Kombinasyon

Bir okulun münazara takımına beş aday öğrenciden üçü seçilecek. Öğretmen önce seçimi bir sıralama gibi düşünüyor: birinci seçilen 5, ikinci 4, üçüncü 3 seçenekten gelir ve 5 · 4 · 3 = 60 sonuç çıkar. Ama takıma Ayla, Berk ve Can seçildiğinde, onları hangi sırayla seçtiğinin hiçbir önemi yoktur; "Ayla, Berk, Can" ile "Can, Ayla, Berk" aynı takımdır. Üç kişinin kendi aralarında 3! = 6 farklı sıralanışı vardır ve 60 sayısı her takımı 6 kez saymıştır. Gerçek takım sayısı 60/6 = 10'dur. Sıranın önemli olmadığı bu tür seçimlere kombinasyon denir. Önceki iki derste sıranın önemli olduğu dizilişleri, yani permütasyonları saydık. Bu derste seçimleri sayıyoruz: kombinasyon formülünü ve özelliklerini, belirli kişilerin dahil olduğu ya da olmadığı seçimleri, farklı gruplardan seçimi, "en az bir" koşulunu ve noktalardan doğru, üçgen ve köşegen sayılarını.

• n elemanlı bir kümeden r elemanlı alt kümelerin sayısını C(n, r) = n!/(r! · (n − r)!) ile bulursun.
• C(n, r) = C(n, n − r) özelliğini ve kombinasyon denklemlerini kullanırsın.
• Bir kişinin kesin bulunduğu ya da hiç bulunmadığı seçimleri, farklı gruplardan yapılan seçimleri ve "en az bir" şartlı seçimleri sayarsın.
• Noktalardan oluşan doğru ve üçgen sayılarını, çokgenlerin köşegen sayısını ve tokalaşma sayısını kombinasyonla hesaplarsın.

Kombinasyon nedir?

n farklı nesneden sırası önemli olmadan r tanesinin seçilmesine n'nin r'li kombinasyonu denir ve C(n, r) ile gösterilir. Kancadaki gibi, önce sıralı seçimler sayılır ve her seçim r! kez sayıldığı için r!'e bölünür: C(n, r) = P(n, r)/r! = n!/(r! · (n − r)!). 5 kişiden 2 kişilik bir grup C(5, 2) = 10 biçimde seçilir.

Kombinasyon, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısıdır. Kümeler ünitesinde belirli eleman sayısındaki alt kümeleri tek tek listelemiştik; bu formül o sayımı tek adıma indirir. Hesaplarken payda ve paydanın ortak çarpanları önce sadeleştirilir: C(11, 3) = (11 · 10 · 9)/(3 · 2 · 1) = 165.

Temel özellikler

C(n, 0) = C(n, n) = 1'dir: hiç eleman seçmemenin ve hepsini seçmenin tek yolu vardır. C(n, 1) = n'dir. En kullanışlı özellik C(n, r) = C(n, n − r) eşitliğidir: r eleman seçmek, geride kalacak n − r elemanı seçmekle aynıdır. Bu yüzden C(20, 18) hesaplanırken C(20, 2) = 190 yazılır. Bir kombinasyon denkleminde iki farklı alt sayı aynı değeri veriyorsa toplamları üstteki sayıya eşit olmak zorundadır; bu, kombinasyon denklemlerinin anahtarıdır.

Bir kümenin bütün alt kümeleri sayıldığında C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2ⁿ bulunur. Bu, kümeler ünitesindeki alt küme sayısının kombinasyonla yazılmış hâlidir.

Belirli kişiler dahil ya da hariç

Seçimde belirli bir kişinin kesinlikle bulunması isteniyorsa o kişi önce seçilir ve kalan yerler kalan kişilerden doldurulur. Belirli bir kişinin bulunmaması isteniyorsa o kişi listeden çıkarılır. Belirli iki kişinin birlikte bulunmaması isteniyorsa tümleyen kullanılır: tüm seçimlerden ikisinin birlikte bulunduğu seçimler çıkarılır.

Farklı gruplardan seçim

Seçim farklı gruplardan belirli sayılarla yapılacaksa her gruptan yapılan seçimler ayrı ayrı sayılıp çarpılır. 4 kız ve 3 erkekten 2 kız ve 1 erkek seçmenin C(4, 2) · C(3, 1) = 18 yolu vardır. Koşul "en az" ya da "en çok" biçimindeyse olası dağılımlar durumlara ayrılır ve toplanır. "En az bir" koşulunda ise tümleyen çoğu zaman en kısa yoldur: 4 kız ve 3 erkekten oluşan 3 kişilik bir grupta en az bir erkek bulunan seçimler C(7, 3) − C(4, 3) = 35 − 4 = 31'dir.

Geometride kombinasyon

Düzlemde herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan n nokta verildiğinde, her iki nokta bir doğru, her üç nokta bir üçgen belirler. Doğru sayısı C(n, 2), üçgen sayısı C(n, 3)'tür. 5 nokta 10 doğru ve 10 üçgen belirler. Noktaların bir kısmı aynı doğru üzerindeyse bu noktalardan seçilen üçlüler üçgen oluşturmaz; bunlar tümleyenle çıkarılır.

Bir n-genin köşegen sayısı, köşeleri birleştiren bütün doğru parçalarından kenarların çıkarılmasıyla bulunur: C(n, 2) − n. Beşgenin 10 − 5 = 5 köşegeni vardır. Bir toplantıda herkesin herkesle bir kez tokalaşması da aynı yapıdadır: n kişilik bir grupta C(n, 2) tokalaşma olur, çünkü her tokalaşma iki kişilik bir seçimdir. 5 kişilik bir grupta 10 tokalaşma yapılır.

Permütasyon mu, kombinasyon mu?

Her sayma sorusunda karar verilmesi gereken şey, seçilenlerin sırasının ya da görevinin önemli olup olmadığıdır. Bir kurula başkan ve yardımcı seçilecekse permütasyon, aynı kurula iki üye seçilecekse kombinasyon kullanılır. Seçimden sonra seçilenler ayrıca sıralanacaksa iki işlem birlikte kullanılır: önce kombinasyonla seçilir, sonra permütasyonla sıralanır.

Seçip sonra sıralamak

Birçok soruda önce bir grup seçilir, sonra seçilenler belirli bir düzene sokulur. Bu durumda iki adım ayrı ayrı sayılır ve çarpılır. 8 kişiden 3'ü seçilip bir sıraya dizilecekse önce C(8, 3) seçim yapılır, sonra her seçim 3! biçimde dizilir; çarpım P(8, 3)'e eşittir. Bu eşitlik permütasyon ile kombinasyon arasındaki ilişkinin kendisidir: P(n, r) = C(n, r) · r!. Seçilen grubun içinde ayrıca görev dağıtılacaksa, örneğin bir başkan ve iki üye, önce başkan seçilir, sonra kalanlardan iki üye kombinasyonla seçilir. Bu ayrım, bir sorunun hangi kısmında sıranın önemli olduğunu tek tek görmeyi sağlar.

Gruplara bölmek

Bir topluluğun gruplara ayrılması da kombinasyonla sayılır. 6 kişi 4 ve 2 kişilik iki gruba ayrılacaksa 4 kişilik grup C(6, 4) biçimde seçilir; kalanlar ikinci grubu kendiliğinden oluşturur. Gruplar aynı büyüklükteyse ve adları yoksa dikkat gerekir: 4 kişiyi iki kişilik iki gruba ayırırken C(4, 2) = 6 seçim yapılır, ama her ayrılış iki kez sayılmıştır, çünkü bir grubu seçmek ötekini de belirler. Bu yüzden gerçek sayı 6/2 = 3'tür. Gruplara ad verilmişse, örneğin kırmızı takım ve mavi takım, bölme yapılmaz.

Hesap kolaylıkları

Kombinasyon hesaplarında payı tamamen açmak yerine sadeleştirerek ilerlemek hız kazandırır. Payda r! olduğundan payda yazılan r tane ardışık sayının çarpımı her zaman r!'e tam bölünür; bu, sonucun tam sayı çıkmasının nedenidir. Sınavda seçenekler birbirine yakın değilse, sonucun büyüklüğünü kabaca tahmin etmek de doğru seçeneği bulmaya yeter.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri kombinasyon değerlerini, kombinasyon denklemlerinde n'yi, ekip ve grup seçimlerini, belirli kişilerin dahil olduğu ya da olmadığı seçimleri, farklı gruplardan seçimleri, en az ve en çok koşullarını, doğru, üçgen ve köşegen sayılarını ve tokalaşma sayılarını ister.

Örnek 1 — Değer

Soru: C(7, 2) kaçtır?

• A) 42
• B) 14
• C) 21
• D) 7
• E) 35

Çözüm: (7 · 6)/2 = 21. Cevap: C.

Örnek 2 — Belirli kişi dahil

Soru: 6 kişiden 3 kişilik bir ekip, Deniz kesin ekipte olacaksa kaç seçim yapılabilir?

• A) 20
• B) 10
• C) 30
• D) 6
• E) 5

Çözüm: Deniz seçilir; kalan 2 yer 5 kişiden doldurulur: C(5, 2) = 10. Cevap: B.

Örnek 3 — Köşegen

Soru: Bir yedigenin köşegen sayısı kaçtır?

• A) 28
• B) 42
• C) 14
• D) 35
• E) 20

Çözüm: C(7, 2) − 7 = 21 − 7 = 14. Cevap: C.

Örnek 4 — En az bir

Soru: 5 kız ve 3 erkek arasından seçilecek 3 kişilik bir grupta en az bir erkek bulunan kaç seçim vardır?

• A) 56
• B) 10
• C) 30
• D) 15
• E) 46

Çözüm: Tüm seçimler C(8, 3) = 56; yalnız kızlardan oluşanlar C(5, 3) = 10'dur; fark 46. Cevap: E.

• Sıranın önemli olmadığı seçimde permütasyon kullanmak. Takım ve grup seçimleri kombinasyondur.
• C(n, r) = C(n, n − r)'yi kullanmamak. Büyük r için küçük tarafı hesapla.
• "En az bir" koşulunu durumlara ayırıp bir durumu unutmak. Tümleyen daha güvenlidir.
• Köşegen sayısında kenarları çıkarmamak. Köşegen = C(n, 2) − n.
• Doğrusal noktaları üçgen saymak. Aynı doğru üzerindeki üçlüler üçgen değildir.