Binom açılımı

Gizem, (x + 1)⁴ ifadesini açmak için önce karesini aldı, sonra x² + 2x + 1 ifadesinin karesini tek tek çarptı ve defterine x⁴ + 4x³ + 4x² + 4x + 1 yazdı. Sıra arkadaşı İlker sonucu bakar bakmaz yanlış buldu: x yerine 1 koyunca sol taraf 2⁴ = 16 eder, Gizem'in yazdığı ifade ise 14 ediyordu. Kaybolan 2 birim, x² ile 1'in çapraz çarpımından gelen 2x² terimiydi; doğru sonuç x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1'dir. Dördüncü kuvvette bile bir terim gözden kaçabiliyorsa onuncu kuvveti çarparak açmak hiç güvenli değildir. Bu derste açılımı hiç çarpmadan yazmayı, istenen tek bir terimi doğrudan bulmayı ve İlker'in yaptığı gibi x = 1 koyarak sonucu denetlemeyi öğreneceksin.

• (x + y)ⁿ açılımını katsayıları C(n, r) ile yazarak kurarsın.
• Pascal üçgenini C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1) bağıntısıyla üretirsin.
• Genel terimden baştan ya da sondan istenen sıradaki terimi, sabit terimi ve xᵏ'li terimin katsayısını bulursun.
• Katsayılar toplamını x = 1, sabit terimi x = 0 ya da üssü sıfıra eşitleyerek hesaplarsın.

Parantezleri çarparken ne oluyor?

TYT'deki «İki kare farkı ve tam kare özdeşliği» dersinde (x + y)² = x² + 2xy + y² eşitliğini, «Küp açılımları» dersinde de (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ eşitliğini görmüştük. Bu katsayıların nereden geldiğini anlamak için (x + y)³ ifadesini üç ayrı parantezin çarpımı olarak düşünelim: (x + y)(x + y)(x + y). Çarpım yapılırken her parantezden ya x ya da y alınır ve seçilen üç harf çarpılır. x²y terimi, üç parantezden birinde y, öteki ikisinde x seçildiğinde ortaya çıkar. y'nin hangi parantezden alınacağı 3 biçimde belirlenebildiği için x²y üç kez oluşur ve katsayısı 3 olur. Karedeki 2xy de böyle doğar: iki parantezden yalnız birinde y seçmenin 2 yolu vardır.

Aynı düşünce her kuvvette geçerlidir. (x + y)ⁿ ifadesinde n tane parantez vardır. x^(n−r) · y^r terimini elde etmek için bu parantezlerden r tanesinde y seçilmelidir; kalanlarda x seçilir. Hangi r parantezin y vereceği, sırası önemli olmadan yapılan bir seçimdir. «Kombinasyon» dersinden bildiğimiz gibi bu seçimin sayısı C(n, r)'dir. Demek ki x^(n−r) · y^r teriminin katsayısı C(n, r)'dir.

Binom formülü

Bu gözlem tek satırda yazılabilir:

(x + y)ⁿ = C(n, 0) · xⁿ + C(n, 1) · x^(n−1) · y + C(n, 2) · x^(n−2) · y² + … + C(n, n) · yⁿ.

İki terimli bir ifadenin kuvvetine binom açılımı, buradaki C(n, r) sayılarına da binom katsayıları denir. Açılımın düzeni ezberi gereksiz kılar. x'in kuvveti n'den 0'a birer birer azalırken y'ninki 0'dan n'e birer birer artar. Her terimde iki kuvvetin toplamı n'dir. r değeri 0'dan n'e kadar n + 1 farklı değer aldığından açılım n + 1 terimlidir. Son olarak C(n, r) = C(n, n − r) olduğu için katsayılar baştan ve sondan simetriktir. Örneğin (x + y)⁵ = x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵ altı terimlidir ve katsayılar 1, 5, 10, 10, 5, 1 diye ortadan katlanır.

Pascal üçgeni

Katsayıları alt alta yazınca bir üçgen oluşur. Her satır 1 ile başlar ve 1 ile biter; aradaki her sayı, üst satırda hemen üzerindeki iki sayının toplamıdır:

Toplama kuralının dayanağı şu bağıntıdır: C(n, r) + C(n, r + 1) = C(n + 1, r + 1). Gerekçesi bir seçim üzerinden görülür. n + 1 kişiden r + 1 kişi seçilecek olsun ve içlerinden biri Ferhat olsun. Ferhat'ın seçildiği gruplarda kalan r kişi öteki n kişiden seçilir; bunların sayısı C(n, r)'dir. Ferhat'ın seçilmediği gruplarda r + 1 kişinin hepsi öteki n kişiden gelir; bunlar da C(n, r + 1) tanedir. İki durum birlikte bütün seçimleri verir. Sayısal olarak C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20 = C(6, 3) eşitliği tablodaki 20'nin hemen üstündeki iki 10'dan geldiğini gösterir.

Tabloda n'ye karşılık gelen satırdaki sayıların toplamı 2ⁿ'dir: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴. Bu, «Kombinasyon» dersinde alt küme sayısı olarak bulduğumuz C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ eşitliğinin üçgendeki karşılığıdır.

Genel terim ve terimin sırası

Açılımın tamamına çoğu zaman gerek yoktur; soru tek bir terimi ister. x'in azalan kuvvetlerine göre yazılmış (x + y)ⁿ açılımında r = 0 birinci terimi, r = 1 ikinci terimi verir. Buradan baştan (r + 1)'inci terim için genel terim çıkar:

T(r + 1) = C(n, r) · x^(n−r) · y^r.

Sondan sayarken rolleri değiştirmek yeterlidir: sondan (r + 1)'inci terim C(n, r) · x^r · y^(n−r)'dir. Örneğin (3x + 1)⁵ açılımında baştan ikinci terim için r = 1 alınır: C(5, 1) · (3x)⁴ · 1 = 5 · 81x⁴ = 405x⁴. Sondan ikinci terim ise C(5, 1) · 3x · 1⁴ = 15x olur. Burada en sık yapılan yanlış, x'in yanındaki 3'ü kuvvete almayı unutmaktır; terimin içindeki her çarpan, bulunduğu yerin üssüyle birlikte kuvvete alınır.

n çift ise terim sayısı n + 1 tek olur ve tam ortada tek bir terim bulunur: (n/2 + 1)'inci terim. Ortadaki terimin katsayısı C(n, n/2) olup satırın en büyük katsayısıdır. n tek ise ortada eşit katsayılı iki terim yer alır.

Belirli bir kuvvetin katsayısı

xᵏ'li terim sorulduğunda genel terimdeki x'in üssü k'ye eşitlenir ve r bulunur. (x + 3)⁶ açılımında x⁴'lü terim için 6 − r = 4 yazılır, r = 2 olur ve katsayı C(6, 2) · 3² = 15 · 9 = 135 çıkar. Yalnızca 15 yazmak, ikinci terimin katsayısını kuvvete almayı unutmaktır.

Terimlerden biri x'in kesirli ya da negatif kuvvetiyse yöntem değişmez, yalnız üs hesabı biraz uzar. (x + 2/x)⁴ ifadesinde genel terim C(4, r) · x^(4−r) · 2^r · x^(−r) = C(4, r) · 2^r · x^(4−2r)'dir. Sabit terim x'in üssünün sıfır olduğu terimdir; 4 − 2r = 0'dan r = 2 bulunur ve sabit terim C(4, 2) · 2² = 24 olur. Üs denkleminden r tam sayı ve 0 ≤ r ≤ n çıkmıyorsa aranan terim açılımda yoktur.

Katsayılar toplamı ve sabit terim

Katsayılar toplamını bulmak için açılımı yazmaya gerek yoktur. Açılımdaki her terim «katsayı · x'in bir kuvveti» biçimindedir ve x = 1 konunca her kuvvet 1 olur; geriye katsayıların toplamı kalır. Bu yüzden katsayılar toplamı, ifadede x = 1 yazılarak bulunur. (x² + x − 3)³ için katsayılar toplamı (1 + 1 − 3)³ = −1'dir. Birden çok değişken varsa hepsine 1 yazılır.

Sabit terim ise x = 0 yazılarak bulunur, çünkü x içeren her terim sıfırlanır. Aynı ifadede sabit terim (−3)³ = −27'dir. Bu yol yalnızca ifade bir polinom olduğunda, yani x paydada bulunmadığında işler; (x + 2/x)⁴ gibi ifadelerde x = 0 yazılamaz ve sabit terim yukarıdaki gibi üs sıfıra eşitlenerek bulunur.

Farkın kuvvetinde işaret

(x − y)ⁿ açılımı (x + (−y))ⁿ olarak düşünülür. Genel terim C(n, r) · x^(n−r) · (−y)^r olur ve (−1)^r çarpanı işareti belirler: r çift iken terim artı, r tek iken eksidir. (x − y)⁵ = x⁵ − 5x⁴y + 10x³y² − 10x²y³ + 5xy⁴ − y⁵ açılımında işaretler bu yüzden sırayla değişir. Birinci terim r = 0'a karşılık geldiği için daima artıdır; ikinci terim eksidir. Bir katsayı sorulduğunda işaret r'nin tekliğine bakılarak verilir, ezbere değil.

Aynı fikir bir başka sonuç verir: (1 − 1)ⁿ = 0 olduğundan n ≥ 1 için C(n, 0) − C(n, 1) + C(n, 2) − … = 0'dır. Yani bir Pascal satırında işaretleri sırayla değiştirerek toplanan katsayılar birbirini götürür.

Hangi adımla başlamalı?

Bir binom sorusunda ilk iş, sorulanın tek bir terim mi yoksa bütün katsayılarla ilgili bir büyüklük mü olduğunu ayırmaktır. Tek terim isteniyorsa genel terim yazılır ve r bulunur; sıra verilmişse r sıradan bir eksiktir, kuvvet verilmişse r üs denkleminden çıkar. Toplam isteniyorsa x = 1 yazılır. Sonuç bulunduktan sonra küçük bir denetim yapılabilir: x = 1 için iki tarafın eşit çıkması, açılımda terim kaybolmadığını gösterir.

Seçimden eşlemeye

Bu derste her terimi, n parantezin her birine x ya da y harfini atayan bir kural gibi saydık: her parantez tam bir harf alıyor, aynı harf birçok paranteze düşebiliyor. Böyle bir atama, parantezler kümesinden {x, y} kümesine bir fonksiyondur ve bu atamaların hepsi birlikte 2ⁿ tanedir; katsayılar toplamının 2ⁿ çıkması bundandır. Sıradaki derste fonksiyonlara tam bu açıdan bakacağız: değer kümesinin her elemanı bir görüntü olarak kullanılıyor mu, iki farklı eleman aynı görüntüye gidiyor mu? Bu sorulara verilen yanıtlar fonksiyonları birebir, örten ve içine diye ayırır; sonlu kümeler arasında her türden kaç fonksiyon kurulabildiği de yine bu dersteki sayma araçlarıyla hesaplanır.

Örnek 1 — Belirli kuvvetin katsayısı

Soru: (x + 2)⁵ açılımında x³'lü terimin katsayısı kaçtır?

• A) 10
• B) 80
• C) 40
• D) 20
• E) 160

Çözüm: Genel terim C(5, r) · x^(5−r) · 2^r'dir. 5 − r = 3'ten r = 2 bulunur; katsayı C(5, 2) · 2² = 10 · 4 = 40'tır. 10, ikinci terimin karesini almayı unutan öğrencinin; 80 ise r = 3 alanın bulduğu değerdir. Cevap: C.

Örnek 2 — Baştan sıra ile terim

Soru: (2x − 1)⁶ açılımı x'in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında baştan üçüncü terim nedir?

• A) −192x⁵
• B) 60x⁴
• C) −240x⁴
• D) 240x⁴
• E) 15x⁴

Çözüm: Baştan üçüncü terim r = 2'ye karşılık gelir: C(6, 2) · (2x)⁴ · (−1)² = 15 · 16x⁴ = 240x⁴. r çift olduğu için işaret artıdır. −192x⁵ ikinci terimdir; 15x⁴, 2'nin dördüncü kuvveti alınmadan bulunur. Cevap: D.

Örnek 3 — Sabit terim

Soru: (x² − 2/x)⁶ açılımında sabit terim kaçtır?

• A) −240
• B) 240
• C) 60
• D) −160
• E) 15

Çözüm: Genel terim C(6, r) · (x²)^(6−r) · (−2)^r · x^(−r) = C(6, r) · (−2)^r · x^(12−3r)'dir. 12 − 3r = 0'dan r = 4 çıkar. Sabit terim C(6, 4) · (−2)⁴ = 15 · 16 = 240'tır. r çift olduğundan eksi işareti kalmaz. Cevap: B.

Örnek 4 — Katsayılar toplamından üsse

Soru: (2x + 1)ⁿ açılımında katsayılar toplamı 243 olduğuna göre x²'li terimin katsayısı kaçtır?

• A) 10
• B) 40
• C) 80
• D) 20
• E) 4

Çözüm: x = 1 yazılınca 3ⁿ = 243 ve n = 5 bulunur. x²'li terimde 2x'in kuvveti 2 olmalıdır: C(5, 3) · (2x)² · 1³ = 10 · 4x² = 40x². 80, x³'lü terimin katsayısıdır. Cevap: B.

• Terimdeki katsayıyı kuvvete almamak. (3x + 1)⁵'te baştan ikinci terim 5 · 3x⁴ değil 5 · 81x⁴'tür; parantez içindeki her çarpan üssü taşır.
• Sıra ile r'yi karıştırmak. Baştan k'inci terimde r = k − 1'dir. (x + 2)⁸'de dördüncü terim için r = 4 almak bir sonraki terimi verir.
• Farkın kuvvetinde işareti ezbere vermek. İşaret (−1)^r ile belirlenir; r tekse terim eksidir, çiftse artıdır.
• Terim sayısını n sanmak. (x + y)ⁿ açılımı n + 1 terimlidir; 2ⁿ ise katsayılar toplamıdır, terim sayısı değil.
• Paydada x varken x = 0 yazmak. (x + 2/x)⁴ gibi ifadelerde sabit terim, genel terimdeki üssü sıfıra eşitleyerek bulunur.