YKS Matematik · Kümeler, Mantık ve Fonksiyonlara Giriş · MAT-M10-L06

Koşullu önermeler ve niceleyiciler

TYT· 8 bölüm

1Kanca

Bir veli çocuğuna söz veriyor: "Matematik sınavından 90 alırsan seni hafta sonu lunaparka götüreceğim." Hafta sonu geldiğinde dört durumdan biri yaşanır. Çocuk 90 almış ve lunaparka gitmiştir: söz tutulmuştur. Çocuk 90 almış ama lunaparka gidilmemiştir: söz bozulmuştur. Çocuk 90 alamamış ve gidilmemiştir: söz bozulmamıştır. Çocuk 90 alamamış ama veli yine de lunaparka götürmüştür: bu da sözü bozmaz, çünkü söz yalnızca 90 alınan durum için verilmişti. Dört durumdan yalnızca birinde verilen söz yalan çıkar. Matematikte "ise" ile kurulan önermeler tam olarak bu mantıkla değerlendirilir. Bir önceki derste "ve", "veya" ve "ya da" bağlaçlarını gördük. Bu derste koşullu önermeyi, iki yönlü koşullu önermeyi, bir koşullu önermeden türetilen karşıt, ters ve karşıt ters önermeleri, son olarak "her" ve "bazı" anlamına gelen niceleyicileri ve onların olumsuzlarını işliyoruz.

2Hedefler

s ⇒ t önermesinin yalnızca s doğru, t yanlış iken yanlış olduğunu kullanarak değer bulursun.
s ⇔ t önermesinin iki bileşen aynı değeri aldığında doğru olduğunu bilir ve uygularsın.
Bir koşullu önermenin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazar; hangisinin önermeye denk olduğunu bilirsin.
∀ ve ∃ niceleyicileriyle kurulan önermelerin doğruluğunu belirler, olumsuzlarını doğru yazarsın.

3Konu anlatımı

Koşullu önerme

"s ise t" önermesi s ⇒ t ile gösterilir; s'ye hipotez ya da öncül, t'ye hüküm ya da sonuç denir. Bu önerme yalnızca s doğru ve t yanlış olduğunda yanlıştır. Diğer üç durumda doğrudur. Kancadaki söz, çocuğun 90 aldığı ama lunaparka gidilmediği durumda bozulur; 90 alınamayan durumlarda söz ne olursa olsun bozulmuş sayılmaz.

Hipotezi yanlış olan bir koşullu önermenin doğru sayılması ilk bakışta garip gelir. "2 + 2 = 5 ise Ay peynirdendir" önermesi matematiksel olarak doğrudur, çünkü yanlış bir hipotezden yola çıkan bir söz bozulamaz. Bu kural, aşağıdaki denkliğin de temelidir: s ⇒ t ≡ s' ∨ t. Koşullu önermeyi "veya" ile yazmak, koşullu önermeler içeren ifadeleri bir önceki dersin kurallarıyla sadeleştirmeyi mümkün kılar.

İki yönlü koşullu önerme

"s ancak ve ancak t" önermesi s ⇔ t ile gösterilir. Bu önerme, s ile t aynı doğruluk değerini aldığında doğrudur: ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış. Değerleri farklıysa yanlıştır. İki yönlü koşullu önerme, iki koşullu önermenin "ve" ile bağlanmasıdır: s ⇒ t ve t ⇒ s birlikte. Bir tanım cümlesi genellikle iki yönlüdür: "Bir üçgen eşkenardır ancak ve ancak üç kenarı eşittir."

Karşıt, ters ve karşıt ters

s ⇒ t önermesinden üç yeni önerme türetilir. Karşıtı t ⇒ s'dir; hipotez ile hüküm yer değiştirir. Tersi s' ⇒ t'dir; ikisi de olumsuzlanır. Karşıt tersi t' ⇒ s''dir; hem yer değiştirir hem olumsuzlanır.

Bu dördünden yalnızca karşıt ters, önermenin kendisine denktir. "Yağmur yağarsa yer ıslanır" doğruysa, "Yer ıslanmamışsa yağmur yağmamıştır" da doğrudur. Ama karşıtı, "Yer ıslanmışsa yağmur yağmıştır", doğru olmak zorunda değildir; yer bir hortumla da ıslanmış olabilir. Karşıt ile ters ise birbirine denktir. Bir koşullu önermeyi doğrudan kanıtlamak zor olduğunda karşıt tersini kanıtlamak, matematikte sık kullanılan bir yoldur.

Koşullu önermenin olumsuzu

s ⇒ t ≡ s' ∨ t denkliğine De Morgan uygulanırsa olumsuz bulunur. Bir koşullu önermenin olumsuzu bir koşullu önerme değil, bir "ve" önermesidir: hipotez doğru ve hüküm yanlış. Kancadaki sözün olumsuzu "Çocuk 90 aldı ve lunaparka gidilmedi" cümlesidir. Olumsuzlamada "ise" bağlacını korumak sık yapılan bir hatadır.

Niceleyiciler

İçinde değişken bulunan açık önermeler, bir niceleyiciyle önermeye dönüşür. Her ya da bütün anlamına gelen evrensel niceleyici ∀ ile, bazı ya da en az bir anlamına gelen varlıksal niceleyici ∃ ile gösterilir. "∀x ∈ ℝ, |x| ≥ 0" önermesi her gerçek sayının mutlak değerinin negatif olmadığını söyler ve doğrudur. "∃x ∈ ℕ, x + 4 = 1" önermesi bu denklemi sağlayan bir doğal sayı olduğunu söyler ve yanlıştır.

Bir "her" önermesinin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşı örnek yeter. "Her doğal sayı pozitiftir" önermesi 0 yüzünden yanlıştır. Bir "bazı" önermesinin doğru olduğunu göstermek için de tek bir örnek yeter.

Niceleyicilerin olumsuzu

Niceleyicili önermeler olumsuzlanırken niceleyici değişir ve açık önerme olumsuzlanır: (∀x, a(x))' ≡ ∃x, a'(x) ve (∃x, a(x))' ≡ ∀x, a'(x). "Bu sınıftaki herkes gözlüklüdür" cümlesinin olumsuzu "Herkes gözlüksüzdür" değil, "Gözlüksüz en az bir kişi vardır" cümlesidir. Bu hata, niceleyici sorularında en çok yapılan hatadır. Bir eşitsizlik olumsuzlanırken de sınıra dikkat edilir: "büyüktür"ün olumsuzu "küçüktür" değil, "küçük veya eşittir"dir.

Gerek ve yeter koşul

Koşullu önermeler matematikte "gerek" ve "yeter" sözcükleriyle de ifade edilir. Bir koşullu önerme doğruysa hipotezi, hükmün gerçekleşmesi için yeterlidir; hüküm ise hipotez için gereklidir. "Bir sayı 4'e bölünüyorsa çifttir" cümlesinde 4'e bölünmek çift olmak için yeterlidir, ama gerekli değildir; 6 da çifttir ve 4'e bölünmez. Çift olmak ise 4'e bölünmek için gereklidir: çift olmayan bir sayı 4'e bölünemez. İki yönlü koşullu önerme doğru olduğunda koşul hem gerek hem yeterdir. Sınav sorularında "gerek ve yeter koşul" ifadesi görüldüğünde bu yüzden iki yönlü bir ilişki aranır.

Günlük dildeki koşullar

Günlük konuşmada "ise" bağlacı çoğu zaman iki yönlü bir anlamla kullanılır. "Ödevini bitirirsen dışarı çıkabilirsin" diyen biri genellikle ödev bitmezse çıkılamayacağını da söylemek ister. Matematiksel mantık ise yalnızca söyleneni değerlendirir; ödev bitmeden çıkılmasını yasaklayan bir şey söylenmemiştir. Bu fark, sorulardaki çeldiricilerin çoğunun kaynağıdır. Bir koşullu önermeyi değerlendirirken cümlenin gündelik çağrışımlarını bir kenara bırakıp yalnızca hipotez ile hükmün doğruluk değerlerine bakmak gerekir.

Tabloyla denetlemek

Koşullu önermelerle kurulan bir denkliği hatırlamakta zorlanırsan dört satırlık bir tablo yazmak en güvenli yoldur. İki önermeli bir ifadede yalnızca dört satır vardır ve her satırda koşullu önermenin değeri, hipotez doğru ve hüküm yanlış mı diye bakılarak hemen bulunur. İki ifadenin dört satırın hepsinde aynı değeri alması, denk olduklarını gösterir. Bir satırda bile farklı değer çıkması, denk olmadıklarını kanıtlar. Karşıt ile önermenin kendisinin denk olmadığını görmek için hipotezin yanlış, hükmün doğru olduğu tek satıra bakmak yeter.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri koşullu ve iki yönlü koşullu önermelerin doğruluk değerini, koşullu önermelerin denklerini, karşıt, ters ve karşıt ters önermeleri, koşullu önermenin olumsuzunu, niceleyicili önermelerin doğruluğunu ve olumsuzunu ister.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Koşullu değer

Soru: s ≡ 0 ve t ≡ 0 ise (s ⇒ t) ∧ t' önermesinin doğruluk değeri nedir?

A) s
B) 1
C) 0
D) t
E) Belirlenemez

Çözüm: Hipotez yanlış olduğundan s ⇒ t ≡ 1; t' ≡ 1 ve 1 ∧ 1 ≡ 1. Cevap: B.

Örnek 2 — Karşıt ters

Soru: "Bir sayı 4'e bölünüyorsa çifttir" önermesinin karşıt tersi hangisidir?

A) Bir sayı çiftse 4'e bölünür.
B) Bir sayı 4'e bölünmüyorsa çift değildir.
C) Bir sayı çift değilse 4'e bölünmez.
D) Bir sayı 4'e bölünür ve çift değildir.
E) Her çift sayı 4'e bölünür.

Çözüm: Hipotez ile hüküm yer değiştirir ve ikisi de olumsuzlanır. Cevap: C.

Örnek 3 — Koşullu önermenin olumsuzu

Soru: (s ⇒ t')' önermesinin denki hangisidir?

A) s' ∧ t'
B) s ∧ t
C) s ⇒ t
D) s' ∨ t
E) s ∧ t'

Çözüm: s ⇒ t' ≡ s' ∨ t' olur; olumsuzu s ∧ t'dir. Cevap: B.

Örnek 4 — Niceleyici

Soru: "∃x ∈ ℤ, 2x = 7" önermesinin olumsuzu hangisidir?

A) ∃x ∈ ℤ, 2x ≠ 7
B) ∀x ∈ ℤ, 2x = 7
C) ∀x ∈ ℤ, 2x ≠ 7
D) ∃x ∈ ℤ, 2x > 7
E) ∀x ∈ ℤ, 2x < 7

Çözüm: "Bazı" "her"e döner ve eşitlik olumsuzlanır. Cevap: C.

5Tuzaklar

Hipotezi yanlış koşullu önermeyi yanlış saymak. s yanlışsa s ⇒ t her zaman doğrudur.
Karşıtı önermeye denk sanmak. Yalnızca karşıt ters denktir.
Koşullu önermenin olumsuzunda "ise"yi korumak. Olumsuz bir "ve" önermesidir.
"Her"in olumsuzunu "hiçbiri" yapmak. Doğrusu "en az biri değil"dir.
Eşitsizliği olumsuzlarken eşitliği unutmak. "> 0"ın olumsuzu "≤ 0"dır.

6Tekrar kartı

s ⇒ t: yalnız 1 ⇒ 0 yanlış; s ⇒ t ≡ s' ∨ t.
s ⇔ t: değerler aynıysa doğru.
Karşıt t ⇒ s, ters s' ⇒ t', karşıt ters t' ⇒ s'; karşıt ters ≡ önerme.
(s ⇒ t)' ≡ s ∧ t'.
(∀x, a(x))' ≡ ∃x, a'(x); (∃x, a(x))' ≡ ∀x, a'(x).

7Alıştırma

Soru 1 · Kolay
s ≡ 1 ve t ≡ 0 iken s ⇒ t önermesinin doğruluk değeri kaçtır, yazınız.
1. A)Belirlenemez
2. B)0
3. C)t'
4. D)1
5. E)s
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: B. Hipotez doğru, hüküm yanlış olduğu tek durumdur.
Soru 2 · Kolay
s ≡ 0 ve t ≡ 0 iken s ⇔ t önermesinin doğruluk değeri kaçtır, yazınız.
1. A)0
2. B)s
3. C)1
4. D)t
5. E)Belirlenemez
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. İki bileşen aynı değeri aldığından iki yönlü koşullu önerme doğrudur.
Soru 3 · Kolay
"Yağmur yağarsa maç ertelenir" önermesinin karşıt tersini bulunuz.
1. A)Maç ertelenirse yağmur yağmıştır.
2. B)Yağmur yağmazsa maç ertelenmez.
3. C)Maç ertelenir ve yağmur yağmaz.
4. D)Yağmur yağar ve maç ertelenmez.
5. E)Maç ertelenmezse yağmur yağmamıştır.
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: E. Hüküm ile hipotez yer değiştirip ikisi de olumsuzlanır.
Soru 4 · Kolay
Aşağıdaki önermelerden hangisi doğrudur?
1. A)∀x ∈ ℕ, x > 0
2. B)∃x ∈ ℕ, x + 5 = 2
3. C)∀x ∈ ℤ, x² > 0
4. D)∃x ∈ ℤ, x² = 9
5. E)∀x ∈ ℝ, x² < 0
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: D. x = 3 ya da x = −3 örnek olarak gösterilebilir; diğerlerinin her birinin karşı örneği vardır.
Soru 5 · Orta
(s' ⇒ t)' önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s ∧ t'
2. B)s' ∧ t'
3. C)s ∨ t
4. D)s' ∨ t
5. E)s ∧ t
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: B. s' ⇒ t ≡ s ∨ t olur; olumsuzu s' ∧ t'dir.
Soru 6 · Orta
s ⇒ t önermesi yanlış iken s ∨ t' önermesinin doğruluk değeri kaçtır, yazınız.
1. A)1
2. B)0
3. C)t
4. D)Belirlenemez
5. E)s'
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: A. s ≡ 1 ve t ≡ 0 olmak zorundadır; s ∨ t' ≡ 1 ∨ 1 ≡ 1.
Soru 7 · Orta
"∃x ∈ ℝ, x² < 0" önermesinin olumsuzunu bulunuz.
1. A)∃x ∈ ℝ, x² > 0
2. B)∀x ∈ ℝ, x² < 0
3. C)∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0
4. D)∃x ∈ ℝ, x² ≥ 0
5. E)∀x ∈ ℝ, x² > 0
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. "Bazı" "her" olur ve küçüktür, büyük veya eşite döner.
Soru 8 · Orta
s ⇒ (t ⇒ s) önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s
2. B)0
3. C)t
4. D)1
5. E)s ∧ t
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: D. s' ∨ t' ∨ s yazılır; s ∨ s' her zaman doğru olduğundan önerme totolojidir.
Soru 9 · Orta
s' ⇒ t önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s ∧ t
2. B)s' ∨ t
3. C)s ∨ t
4. D)s ⇒ t'
5. E)s' ∧ t
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. Hipotezin olumsuzu veya hüküm yazılır: (s')' ∨ t ≡ s ∨ t.
Soru 10 · Orta
s ⇔ t yanlış ve s ≡ 1 iken (s ⇒ t) ∨ t önermesinin doğruluk değeri kaçtır, yazınız.
1. A)1
2. B)s
3. C)Belirlenemez
4. D)0
5. E)s ∨ t
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: D. t ≡ 0 olur; s ⇒ t ≡ 0 ve 0 ∨ 0 ≡ 0.
Soru 11 · Orta
x gerçek sayı olmak üzere aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi yanlıştır?
1. A)x = 2 ise x² = 4
2. B)x > 5 ise x > 3
3. C)x² = 9 ise x = 3
4. D)x < 0 ise x < 1
5. E)x = 16 ise √x = 4
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. x = −3 için hipotez doğru, hüküm yanlıştır.
Soru 12 · Zor
(s ⇒ t) ∧ (t ⇒ s) önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s ⇒ t
2. B)s ∧ t
3. C)s ⇔ t
4. D)s ∨ t
5. E)1
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. İki yönde de koşul sağlanıyorsa s ile t aynı değeri alır.
Soru 13 · Zor
(s ∧ t) ⇒ s önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s
2. B)1
3. C)t
4. D)0
5. E)s ∧ t
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: B. (s ∧ t)' ∨ s ≡ s' ∨ t' ∨ s olur; s ∨ s' yüzünden totolojidir.
Soru 14 · Zor
(s ⇒ t)' ve t ∨ u önermeleri doğru iken (s ∧ u) ⇒ t önermesinin doğruluk değeri kaçtır, yazınız.
1. A)0
2. B)u
3. C)1
4. D)s
5. E)Belirlenemez
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: A. s ≡ 1, t ≡ 0 ve buradan u ≡ 1 olur; (1 ∧ 1) ⇒ 0 ≡ 0.
Soru 15 · Zor
"Her öğrenci sınavı geçti" önermesinin olumsuzunu bulunuz.
1. A)Hiçbir öğrenci sınavı geçmedi.
2. B)Bazı öğrenciler sınavı geçti.
3. C)Sınavı geçen öğrenci yoktur.
4. D)Her öğrenci sınavdan kaldı.
5. E)Sınavı geçmeyen en az bir öğrenci vardır.
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: E. "Her" olumsuzlanınca "en az bir … değil" olur.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Fonksiyon kavramı» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

Soru 1 · Orta
s ≡ 0 ve t ≡ 1 iken (s ⇒ t) ∧ (t ⇒ s) önermesinin doğruluk değeri kaçtır, yazınız.
1. A)1
2. B)t
3. C)0
4. D)s'
5. E)Belirlenemez
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. s ⇒ t ≡ 1 ama t ⇒ s ≡ 0'dır; sonuç 0.
Soru 2 · Orta
"Bir sayı 6'ya bölünüyorsa 3'e bölünür" önermesinin karşıtını bulunuz.
1. A)Bir sayı 3'e bölünüyorsa 6'ya bölünür.
2. B)Bir sayı 6'ya bölünmüyorsa 3'e bölünmez.
3. C)Bir sayı 3'e bölünmüyorsa 6'ya bölünmez.
4. D)Her sayı 3'e bölünür.
5. E)Bir sayı 6'ya bölünür ve 3'e bölünmez.
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: A. Karşıtta hipotez ile hüküm yalnızca yer değiştirir.
Soru 3 · Zor
s ⇒ (s ∨ t) önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s
2. B)t
3. C)0
4. D)s ∨ t
5. E)1
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: E. s' ∨ s ∨ t yazılır; s ∨ s' her zaman doğrudur.
Soru 4 · Zor
"∀x ∈ ℝ, x² + 1 > 0" önermesinin olumsuzunu bulunuz.
1. A)∀x ∈ ℝ, x² + 1 < 0
2. B)∃x ∈ ℝ, x² + 1 > 0
3. C)∃x ∈ ℝ, x² + 1 < 0
4. D)∀x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0
5. E)∃x ∈ ℝ, x² + 1 ≤ 0
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: E. "Her" "bazı" olur ve büyüktür, küçük veya eşite döner.
Soru 5 · Zor
(s ∨ t) ⇒ s' önermesi hangi önermeye denktir, belirtiniz.
1. A)s
2. B)t'
3. C)s'
4. D)1
5. E)s ∧ t
Önce çöz, sonra cevabı açCevabı gizle
Cevap: C. (s ∨ t)' ∨ s' ≡ (s' ∧ t') ∨ s' olur; yutma kuralıyla s' kalır.

M10 — Kümeler, Mantık ve Fonksiyonlara Giriş

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.