı ayrıklıkla karıştırmak. Ayrık olaylar birlikte gerçekleşemez.
• Ağaçta aynı sonuca giden yolları toplamayı unutmak. Yol içinde çarp, yollar arasında topla.