Bileşke ve ters fonksiyona giriş

Bir fabrikada ham madde iki makineden geçiyor. Birinci makine gelen her parçanın ağırlığını iki katına çıkarıp 1 kilogram ambalaj ekliyor; ikinci makine çıkan ağırlıktan 3 kilogram fire düşüyor. 5 kilogramlık bir parça birinci makineden 11, ikinci makineden 8 kilogram olarak çıkar. Makinelerin sırası değişirse sonuç da değişir: önce 3 kilogram düşülürse 2 kilogram kalır, ardından ikiye katlanıp 1 eklenince 5 kilogram çıkar. Bir girdinin art arda iki kuraldan geçirilmesine bileşke denir. Bir de geriye doğru düşünelim: ikinci makineden 8 kilogram çıktığını biliyorsak giren parçanın 5 kilogram olduğunu bulabilir miyiz? Bir fonksiyonun yaptığını geri alan fonksiyona ters fonksiyon denir. Bir önceki iki derste fonksiyonları kurallarıyla ve grafikleriyle tanıdık. Bu derste fonksiyonları art arda uygulamayı, bileşkenin değerini ve kuralını bulmayı, bir fonksiyonun tersinin ne zaman var olduğunu ve doğrusal ile kesirli fonksiyonların tersini hesaplamayı işliyoruz.

• (h∘k)(x) = h(k(x)) tanımını kullanarak bileşkenin değerini ve kuralını bulur, sıranın önemini görürsün.
• Bileşke ve fonksiyonlardan biri verildiğinde öteki fonksiyonu bulursun.
• Birebir ve örten fonksiyonu tanır, tersi olan fonksiyonları ayırt edersin.
• Doğrusal ve kesirli fonksiyonların tersini bulur; h(a) = b ile h⁻¹(b) = a arasındaki ilişkiyi kullanırsın.

Bileşke fonksiyon

h ve k iki fonksiyon olsun. Önce k'nin, sonra h'nin uygulanmasıyla elde edilen fonksiyona h ile k'nin bileşkesi denir ve (h∘k)(x) = h(k(x)) olarak yazılır. Okunuşta sağdaki fonksiyon önce uygulanır: h∘k'de önce k, sonra h çalışır.

Değer hesaplanırken içten dışa gidilir. h(x) = 3x − 4 ve k(x) = x + 2 ise (h∘k)(1) için önce k(1) = 3 bulunur, sonra h(3) = 5 hesaplanır. Kural istendiğinde k'nin kuralı h'deki x'in yerine konur: (h∘k)(x) = 3(x + 2) − 4 = 3x + 2. Kanca bu sıranın önemli olduğunu gösteriyordu: genel olarak h∘k ile k∘h farklı fonksiyonlardır. Bu yüzden bileşke sorularında ilk iş, hangi fonksiyonun içte, hangisinin dışta olduğunu belirlemektir; yanlış sıra çoğu zaman seçeneklerde hazır bekleyen bir çeldiriciyi verir.

Bileşkeden bir fonksiyon bulmak

Bileşke ve fonksiyonlardan biri verildiğinde öteki bulunabilir. Bilinmeyen içteki fonksiyonsa, h(k(x)) ifadesi h'nin kuralına göre yazılır ve k(x) bir bilinmeyen gibi çözülür. h(x) = 2x + 3 ve (h∘k)(x) = 4x − 1 ise 2g(x) + 3 = 4x − 1'den k(x) = 2x − 2 bulunur.

Bilinmeyen dıştaki fonksiyonsa, iç fonksiyonun ifadesi yeni bir harfle gösterilir; bu, bir önceki dersteki iç ifadeli fonksiyonlarla aynı işlemdir. Bileşke böylece iç ifadesi verilmiş bir fonksiyona dönüşür ve harf değiştirmeyle dıştaki fonksiyonun kuralı elde edilir.

Birebir ve örten

Bir fonksiyonun tanım kümesindeki farklı elemanlar her zaman farklı görüntülere gidiyorsa fonksiyon birebirdir. h(x) = x² gerçek sayılarda birebir değildir, çünkü 2 ile −2 aynı görüntüye, 4'e gider. Eğik bir doğrunun grafiğiyle verilen doğrusal fonksiyonlar ise birebirdir. Grafikte bunu görmek için yatay doğrular çizilir: hiçbir yatay doğru grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa fonksiyon birebirdir.

Değer kümesindeki her elemanın en az bir elemanın görüntüsü olduğu fonksiyona örten denir; bu durumda görüntü kümesi değer kümesinin tamamıdır. Hem birebir hem örten olan fonksiyonlara birebir örten denir ve yalnızca bu fonksiyonların tersi vardır. Kancadaki makineler birebir örtendir: her çıkış ağırlığı tek bir giriş ağırlığından gelir.

Ters fonksiyon

h: A → B birebir örten bir fonksiyonsa, her y ∈ B'yi h(x) = y eşitliğini sağlayan tek x'e götüren fonksiyona h'nin tersi denir ve h⁻¹ ile gösterilir. Tanımın kendisi en kullanışlı kuraldır: h(a) = b ise h⁻¹(b) = a'dır. Ters fonksiyon, fonksiyonun yaptığı işi geri alır: h⁻¹(h(x)) = x ve h(h⁻¹(x)) = x.

Doğrusal bir fonksiyonun tersini bulmak için y = h(x) yazılır ve x yalnız bırakılır; ardından harfler yer değiştirir. h(x) = 3x − 6 için y = 3x − 6'dan x = (y + 6)/3 bulunur ve h⁻¹(x) = (x + 6)/3 olur. İşlemlerin tersi ters sırayla uygulanmıştır: h önce 3 ile çarpıp sonra 6 çıkarıyordu; h⁻¹ önce 6 ekler, sonra 3'e böler.

Ters fonksiyonun tek bir değeri isteniyorsa kuralı bulmaya gerek yoktur. h⁻¹(b) istendiğinde h(x) = b denklemi çözülür. Örneğin h(x) = 3x − 6 için h⁻¹(9), 3x − 6 = 9 denkleminin kökü olan 5'tir.

Kesirli fonksiyonların tersi

h(x) = (ax + b)/(cx + d) biçimindeki fonksiyonlarda da aynı yol izlenir. y = (2x + 1)/(x − 3) yazılır, payda ile çarpılır: xy − 3y = 2x + 1. x'li terimler bir tarafa toplanır: x(y − 2) = 3y + 1. Buradan x = (3y + 1)/(y − 2) bulunur. Kısa bir gözlem bu sonucu hemen verir: bu biçimdeki bir fonksiyonun tersinde a ile d'nin yerleri ve işaretleri değişir, b ile c aynı kalır.

Ters fonksiyonun tersi

Bir fonksiyonun tersinin tersi fonksiyonun kendisidir: (h⁻¹)⁻¹ = h. Bu yüzden soruda h⁻¹'in kuralı verilmişse h'yi bulmak için bir kez daha ters alınır ya da h(a) = b ⇔ h⁻¹(b) = a ilişkisi kullanılır.

Tablodan bileşke

Fonksiyonlar bazen kural yerine bir değer tablosuyla verilir. Bu durumda bileşke yine içten dışa okunur: önce içteki fonksiyonun tablosundan girdinin görüntüsü bulunur, sonra bu görüntü dıştaki fonksiyonun tablosunda aranır. Ters fonksiyonun değeri ise tabloda ters yönde okunarak bulunur: h⁻¹(b) istendiğinde h satırında b değerinin altındaki ya da yanındaki x aranır. Tablo bir fonksiyonu yalnızca listelenen noktalarda tanımladığı için, bir değer tabloda yoksa o soruda kullanılamaz; böyle bir durumda sorunun başka bir bilgi vermiş olması gerekir.

Tersin grafiği

Bir fonksiyon ile tersinin grafikleri arasında görsel bir ilişki vardır. h fonksiyonunun grafiği (a, b) noktasından geçiyorsa h⁻¹'in grafiği (b, a) noktasından geçer. Koordinatların yer değiştirmesi, grafiğin y = x doğrusuna göre yansıtılması demektir. Bu yüzden bir fonksiyon ile tersinin grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir; ikisinin kesiştiği noktalar, varsa, bu doğrunun üzerinde de bulunabilir. Bu gözlem, ters fonksiyonla ilgili grafik sorularında hesap yapmadan doğru seçeneği bulmayı sağlar.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bileşke fonksiyonun değerini ve kuralını, bileşkeden bilinmeyen fonksiyonu, birebir fonksiyonları, doğrusal ve kesirli fonksiyonların tersini, ters fonksiyonun bir değerini, tersi verilen fonksiyonun değerini ve bileşke ile tersin birlikte kullanıldığı ifadeleri ister.

Örnek 1 — Bileşke değeri

Soru: h(x) = 3x − 4 ve k(x) = x + 2 ise (h∘k)(1) kaçtır?

• A) 3
• B) 1
• C) 7
• D) 5
• E) −1

Çözüm: k(1) = 3 ve h(3) = 9 − 4 = 5. Cevap: D.

Örnek 2 — İçteki fonksiyonu bulmak

Soru: h(x) = 2x + 3 ve (h∘k)(x) = 4x − 1 ise k(x) hangisidir?

• A) 2x + 2
• B) 2x − 2
• C) 4x − 4
• D) x + 1
• E) 2x − 4

Çözüm: 2g(x) + 3 = 4x − 1'den k(x) = 2x − 2. Cevap: B.

Örnek 3 — Tersin değeri

Soru: h(x) = 3x − 6 ise h⁻¹(9) kaçtır?

• A) 21
• B) 1
• C) 5
• D) 7
• E) 12

Çözüm: 3x − 6 = 9 denkleminden x = 5. Cevap: C.

Örnek 4 — Kesirli fonksiyonun tersi

Soru: h(x) = (2x + 1)/(x − 3) ise h⁻¹(x) hangisidir?

• A) (x − 3)/(2x + 1)
• B) (3x − 1)/(x + 2)
• C) (2x − 1)/(x + 3)
• D) (x + 3)/(x − 2)
• E) (3x + 1)/(x − 2)

Çözüm: y(x − 3) = 2x + 1'den x(y − 2) = 3y + 1 ve x = (3y + 1)/(y − 2). Cevap: E.

• Bileşkede sırayı ters uygulamak. h∘k'de önce k çalışır.
• h⁻¹(x)'i 1/h(x) sanmak. Ters fonksiyon çarpmaya göre ters değildir.
• Birebir olmayan fonksiyonun tersini aramak. Tersi yalnızca birebir örten fonksiyonların vardır.
• Tersin tek değeri için kural bulmaya uğraşmak. h(x) = b denklemini çözmek yeter.
• Kesirli fonksiyonun tersinde işaretleri karıştırmak. a ile d'nin hem yeri hem işareti değişir.