Veri grafikleri

Bir okulda 360 öğrenciye okula nasıl geldikleri soruluyor: 130'u yürüyerek, 95'i otobüsle, 85'i servisle, 50'si özel araçla geliyor. Okul müdürü bu dört sayıyı panoya üç farklı biçimde asıyor. Sütun grafiğine bakan bir veli en kalabalık grubu bir bakışta görüyor. Daire grafiğine bakan bir öğretmen yürüyenlerin okulun üçte birinden fazlası olduğunu fark ediyor. Geçen yılların sayılarını gösteren çizgi grafiğine bakan belediye görevlisi ise servis kullananların her yıl arttığını görüyor. Sayılar aynı, ama her grafik başka bir soruya cevap veriyor. Bir önceki derste veriyi ortalama, medyan ve standart sapma gibi sayılarla özetledik; bu derste aynı veriyi resme dökmeyi ve resimden geri sayıya dönmeyi öğreniyoruz. Sınavda grafik soruları çoğu zaman bir değeri okumayı, bir oranı hesaplamayı ya da bir grafiği başka bir grafiğe çevirmeyi ister.

• Sıklık tablosunu, sütun grafiğini ve çizgi grafiğini okur, aralarında geçiş yaparsın.
• Daire grafiğinde merkez açıdan kişi sayısını, kişi sayısından merkez açıyı ve yüzdeyi bulursun.
• Gruplanmış veride grup genişliğini hesaplar, histogramı okursun.
• Beş sayı özetinden kutu grafiğini kurar, çeyrekler açıklığını okursun; serpilme grafiğinde ilişkinin yönünü yorumlarsın.

Sıklık tablosu

Toplanan ham veri önce düzenlenir. Her farklı değerin ya da her kategorinin kaç kez görüldüğünü gösteren tabloya sıklık (frekans) tablosu denir. Kancadaki anket için tablo dört satırdan oluşur: yürüyerek 130, otobüs 95, servis 85, özel araç 50. Sıklıkların toplamı her zaman veri sayısına, burada 360'a eşittir. Bu basit kontrol, grafik sorularında eksik bir değeri bulmanın da en kısa yoludur. Bir kategorinin sıklığı toplama bölünürse göreli sıklık elde edilir; yüzde ile çarpılınca o kategorinin yüzdesi bulunur. Bütün grafikler bu tablonun farklı birer resmidir.

Sütun grafiği

Sütun grafiğinde her kategori için bir sütun çizilir ve sütunun yüksekliği o kategorinin sıklığını gösterir. Sütunların genişlikleri eşittir ve aralarında boşluk bırakılır, çünkü kategoriler birbirinden ayrıdır. Sütun grafiği kategorileri birbiriyle karşılaştırmak için en uygun grafiktir: hangi grup en büyük, iki grup arasındaki fark ne kadar, hangi iki grubun toplamı bir üçüncüsünü geçiyor gibi sorular sütunlara bakılarak cevaplanır. Sütunların yüksekliklerinden toplam, ortalama ya da fark hesaplanabilir; örneğin üç sınıfın kitap sayıları 21, 33 ve 27 ise sütunların ortalama yüksekliği 27'dir.

Çizgi grafiği

Çizgi grafiği bir büyüklüğün zaman içindeki değişimini gösterir. Yatay eksende zaman, dikey eksende değer bulunur; ardışık noktalar doğru parçalarıyla birleştirilir. Çizginin yükseldiği yerde artış, alçaldığı yerde azalış vardır; parça ne kadar dikse değişim o kadar hızlıdır. Bu yüzden "en büyük artış hangi iki dönem arasında?" sorusunda değerlerin kendisine değil, ardışık değerlerin farkına bakılır. Değişim yüzdeyle sorulursa fark eski değere bölünür: bir kütüphanenin üye sayısı 80'den 92'ye çıkmışsa artış 12, artış oranı 12/80 yani %15'tir. Aynı grafikte iki çizgi varsa iki büyüklük aynı zaman ekseninde karşılaştırılır ve çizgilerin kesiştiği nokta iki değerin eşit olduğu anı gösterir.

Daire grafiği

Daire grafiği bütünün parçalarını gösterir. Dairenin tamamı 360° olduğundan her dilimin merkez açısı, o kategorinin bütün içindeki payıyla orantılıdır:

merkez açı = 360° · (kategorinin sıklığı) / (toplam sıklık)

240 öğrencinin 60'ı bir kulübe gidiyorsa bu kulübün dilimi 360° · 60/240 = 90°'dir. Hesap tersine de işler: toplam ve açı biliniyorsa kişi sayısı, toplam · açı/360 ile bulunur. Toplam bilinmiyor ama bir dilimin hem açısı hem kişi sayısı biliniyorsa, önce 1°'nin kaç kişiye karşılık geldiği bulunur ve bütün daire bu orantıyla hesaplanır. Yüzdeye geçmek için açı 360'a bölünüp 100 ile çarpılır; 36°'lik bir dilim verilerin %10'unu gösterir. Dilimler bir oranla verilmişse, örneğin 1 : 2 : 3, oranların toplamı 6 parçadır ve her parça 60° olur.

Histogram

Veriler çok sayıda ve çok çeşitliyse tek tek sayılmaz; gruplara ayrılır. Grup sayısı seçildikten sonra grup genişliği bulunur: açıklık grup sayısına bölünür ve bölümden büyük en küçük doğal sayı genişlik olarak alınır. Bunun nedeni, verilerin en küçüğünden başlayan grupların en büyük veriyi de içine almasıdır. Tam sayı verilerde genişliği g olan bir grup g farklı değer içerir; açıklığı 30 olan bir veri ise uçlarla birlikte 31 farklı değere yayılır. Beş grup için genişlik 6 alınırsa gruplar yalnızca 30 değeri kapsar ve en büyük veri dışarıda kalır; bu yüzden bölüm tam çıksa bile genişlik 7 alınır. Bölüm tam çıkmıyorsa bir üst tam sayı zaten yeterlidir: açıklığı 57 olan bir veri altı gruba ayrılırken 9,5 yerine 10 alınır.

Gruplanmış verinin grafiği histogramdır. Histogram sütun grafiğine benzer, ama sütunlar arasında boşluk yoktur, çünkü gruplar sayı doğrusu üzerinde birbirini kesintisiz izler. Her sütunun yüksekliği o gruptaki veri sayısıdır. Histogramdan tek tek veriler okunamaz; yalnızca belirli bir aralıkta kaç veri olduğu okunur. "Belli bir değerin üstünde kaç veri var?" sorusu, o değerden başlayan grupların sıklıkları toplanarak cevaplanır.

Kutu grafiği

Kutu grafiği bir veri grubunu beş sayıyla özetler: en küçük değer, birinci çeyrek (Q₁), medyan, üçüncü çeyrek (Q₃) ve en büyük değer. Çeyrekler bir önceki dersteki gibi bulunur. Bir sayı doğrusu üzerinde Q₁ ile Q₃ arasına bir kutu çizilir, medyan kutunun içine dikey bir çizgiyle işaretlenir ve kutunun iki ucundan uçlardaki iki değere birer çizgi uzatılır. 1, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 15 verilerinde medyan 7, Q₁ 3,5 ve Q₃ 11,5'tir; kutu 3,5'ten 11,5'e uzanır.

Kutunun uzunluğu çeyrekler açıklığıdır; orta yüzde ellilik dilimin sayı doğrusunda tuttuğu genişliği verir. Uzun bir kutu, verilerin ortasının da dağınık olduğunu söyler. Medyan çizgisi kutunun bir ucuna yakınsa veriler o tarafta sıkışmıştır. İki kutu grafiği aynı eksen üzerine çizilirse iki grubun hem merkezleri hem yayılımları tek bakışta karşılaştırılır.

Serpilme grafiği

İki değişken arasındaki ilişkiyi incelemek için her gözlem bir nokta olarak çizilir: yatay eksende bir değişken, dikey eksende diğeri. Bu grafiğe serpilme (dağılım) grafiği denir. Noktalar sağa doğru yükselen bir şerit oluşturuyorsa iki değişken arasında pozitif ilişki vardır: biri arttıkça öteki de artma eğilimindedir, çalışma süresi ile deneme neti gibi. Noktalar sağa doğru alçalıyorsa negatif ilişki vardır: bir arabanın yaşı arttıkça satış fiyatı düşer. Noktalar belirli bir yön göstermeden dağılmışsa belirgin bir ilişki yoktur. İlişkinin varlığı, değişkenlerden birinin ötekine neden olduğunu kanıtlamaz; yalnızca birlikte değiştiklerini gösterir.

Hangi grafik, hangi soru?

Grafik seçimi verinin türüne ve sorulmak istenen soruya bağlıdır. Kategorileri birbiriyle karşılaştırmak için sütun grafiği, zaman içindeki değişimi izlemek için çizgi grafiği, bütünün parçalarını göstermek için daire grafiği kullanılır. Sürekli ya da çok çeşitli sayısal veriler histogramla, bir veri grubunun merkezi ve yayılımı kutu grafiğiyle, iki değişkenin birlikte değişimi serpilme grafiğiyle gösterilir. Sınav soruları sık sık bir grafiği ötekine çevirmeyi ister: sütun grafiğindeki sayılar toplanır, her biri toplama bölünüp 360 ile çarpılır ve daire grafiğinin açıları bulunur.

Yanıltıcı grafikler

Grafik okurken eksenlere bakmak gerekir. Dikey eksen sıfırdan değil de örneğin 90'dan başlıyorsa, 92 ve 96 değerlerini gösteren sütunlardan ikincisi birincinin üç katı uzunlukta görünür, çünkü görünen yükseklikler 2 ve 6 birimdir. Oysa iki değer arasındaki fark yalnızca 4'tür. Bu nedenle sorular hesaplanırken her zaman eksendeki sayılar kullanılır, sütunların göze görünen boyları değil. Aynı uyarı daire grafiği için de geçerlidir: dilimlerin yüzdeleri toplamı 100'ü, açıları toplamı 360°'yi tutmuyorsa grafik eksik ya da hatalıdır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri grafikten bir değeri, toplamı ya da ortalamayı okumayı; daire grafiğinde açı, kişi sayısı ve yüzde arasında geçişi; grup genişliğini; histogramdan aralık sayımını; kutu grafiğinin beş sayısını ve çeyrekler açıklığını; çizgi grafiğinde değişim miktarını ve oranını ister.

Örnek 1 — Kişi sayısından merkez açıya

Soru: 120 öğrencinin 40'ının basketbolu seçtiği bir anket daire grafiğiyle gösteriliyor. Basketbol diliminin merkez açısı kaç derecedir?

• A) 40
• B) 120
• C) 90
• D) 144
• E) 60

Çözüm: 360° · 40/120 = 360°/3 = 120°. Cevap: B.

Örnek 2 — Merkez açıdan kişi sayısına

Soru: 540 kişinin katıldığı bir anketin daire grafiğinde bir dilimin merkez açısı 70°'dir. Bu dilim kaç kişiyi gösterir?

• A) 70
• B) 108
• C) 90
• D) 105
• E) 135

Çözüm: 360°'de 540 kişi varsa 1°'ye 1,5 kişi düşer; 70 · 1,5 = 105. Cevap: D.

Örnek 3 — Grup genişliği

Soru: En küçüğü 12, en büyüğü 57 olan tam sayı veriler 5 gruba ayrılacaktır. Grup genişliği kaç alınmalıdır?

• A) 45
• B) 8
• C) 10
• D) 9
• E) 13

Çözüm: Açıklık 45, 45/5 = 9'dur. Bölümden büyük en küçük doğal sayı alındığından genişlik 10 olur; 9 alınsaydı 57 son gruba girmezdi. Cevap: C.

Örnek 4 — Kutunun uzunluğu

Soru: 2, 5, 6, 9, 12, 14, 17 verileri için çizilen kutu grafiğinde kutunun uzunluğu, yani çeyrekler açıklığı kaçtır?

• A) 9
• B) 17
• C) 11
• D) 5
• E) 14

Çözüm: Medyan 9'dur; alt yarı 2, 5, 6'nın medyanı Q₁ = 5, üst yarı 12, 14, 17'nin medyanı Q₃ = 14. Kutu 14 − 5 = 9 birimdir. Cevap: A.

• Daire grafiğinde açıyı doğrudan kişi sayısı sanmak. Açı, toplam/360 ile çarpılınca kişi sayısı olur.
• Grup genişliğini bölüm tam çıkınca bölümün kendisi almak. En büyük veri dışarıda kalır; bir fazla alınır.
• Çizgi grafiğinde en büyük değeri en büyük artış sanmak. Artış ardışık farklardan okunur.
• Sıfırdan başlamayan eksende sütun boylarını oranlamak. Hesap eksendeki sayılarla yapılır.
• Kutu grafiğinde kutunun uzunluğunu açıklık sanmak. Kutu Q₃ − Q₁'dir; açıklık uçtan uca ölçülür.