Önermeler ve bağlaçlar

Bir kafede menüde şu not yazıyor: "Kahvaltı tabağının yanında çay ya da kahve verilir." Müşteri ikisini birden isteyince garson "Ya çay ya kahve, ikisi birden olmaz" diyor. Bir başka masada müşteri "Ben çay veya kahve içerim, hangisi varsa" diyor ve ikisini birden içse de söylediği yanlış olmuyor. Günlük konuşmada "ya da" ve "veya" sözcükleri çoğu zaman birbirinin yerine kullanılır, ama matematikte bu iki bağlacın anlamı farklıdır ve bu fark bir cümlenin doğru mu yanlış mı olduğunu değiştirir. Bu ünitenin ilk yarısında kümeleri inceledik. İkinci yarısında mantık dilini kuruyoruz. Bu derste önermenin ne olduğunu, doğruluk değerini, olumsuzlamayı, "ve", "veya" ile "ya da" bağlaçlarını, doğruluk tablolarını ve önermeler arasındaki denkliği, De Morgan kuralları dahil, işliyoruz. "İse" ile kurulan koşullu önermelere bir sonraki derste geçeceğiz.

• Kesin olarak doğru ya da yanlış olan hüküm cümlelerini önerme olarak tanır, soru, emir ve açık önermeleri ayırt edersin.
• Bir önermenin olumsuzunu yazar, ∧, ∨ ve ⊻ bağlaçlarıyla kurulan bileşik önermelerin doğruluk değerini bulursun.
• İki ya da üç önermeli doğruluk tabloları kurar, satır sayısını önceden bilirsin.
• Değişme, birleşme, dağılma, yutma ve De Morgan kurallarıyla bileşik önermeleri sadeleştirirsin.

Önerme ve doğruluk değeri

Doğru ya da yanlış olduğu kesin olarak söylenebilen hüküm cümlelerine önerme denir. "Ankara Türkiye'nin başkentidir" doğru bir önermedir. "5 bir çift sayıdır" yanlış bir önermedir; yanlış olması onu önerme olmaktan çıkarmaz. Soru cümleleri, emir cümleleri ve ünlem cümleleri önerme değildir, çünkü doğru ya da yanlış diye nitelenemezler. Kişiden kişiye değişen yargılar da, "bu yemek çok lezzetli" gibi, önerme sayılmaz.

İçinde değişken bulunan ve değişkenin değerine göre doğru ya da yanlış olan ifadelere açık önerme denir. x + 2 = 5 cümlesi x = 3 için doğru, başka değerler için yanlıştır; değişkene bir değer verilmeden önerme sayılmaz.

Önermeler p, q, r gibi küçük harflerle gösterilir. Doğru bir önermenin doğruluk değeri 1, yanlış bir önermeninki 0 ile gösterilir.

Olumsuzlama

Bir önermenin olumsuzu, doğruluk değerini tersine çeviren önermedir ve p' ile gösterilir. p doğruysa p' yanlış, p yanlışsa p' doğrudur. "Bugün pazartesidir" önermesinin olumsuzu "Bugün pazartesi değildir" olur. Olumsuzun olumsuzu önermenin kendisidir: (p')' ≡ p.

"Ve" bağlacı

p ∧ q önermesi, p ve q'nun ikisi de doğru olduğunda doğrudur; diğer bütün durumlarda yanlıştır. "Hava güneşli ve sıcak" cümlesi, hava hem güneşli hem sıcaksa doğrudur; biri bile sağlanmazsa yanlıştır. "Ve" bağlacı kümelerdeki kesişime karşılık gelir: iki koşulun birlikte sağlandığı durumlar.

"Veya" bağlacı

p ∨ q önermesi, p ve q'dan en az biri doğru olduğunda doğrudur; yalnızca ikisi de yanlışken yanlıştır. Kancadaki ikinci müşterinin cümlesi böyledir: çay veya kahve içmesi, ikisini birden içmesini dışlamaz. "Veya" bağlacı kümelerdeki birleşime karşılık gelir.

"Ya da" bağlacı

p ⊻ q önermesi, p ve q'dan yalnızca biri doğru olduğunda doğrudur. İkisi de doğruysa ya da ikisi de yanlışsa yanlıştır. Garsonun "ya çay ya kahve" sözü böyle bir önermedir. Bu bağlaca dışlayan veya da denir ve kümelerdeki simetrik farka, yani yalnız birinde olanlara karşılık gelir. "Veya" ile "ya da" arasındaki tek fark, iki önermenin birlikte doğru olduğu satırdır: orada "veya" doğru, "ya da" yanlış verir.

Doğruluk tablosu

Bir bileşik önermenin bütün durumlardaki doğruluk değerini görmek için doğruluk tablosu kurulur. Her önerme 1 ya da 0 değerini alabildiği için n önermeli bir tabloda 2ⁿ satır vardır: iki önermede 4, üç önermede 8 satır. Satırlar düzenli yazılır; ilk sütunda değerler yarı yarıya, ikinci sütunda dörder dörder ya da ikişer ikişer değişir. Ardından bileşik önermenin parçaları içten dışa doğru hesaplanır.

Her satırda doğru olan önermeye totoloji, her satırda yanlış olana çelişki denir. p ∨ p' bir totoloji, p ∧ p' bir çelişkidir.

Denk önermeler ve kurallar

Doğruluk tablolarının bütün satırlarında aynı değeri alan önermelere denk önermeler denir ve ≡ ile gösterilir. Kümelerde öğrendiğin kuralların mantıkta da karşılığı vardır:

Değişme: p ∧ q ≡ q ∧ p ve p ∨ q ≡ q ∨ p. Birleşme: (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r). Dağılma: p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r). Yutma: p ∨ (p ∧ q) ≡ p ve p ∧ (p ∨ q) ≡ p. Etkisiz ve yutan eleman: p ∧ 1 ≡ p, p ∧ 0 ≡ 0, p ∨ 0 ≡ p, p ∨ 1 ≡ 1.

De Morgan kuralları: (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q' ve (p ∨ q)' ≡ p' ∧ q'. Bir "ve" önermesinin olumsuzu, olumsuzların "veya"sıdır. "Hem yorgunum hem açım" cümlesinin olumsuzu "Ya yorgun değilim ya da aç değilim" demek değildir; doğrusu "Yorgun değilim veya aç değilim" cümlesidir, çünkü ikisi birden de olabilir.

Değer bulmak

Önermelerin doğruluk değerleri verildiğinde bileşik önermenin değeri, parantezlerin içinden başlanarak bulunur. Her adımda yalnızca iki değer ve bir bağlaç vardır; bu yüzden hesap birkaç satırlık bir tabloya dönüşür. Tersine, bileşik önermenin değeri verildiğinde bileşenlerin değeri bulunabilir: p ∧ q doğruysa p ile q'nun ikisi de doğrudur; p ∨ q yanlışsa ikisi de yanlıştır. Bu iki durum, değerleri tek bir olasılığa indirdiği için sorularda sık kullanılır. Bunların dışındaki durumlarda, örneğin yalnızca p ∨ q'nun doğru olduğu biliniyorsa, bileşenlerin değeri tek başına belirlenemez; üç farklı olasılık açık kalır ve soru ek bir bilgi vermek zorundadır.

Kümelerle karşılaştırma

Mantıktaki bağlaçlar ile kümelerdeki işlemler arasında birebir bir eşleşme vardır ve bu eşleşme, kuralları iki kez ezberlemeyi gereksiz kılar. Bir önerme, onu doğru yapan durumların kümesi gibi düşünülebilir. "Ve" bağlacı iki kümenin kesişimine, "veya" bağlacı birleşimine, olumsuzlama tümleyene karşılık gelir. "Ya da" ise yalnız birinde bulunanları, yani kesişim dışındaki birleşimi verir. Totoloji evrensel kümeye, çelişki boş kümeye karşılık gelir. Bu yüzden kümelerde gördüğün De Morgan kuralları, dağılma ve yutma özellikleri mantıkta da aynı biçimde geçerlidir. Bir denkliği hatırlayamadığında onu kümeler üzerinden düşünmek ya da kısa bir doğruluk tablosu kurmak, her zaman güvenilir bir yoldur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir cümlenin önerme olup olmadığını, bileşik önermelerin doğruluk değerini, bileşik önermenin değerinden bileşenlerin değerini, doğruluk tablosunun satır sayısını, denk önermeleri, totoloji ve çelişkiyi ve De Morgan kurallarıyla sadeleştirmeyi ister.

Örnek 1 — Değer hesaplama

Soru: p ≡ 0 ve q ≡ 1 ise (p ∨ q) ∧ p' önermesinin doğruluk değeri nedir?

• A) 0
• B) 1
• C) p
• D) q'
• E) Belirlenemez

Çözüm: p ∨ q ≡ 1 ve p' ≡ 1 olduğundan 1 ∧ 1 ≡ 1. Cevap: B.

Örnek 2 — Ya da

Soru: p ⊻ q önermesi hangi durumda doğrudur?

• A) p ≡ 1, q ≡ 1
• B) p ≡ 0, q ≡ 0
• C) p ≡ 0, q ≡ 1
• D) Her durumda
• E) Hiçbir durumda

Çözüm: "Ya da" yalnızca biri doğru olduğunda doğrudur. Cevap: C.

Örnek 3 — De Morgan

Soru: (p ∨ q')' önermesinin denki hangisidir?

• A) p' ∨ q
• B) p ∧ q'
• C) p' ∧ q'
• D) p ∨ q
• E) p' ∧ q

Çözüm: Olumsuzlama içeri girer ve ∨, ∧'ye döner: p' ∧ (q')' ≡ p' ∧ q. Cevap: E.

Örnek 4 — Satır sayısı

Soru: Dört önermeyle kurulan bir doğruluk tablosunda kaç satır vardır?

• A) 8
• B) 4
• C) 12
• D) 16
• E) 32

Çözüm: Her önerme iki değer alır: 2⁴ = 16. Cevap: D.

• Yanlış önermeyi önerme saymamak. "5 çifttir" yanlıştır ama bir önermedir.
• "Veya" ile "ya da"yı karıştırmak. İkisi de doğruyken "veya" doğru, "ya da" yanlıştır.
• De Morgan'da bağlacı çevirmemek. (p ∧ q)' ≡ p' ∨ q'.
• Açık önermeyi önerme sanmak. Değişkene değer verilmeden doğruluk belirlenemez.
• Tablo satırlarını eksik yazmak. n önermede 2ⁿ satır olmalıdır.