Fonksiyon grafiği okuma

Bir hava durumu uygulaması gün boyu sıcaklığı bir çizgiyle gösteriyor. Yatay eksende saatler, dikey eksende dereceler var. Çizgiye bakan biri tek bir sayıyı bile okumadan birçok şey söyleyebilir: sabah serin, öğleden sonra en sıcak, akşam yeniden serin. Saat 15.00'te çizginin ne kadar yükseldiğine bakarak o saatin sıcaklığını, çizginin 20 derece çizgisini kaç kez kestiğine bakarak gün içinde kaç kez 20 derece olunduğunu bulabilir. Bu çizgi, saate göre sıcaklığı veren bir fonksiyonun grafiğidir. Bir önceki derste fonksiyonları kurallarıyla tanıdık. Bu derste aynı fonksiyonları koordinat düzleminde görmeyi öğreniyoruz: bir noktanın grafik üzerinde olup olmadığını, grafiğin eksenleri nerede kestiğini, bir eğrinin fonksiyon grafiği olup olmadığını, grafikten artma ve azalmayı, en yüksek ve en alçak değeri okumayı ve iki grafiğin kesiştiği noktayı bulmayı.

• (a, b) noktasının y = f(x) grafiği üzerinde olması için f(a) = b gerektiğini kullanarak bilinmeyenleri bulursun.
• Grafiğin x eksenini ve y eksenini kestiği noktaları kuraldan hesaplarsın.
• Dikey doğru testiyle bir eğrinin fonksiyon grafiği olup olmadığını belirler; artan ve azalan fonksiyonları ayırt edersin.
• İki noktası verilen doğrusal fonksiyonun kuralını, ikinci dereceden bir grafiğin en alçak ya da en yüksek noktasını ve iki grafiğin kesişimini bulursun.

Grafik nedir?

y = f(x) fonksiyonunun grafiği, (x, f(x)) biçimindeki bütün noktaların koordinat düzlemindeki görüntüsüdür. Yatay eksen x eksenidir ve tanım kümesindeki değerleri, dikey eksen y eksenidir ve görüntüleri gösterir. Grafikteki her nokta, fonksiyonun bir girdisini ve ona karşılık gelen çıktıyı birlikte taşır. Bu yüzden grafik, kuralın gözle okunabilen bir tablosudur.

Bir noktanın grafik üzerinde olması

(a, b) noktası y = f(x) grafiğinin üzerindeyse f(a) = b'dir. Bu basit eşitlik grafik sorularının çoğunun anahtarıdır. f(x) = x² + 1 ise (2, 5) noktası grafiğin üzerindedir, çünkü f(2) = 5'tir; (2, 6) ise üzerinde değildir. Noktanın bir koordinatı bilinmiyorsa eşitlik bir denkleme dönüşür. f(x) = x² + 3 grafiği üzerindeki (a, 19) noktası için a² + 3 = 19 yazılır ve a = 4 ya da a = −4 bulunur; soru bir koşul vermişse, örneğin a pozitifse, uygun olan seçilir.

Eksenleri kestiği noktalar

Grafiğin y eksenini kestiği noktada x = 0'dır. Bu nokta (0, f(0))'dır ve fonksiyonun kuralında x yerine 0 konarak bulunur. Doğrusal ya da ikinci dereceden bir fonksiyonda bu, kuraldaki sabit terimdir.

Grafiğin x eksenini kestiği noktalarda y = 0'dır. Bu noktaları bulmak için f(x) = 0 denklemi çözülür; denklemin kökleri, kesişim noktalarının apsisleridir. f(x) = 2x − 8 grafiği x eksenini (4, 0)'da keser. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği x eksenini iki noktada kesebilir, bir noktada değebilir ya da hiç kesmeyebilir; bu, denklemin kök sayısına bağlıdır.

Eksenleri kestiği noktalar bilinen bir doğru, eksenlerle bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgenin dik kenarları kesişim noktalarının başlangıca uzaklıklarıdır ve alanı bu iki uzunluğun çarpımının yarısıdır.

Dikey doğru testi

Bir eğrinin bir fonksiyonun grafiği olup olmadığını anlamak için düşey doğrular çizilir. Herhangi bir düşey doğru eğriyi birden fazla noktada kesiyorsa eğri bir fonksiyon grafiği değildir, çünkü aynı x değerine birden fazla y karşılık gelmektedir. Merkezi başlangıçta olan bir çember bu yüzden bir fonksiyon grafiği değildir: x = 0 doğrusu çemberi üstte ve altta iki noktada keser. Bir doğru ise dikey olmadığı sürece her zaman bir fonksiyon grafiğidir.

Artan ve azalan

x büyüdükçe f(x) de büyüyorsa fonksiyon o aralıkta artandır; grafik soldan sağa doğru yükselir. x büyüdükçe f(x) küçülüyorsa fonksiyon azalandır; grafik soldan sağa alçalır. Doğrusal bir fonksiyonda bunu x'in katsayısı belirler: pozitifse artan, negatifse azalandır, sıfırsa grafik yatay bir doğrudur ve fonksiyon sabittir.

İkinci dereceden bir fonksiyon ise bir noktaya kadar azalır, sonra artar ya da tersi olur. Dönüş noktası grafiğin en alçak ya da en yüksek noktasıdır. Bu noktayı bulmak için ifade tam kareye tamamlanır: x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 olduğundan grafiğin en alçak noktası (3, 1)'dir. Tam kareye tamamlamayı çarpanlara ayırma ünitesinde görmüştük; burada aynı işlem grafiğin dönüş noktasını verir.

Tablodan okumak

Bir fonksiyon grafik yerine bir değer tablosuyla da verilebilir. Bu durumda f(x) = k denkleminin tablodaki çözümleri, f değeri k olan satırlardır. Tablodaki en büyük ile en küçük değerler, f sütununda yer alan uç sayılardır. Tablo yalnızca listelenen x değerleri hakkında bilgi verir; aradaki değerler hakkında yorum yapılamaz.

İki grafiğin kesişimi

y = f(x) ve y = g(x) grafiklerinin kesiştiği noktada iki fonksiyon aynı x için aynı değeri alır. Bu nokta f(x) = g(x) denklemi çözülerek bulunur; bulunan x değeri kurallardan birine konarak ordinat hesaplanır. İki doğru en fazla bir noktada kesişir; eğimleri eşitse paralel kalır ve hiç kesişmez.

Grafikten denklem çözmek

Bir grafik, denklemleri çözmek için de kullanılabilir. f(x) = k denkleminin çözümleri, y = k yatay doğrusunun grafiği kestiği noktaların apsisleridir. Kancadaki sıcaklık çizgisinde 20 derece doğrusunun çizgiyi iki kez kestiğini görmek, günde iki kez 20 derece olunduğunu söyler. Bu yöntem çözüm sayısını bulmak için özellikle kullanışlıdır: yatay doğru grafiği kaç noktada kesiyorsa denklemin o kadar çözümü vardır. Yatay doğru grafiğe hiç değmiyorsa denklemin çözümü yoktur. İkinci dereceden bir fonksiyonda en alçak noktanın altındaki bir k değeri için f(x) = k denkleminin çözümü olmaz; tam en alçak noktadaki değer için tek bir çözüm vardır.

Grafiğin işareti

Grafiğin x ekseninin üstünde kalan kısmında f(x) pozitif, altında kalan kısmında negatiftir. x eksenini kestiği noktalar, fonksiyonun işaret değiştirdiği yerlerdir. Bu yüzden f(x) > 0 eşitsizliğinin çözümü, grafiğin eksenin üstünde kaldığı x değerleridir. Bir doğrusal fonksiyonun grafiği x eksenini bir kez keser; o noktanın bir yanında pozitif, öbür yanında negatiftir. Kolları yukarı bakan bir parabol iki kökü arasında eksenin altında, köklerin dışında eksenin üstünde kalır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir noktanın grafik üzerinde olma koşulundan bilinmeyeni, grafiğin eksenleri kestiği noktaları, eksenlerle oluşan üçgenin alanını, dikey doğru testini, artan ve azalan fonksiyonları, tablodan okumayı, doğrusal fonksiyonun kuralını, ikinci dereceden grafiğin dönüş noktasını ve iki grafiğin kesişimini ister.

Örnek 1 — Grafik üzerindeki nokta

Soru: (4, k) noktası f(x) = 3x − 2 grafiği üzerindeyse k kaçtır?

• A) 12
• B) 14
• C) 6
• D) 10
• E) 18

Çözüm: f(4) = 12 − 2 = 10. Cevap: D.

Örnek 2 — Eksen kesişimi

Soru: f(x) = x² − 9 grafiğinin x eksenini kestiği noktaların apsisleri hangileridir?

• A) −3 ve 3
• B) 0 ve 9
• C) −9 ve 9
• D) 3 ve 9
• E) yalnız 3

Çözüm: x² = 9 eşitliğinin biri pozitif, biri negatif iki kökü vardır: ±3. Cevap: A.

Örnek 3 — İki noktadan doğru

Soru: Doğrusal f fonksiyonunun grafiği (0, 2) ve (2, 8) noktalarından geçiyorsa f(4) kaçtır?

• A) 16
• B) 10
• C) 12
• D) 18
• E) 14

Çözüm: x 2 artınca y 6 artar; eğim 3 ve f(x) = 3x + 2 olur. f(4) = 14. Cevap: E.

Örnek 4 — En alçak nokta

Soru: f(x) = x² − 6x + 10 grafiğinin en alçak noktası hangisidir?

• A) (3, 10)
• B) (3, 1)
• C) (−3, 1)
• D) (6, 10)
• E) (0, 10)

Çözüm: x² − 6x + 10 = (x − 3)² + 1 olduğundan en alçak nokta (3, 1)'dir. Cevap: B.

• Apsis ile ordinatı karıştırmak. (a, b)'de a yatay, b dikey koordinattır.
• y eksenini keserken y = 0 almak. y ekseninde x = 0'dır.
• Düşey doğruyu fonksiyon grafiği saymak. Bir x değerine sonsuz y karşılık gelir.
• Koşulu atlayıp iki kökü birden kabul etmek. a > 0 gibi bir koşul uygun olanı seçer.
• Tablo dışındaki değerler hakkında yorum yapmak. Tablo yalnızca listelenen noktaları gösterir.