Fonksiyon kavramı

Bir içecek otomatında her düğmenin bir numarası var. 12'ye basarsan su, 15'e basarsan ayran düşüyor. Otomat güvenilir sayılır, çünkü aynı düğmeye her basışında aynı ürünü verir. Bir gün 12'ye basan biri bazen su, bazen meyve suyu alırsa otomatın bozuk olduğunu düşünürüz. Öte yandan iki farklı düğmenin aynı ürünü vermesi bir sorun değildir; hem 12 hem 13 su verebilir. Bazı ürünlerin hiçbir düğmeye bağlı olmaması da sorun değildir. Matematikte fonksiyon tam olarak böyle bir kuraldır: bir kümenin her elemanına başka bir kümeden yalnızca bir eleman karşılık getirir. Bu ünitede kümeleri ve mantığı gördük. Ünitenin son bölümünde bu iki dili birleştiren fonksiyon kavramına geçiyoruz. Bu derste fonksiyonun tanımını, tanım ve değer kümelerini, görüntü kümesini, fonksiyon değerlerini hesaplamayı, iç ifadesi verilen fonksiyonlarda değer bulmayı, parçalı fonksiyonları ve iki küme arasında kurulabilecek fonksiyonların sayısını işliyoruz.

• Bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını, tanım kümesindeki her elemanın tek bir görüntüsü olup olmadığına bakarak belirlersin.
• Tanım kümesini, değer kümesini ve görüntü kümesini ayırt eder, görüntü kümesini hesaplarsın.
• Kuralı verilen bir fonksiyonda değer hesaplar; f(2x + 1) gibi iç ifadesi verilen fonksiyonlarda istenen değeri ve kuralı bulursun.
• Parçalı fonksiyonlarda doğru parçayı seçer, iki küme arasındaki fonksiyon sayısını hesaplarsın.

Fonksiyonun tanımı

A ve B boş olmayan iki küme olsun. A'nın her elemanını B'nin yalnızca bir elemanıyla eşleyen kurala A'dan B'ye bir fonksiyon denir ve f: A → B ile gösterilir. A'ya tanım kümesi, B'ye değer kümesi denir. x elemanının eşlendiği eleman f(x) ile gösterilir ve x'in görüntüsü adını alır.

Tanımın iki şartı vardır ve ikisi de otomattaki gibidir. Birincisi, A'nın hiçbir elemanı açıkta kalmamalıdır; her düğmenin bir karşılığı vardır. İkincisi, A'nın bir elemanı birden fazla elemana gitmemelidir; bir düğme iki farklı ürün vermez. B için böyle bir şart yoktur: B'nin bazı elemanları hiç kullanılmayabilir, bazıları birden fazla elemanın görüntüsü olabilir.

Bir bağıntı sıralı ikililer olarak verildiğinde fonksiyon olup olmadığı birinci bileşenlere bakılarak anlaşılır. A'daki her eleman birinci bileşen olarak tam bir kez görünmelidir. {(1, x), (2, y), (3, y)} kümesi {1, 2, 3}'ten {x, y}'ye bir fonksiyondur; {(1, x), (2, x), (2, y), (3, y)} ise değildir, çünkü 2 iki elemana gitmektedir.

Görüntü kümesi

Tanım kümesindeki bütün elemanların görüntülerinden oluşan kümeye görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Görüntü kümesi her zaman değer kümesinin bir alt kümesidir, ama ona eşit olmak zorunda değildir. f: {−1, 0, 1} → ℤ, f(x) = x² fonksiyonunun görüntü kümesi {0, 1}'dir; −1 ile 1'in görüntüsü aynıdır ve bir kez yazılır.

Değer hesaplamak

Kuralı verilen bir fonksiyonda f(a) değerini bulmak için kuraldaki x yerine a yazılır. f(x) = 2x + 1 ise f(3) = 7'dir. Negatif sayılar yerine konurken parantez kullanmak gerekir; f(x) = x² − x ifadesinde x yerine −2 yazılırken (−2)² − (−2) = 6 bulunur. Parantezsiz yazmak işaret hatasının en yaygın kaynağıdır.

Tersine, f(a) değeri verilip a sorulduğunda kural bir denkleme dönüşür. f(x) = 2x + 1 ve f(a) = 9 ise 2a + 1 = 9'dan a = 4 bulunur. Kuralda bilinmeyen bir katsayı varsa, verilen bir değer yerine konarak o katsayı bulunur.

İç ifadesi verilen fonksiyonlar

Bazı sorularda fonksiyon f(x) yerine f(2x + 1) gibi bir iç ifadeyle verilir. f(5) istendiğinde iç ifade 5'e eşitlenir: 2x + 1 = 5'ten x = 2 olur ve sağ taraftaki ifadede x yerine 2 konur. Bu yolda fonksiyonun kuralını bulmak gerekmez; istenen tek değer, iç ifadenin o değeri aldığı x'ten hesaplanır.

Kuralın kendisi istendiğinde iç ifade yeni bir harfle gösterilir. f(2x) = 6x + 1 ise 2x = t denir; x = t/2 olur ve sağ taraf 3t + 1'e dönüşür. Buradan f(t) = 3t + 1, yani f(x) = 3x + 1 bulunur. Harf değiştirmek, fonksiyonun hangi harfle yazıldığının önemsiz olduğunu gösterir: f(t) ile f(x) aynı kuralı anlatır.

Özel fonksiyonlar

Tanım kümesindeki her elemanı aynı elemana götüren fonksiyona sabit fonksiyon denir: f(x) = c. Bir doğrusal ifadenin sabit fonksiyon olması için x'in katsayısının sıfır olması gerekir. Her elemanı kendisine götüren fonksiyona birim fonksiyon denir: f(x) = x. Bunun için x'in katsayısının 1, sabit terimin 0 olması gerekir. Bu tanımlar, katsayısı bilinmeyen doğrusal ifadelerde parametreleri bulmanın yoludur.

Parçalı fonksiyonlar

Bazı fonksiyonlar tanım kümesinin farklı bölgelerinde farklı kurallarla verilir. Değer hesaplanırken önce sayının hangi bölgeye düştüğüne bakılır, sonra yalnızca o bölgenin kuralı uygulanır. Sınır noktasının hangi parçaya ait olduğu, eşitsizlikteki eşit işaretinden okunur. Bir parçalı fonksiyon kendi içinde iki kez uygulanıyorsa, örneğin f(f(a)) isteniyorsa, önce içteki değer bulunur, sonra bu değerin hangi bölgeye düştüğüne yeniden bakılır.

Fonksiyon sayısı

A'dan B'ye kaç farklı fonksiyon tanımlanabileceği, A'nın her elemanının kaç seçeneği olduğuna bakılarak bulunur. A'daki her eleman, B'nin s(B) elemanından birine gidebilir ve bu seçimler birbirinden bağımsızdır. Bu yüzden fonksiyon sayısı s(B)^s(A)'dır. s(A) = 2 ve s(B) = 3 ise 3² = 9 fonksiyon vardır. Üs ile tabanı karıştırmamak gerekir: taban görüntülerin seçildiği küme, üs ise eleman sayısı kadar yapılan seçimlerdir.

Gündelik hayatta fonksiyonlar

Fonksiyon kavramı, bir girdinin tek bir çıktı belirlediği her durumda karşımıza çıkar. Bir taksimetre gidilen yola göre ücreti, bir termometre zamana göre sıcaklığı, bir sınav sistemi doğru ve yanlış sayısına göre puanı belirler. Her durumda girdi aynı kaldıkça çıktı da aynı kalır; aynı yolu giden iki yolcu aynı ücreti öder. Öte yandan bir kişinin telefon numaraları kişiye göre bir fonksiyon oluşturmaz, çünkü bir kişinin birden fazla numarası olabilir. Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığını anlamanın en hızlı yolu, girdiyi sabit tutup çıktının tek olup olmadığını sormaktır. Bu düşünce biçimi, bir sonraki derste fonksiyon grafiklerini okurken de kullanılacaktır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını, fonksiyon değerlerini, verilen değerden bilinmeyeni ya da katsayıyı, görüntü kümesini, iç ifadesi verilen fonksiyonlarda değer ve kuralı, sabit ve birim fonksiyonlarda parametreleri, parçalı fonksiyon değerlerini ve iki küme arasındaki fonksiyon sayısını ister.

Örnek 1 — Değer hesaplama

Soru: f(x) = 4x − 1 ise f(3) kaçtır?

• A) 12
• B) 11
• C) 13
• D) 7
• E) 3

Çözüm: x yerine 3 yazılır: 4 · 3 − 1 = 11. Cevap: B.

Örnek 2 — İç ifade

Soru: f(x + 1) = 3x − 2 ise f(5) kaçtır?

• A) 13
• B) 7
• C) 22
• D) 10
• E) 19

Çözüm: x + 1 = 5'ten x = 4 olur; 3 · 4 − 2 = 10. Cevap: D.

Örnek 3 — Fonksiyon sayısı

Soru: s(A) = 2 ve s(B) = 3 ise A'dan B'ye kaç fonksiyon tanımlanabilir?

• A) 12
• B) 6
• C) 9
• D) 32
• E) 5

Çözüm: A'nın iki elemanının her biri için üç seçenek vardır: 3² = 9. Cevap: C.

Örnek 4 — Kuralı bulmak

Soru: f(2x) = 6x + 1 ise f(x) hangisidir?

• A) 6x + 1
• B) 12x + 1
• C) 3x + 2
• D) 3x + 1/2
• E) 3x + 1

Çözüm: 2x = t denirse x = t/2 ve 6x + 1 = 3t + 1 olur. Cevap: E.

• Bir elemanı açıkta bırakan bağıntıyı fonksiyon saymak. Tanım kümesinin her elemanının görüntüsü olmalıdır.
• Değer kümesiyle görüntü kümesini karıştırmak. Görüntü kümesi yalnızca kullanılan elemanlardır.
• Negatif sayıyı parantezsiz yerine koymak. (−2)² ile −2² farklıdır.
• İç ifadeli soruda x yerine istenen sayıyı koymak. Önce iç ifade o sayıya eşitlenir.
• Fonksiyon sayısında üs ile tabanı değiştirmek. Sayı s(B)^s(A)'dır.