Olasılıkta temel kavramlar

Bir kutuda 3 kırmızı ve 5 yeşil bilye var; gözlerin kapalı bir bilye çekiyorsun. Kırmızı çekme şansın nedir? Kutudaki 8 bilyeden her birinin elinde kalma şansı eşittir ve bunların 3'ü kırmızıdır. Bu yüzden kırmızı çekmenin olasılığı 3/8'dir. Bu kadar basit bir hesap, şans oyunlarından hava tahminine, sigorta primlerinden ilaç denemelerine kadar belirsizlikle uğraşan her alanın temelidir. Bir önceki derslerde sayma yöntemlerini öğrendik: çarpma kuralı, permütasyon ve kombinasyon. Olasılık hesabı çoğu zaman iki sayının bölümüdür ve bu iki sayıyı bulmak tam olarak o yöntemlerin işidir. Bu derste deney, örnek uzay ve olay kavramlarını, olasılığın tanımını ve sınırlarını, tümleyen olayın olasılığını, iki olayın birleşiminin olasılığını ve sayma yöntemleriyle olasılık hesaplamayı işliyoruz.

• Bir deneyin örnek uzayını ve bir olayın elemanlarını belirlersin.
• Sonuçları eşit olasılıklı bir deneyde P(A) = s(A)/s(E) formülüyle olasılık hesaplarsın.
• Tümleyen olayı ve "en az bir" sorularını 1 − P(A′) ile çözersin.
• İki olayın birleşiminin olasılığını P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ile bulur, ayrık olayları tanırsın.

Deney, örnek uzay ve olay

Sonucu önceden kesin olarak bilinemeyen bir işleme deney denir: bir zar atmak, bir torbadan top çekmek, bir para fırlatmak. Deneyin bütün olası sonuçlarının kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Bir zar atıldığında E = {1, 2, …, 6} olur. Örnek uzayın her alt kümesine olay denir. "Zarın 4'ten büyük gelmesi" olayı {5, 6} kümesidir.

Bir para iki kez atıldığında örnek uzay {YY, YT, TY, TT} olur; sonuçlar sıralı yazılır, çünkü YT ile TY farklı sonuçlardır. İki zar atıldığında örnek uzayda 6 · 6 = 36 sıralı ikili vardır. Örnek uzayın eleman sayısı, bir önceki derslerdeki çarpma kuralıyla bulunur.

Olasılığın tanımı

Örnek uzaydaki bütün sonuçların gerçekleşme şansı eşitse, A olayının olasılığı P(A) = s(A)/s(E)'dir. Zarın 4'ten büyük gelme olasılığı 2/6 = 1/3'tür. Bu tanımın şartı sonuçların eşit olasılıklı olmasıdır; hileli bir zar ya da farklı büyüklükte bölmeleri olan bir çark için bu formül doğrudan kullanılamaz.

Olasılık her zaman 0 ile 1 arasındadır: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Hiç gerçekleşmeyecek bir olayın, yani imkânsız olayın olasılığı 0'dır; bu olay boş kümedir. Her durumda gerçekleşecek olayın, yani kesin olayın olasılığı 1'dir; bu olay örnek uzayın kendisidir. Bir hesapta 1'den büyük ya da negatif bir sonuç çıkıyorsa hata yapılmıştır. Bu basit denetim, özellikle birleşim formülünde kesişimi çıkarmayı unutan ya da pay ile paydayı yer değiştiren hataları hemen yakalar; seçeneklerde 1'den büyük bir sayı görmek de o seçeneği baştan eler.

Tümleyen olay

A olayının gerçekleşmemesi A′ ile gösterilir ve tümleyen olay adını alır. A ile A′ birlikte bütün örnek uzayı oluşturduğundan P(A) + P(A′) = 1'dir. Bu eşitlik, "en az bir" içeren soruların anahtarıdır. İki para atıldığında en az bir yazı gelme olasılığı, hiç yazı gelmemesi, yani TT olasılığı 1/4 olduğundan 1 − 1/4 = 3/4'tür. Kümeler ve sayma derslerinde gördüğümüz tümleyen fikri olasılıkta da aynı biçimde işler. Koşul ne kadar çok durumu kapsıyorsa tümleyeni o kadar az durum içerir ve hesap o kadar kısalır.

Birleşim ve ayrık olaylar

A veya B olayının gerçekleşme olasılığı, kümelerdeki birleşim formülünün olasılık karşılığıyla bulunur: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). 1'den 20'ye kadar olan sayılardan rastgele biri seçildiğinde sayının 2'nin ya da 3'ün katı olma olasılığı (10 + 6 − 3)/20 = 13/20'dir; ortak olan 6, 12 ve 18 bir kez çıkarılmıştır.

Aynı anda gerçekleşemeyen olaylara ayrık olaylar denir; kesişimleri boştur ve P(A ∪ B) = P(A) + P(B) olur. Bir zarın hem 2 hem 5 gelmesi imkânsızdır; bu yüzden 2 ya da 5 gelme olasılığı 1/6 + 1/6 = 1/3'tür.

Sayma yöntemleriyle olasılık

Örnek uzay büyük olduğunda elemanları tek tek yazmak yerine sayma yöntemleri kullanılır. Bir torbada 4 kırmızı ve 2 beyaz top varken rastgele 2 top çekilirse örnek uzayda C(6, 2) = 15 seçim vardır. Bir kırmızı ve bir beyaz çekilmesi C(4, 1) · C(2, 1) = 8 biçimde olur; olasılık 8/15'tir. Toplar birlikte çekiliyorsa sıranın önemi yoktur ve kombinasyon kullanılır; bir sıranın kurulduğu sorularda permütasyon kullanılır. Pay ile payda aynı yöntemle sayılmalıdır; biri kombinasyonla, öteki permütasyonla sayılırsa sonuç yanlış çıkar.

Olasılığı yorumlamak

Bir olayın olasılığının 1/6 olması, zar altı kez atıldığında 6'nın tam bir kez geleceği anlamına gelmez. Olasılık, deney çok sayıda tekrarlandığında olayın gerçekleşme sıklığının yaklaşacağı değeri gösterir. Zar yüz kez atıldığında 6'nın kabaca on altı, on yedi kez gelmesi beklenir, ama tam olarak bu sayı çıkmayabilir. Az sayıda denemede sonuçlar beklenenden uzaklaşabilir; deneme sayısı arttıkça gözlenen oran olasılığa yaklaşır. Bu yüzden olasılık, tek bir deneyin sonucunu değil, uzun vadedeki eğilimi anlatır.

Olasılık yüzde olarak da ifade edilebilir. 3/8 olasılık yüzde 37,5'tir. Hava durumunda duyulan "yüzde 70 yağış ihtimali" de aynı kavramın gündelik kullanımıdır: benzer koşulların yaşandığı günlerin kabaca onda yedisinde yağış olmuştur.

Örnek uzayı doğru kurmak

Olasılık sorularındaki hataların çoğu örnek uzayın yanlış kurulmasından kaynaklanır. İki zar atıldığında toplamlar 2'den 12'ye kadar on bir değer alır, ama bu on bir değer eşit olasılıklı değildir: toplam 7, altı farklı ikiliyle elde edilirken toplam 2 yalnızca bir ikiliyle elde edilir. Bu yüzden örnek uzay toplamlardan değil, 36 sıralı ikiliden oluşturulmalıdır. Benzer biçimde iki para atıldığında "iki yazı, iki tura, bir yazı bir tura" üç sonuç değildir; karışık sonuç YT ve TY olmak üzere iki ayrı sonuçtur ve olasılığı 1/2'dir. Eşit olasılıklı sonuçlar seçilmeden yapılan bir hesap, formül doğru uygulansa bile yanlış sonuç verir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri zar, para, torba ve sayı seçme deneylerinde olasılığı, örnek uzayın eleman sayısını, tümleyen olayın olasılığını, en az bir koşulunu, iki olayın birleşiminin olasılığını ve sayma yöntemleriyle bulunan olasılıkları ister.

Örnek 1 — Zar

Soru: Bir zar atıldığında 5 ya da 6 gelme olasılığı kaçtır?

• A) 1/6
• B) 1/3
• C) 5/6
• D) 1/2
• E) 2/3

Çözüm: İki uygun sonuç vardır: 2/6 = 1/3. Cevap: B.

Örnek 2 — İki zar

Soru: İki zar birlikte atıldığında üst yüzlerin toplamının 8 olma olasılığı kaçtır?

• A) 1/6
• B) 1/9
• C) 5/36
• D) 1/12
• E) 7/36

Çözüm: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2): 5/36. Cevap: C.

Örnek 3 — Tümleyen

Soru: Üç para birlikte atıldığında en az iki tura gelme olasılığı kaçtır?

• A) 3/8
• B) 1/4
• C) 7/8
• D) 1/2
• E) 5/8

Çözüm: Tam iki tura 3, üç tura 1 sonuçla gelir: 4/8 = 1/2. Cevap: D.

Örnek 4 — Kombinasyonla

Soru: 3 sarı ve 4 mor top bulunan bir torbadan rastgele 2 top çekiliyor. İkisinin de mor olma olasılığı kaçtır?

• A) 2/7
• B) 4/7
• C) 1/7
• D) 3/7
• E) 1/2

Çözüm: C(4, 2)/C(7, 2) = 6/21 = 2/7. Cevap: A.

• Sonuçları eşit olasılıklı saymadan formülü uygulamak. Formül eşit olasılıklı sonuçlar içindir.
• İki zarda sıralı ikilileri karıştırmak. (1, 2) ile (2, 1) farklı sonuçlardır.
• Birleşimde kesişimi çıkarmamak. Ortak sonuçlar iki kez sayılmamalıdır.
• "En az bir" sorusunu doğrudan saymaya çalışmak. 1 − P(hiç) daha kısadır.
• Pay ile paydayı farklı yöntemle saymak. İkisi de kombinasyon ya da ikisi de permütasyon olmalıdır.