Küme problemleri ve Venn şeması

Bir yazılım şirketi çalışanlarına hangi programlama dillerini bildiklerini soruyor. Anket sonucu tek satırlık bir özet olarak geliyor: "Python bilen 26, Java bilen 22 kişi; 3 kişi ikisini de bilmiyor; çalışan sayısı 40." Yönetici iki dili birden bilen kişileri bir projeye atamak istiyor; kaç kişi var? Sayılar bir tabloda değil, cümlelerin içinde dağınık durur. Onları iki daireli bir şemaya yerleştirdiğinde soru kendiliğinden çözülür: dairelerin dışında 3 kişi kaldığına göre dairelerin içinde 37 kişi vardır. 26 ile 22'nin toplamı 48 olduğundan 48 − 37 = 11 kişi iki kez sayılmıştır; bunlar iki dili de bilenlerdir. Bir önceki derste kümelerde işlemleri ve birleşim formülünü gördük. Bu derste o araçları sözel problemlere uyguluyoruz: problem cümlelerini Venn şemasının bölgelerine çevirmeyi, "en az bir", "yalnız bir", "en çok bir" gibi ifadeleri doğru okumayı, üç kümeli problemleri ve bir kesişimin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri.

• Problem metnindeki sayıları iki ya da üç kümeli bir Venn şemasının bölgelerine yerleştirirsin.
• "Yalnız", "en az bir", "en çok bir", "hiçbiri" ifadelerinin hangi bölgeleri kapsadığını ayırt edersin.
• Üç kümeli problemlerde birleşim formülünü ya da bölge bölge doldurmayı kullanırsın.
• Kesişimin ve birleşimin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulursun.

Metinden şemaya

Bir küme problemini çözmenin ilk adımı, evrensel kümeyi ve içindeki kümeleri belirlemektir. Evrensel küme genellikle "sınıf", "grup", "çalışanlar" gibi bir bütündür; kümeler ise "İngilizce bilenler", "yüzmeye gidenler" gibi özelliklerdir. Ardından iki daire çizilir ve şema dört bölgeye ayrılır: yalnız birinci kümede olanlar, yalnız ikinci kümede olanlar, ikisinde de olanlar ve hiçbirinde olmayanlar.

Metindeki her cümle bu dört bölgeden bir ya da birkaçının toplamını verir. "Python bilen 26 kişi" yalnız Python bölgesi ile ortak bölgenin toplamıdır; yalnızca Python bilenlerin sayısı değildir. Bu ayrımı kaçırmak, küme problemlerinde en sık yapılan hatadır. Bölgelere yazılacak sayıların bir kısmı doğrudan verilir, bir kısmı çıkarma yapılarak bulunur. Önce kesin olarak bilinen bölge yazılır, çoğu zaman bu ortak bölgedir; sonra diğer bölgeler ondan hareketle doldurulur.

Sözcüklerin karşılığı

Problem metinlerinde aynı birkaç ifade tekrar tekrar kullanılır ve her biri belirli bölgelere karşılık gelir.

"Yalnız birinci" ya da "yalnızca birini" ifadesi, tek bir dairenin ortak bölge dışındaki kısmıdır. "Yalnız birini" (hangisi olduğu belirtilmeden) iki dairenin ortak olmayan kısımlarının toplamıdır. "En az birini" iki dairenin birlikte örttüğü alanın tamamıdır, yani birleşimdir. "İkisini de" ortak bölgedir. "Hiçbirini" dairelerin dışında kalan bölgedir. "En çok birini" ise ortak bölge dışındaki her şeydir: yalnız birini yapanlar ile hiçbirini yapmayanların toplamı. Bu son ifade sık karıştırılır; "en çok bir" sıfırı da içerir.

Yüzdeli problemler

Sayılar yüzde olarak verildiğinde evrensel küme yüzde 100 kabul edilir ve işlemler aynı biçimde yapılır. Bir grupta yüzde 65'i bir şeyi, yüzde 40'ı başka bir şeyi yapıyorsa ve yüzde 25'i ikisini de yapıyorsa en az birini yapanlar yüzde 80, hiçbirini yapmayanlar yüzde 20'dir. Sonuç kişi sayısı olarak isteniyorsa en sonda toplam kişi sayısıyla çarpılır.

Üç kümeli problemler

Üç küme için birleşim formülü iki küme formülünün genişletilmiş hâlidir: s(P ∪ R ∪ T) = s(P) + s(R) + s(T) − s(P ∩ R) − s(P ∩ T) − s(R ∩ T) + s(P ∩ R ∩ T). Üç kümenin toplamında ikili kesişimler fazla sayıldığı için çıkarılır; ama üçlü kesişim bu çıkarmada bir kez fazla eksildiği için sonunda geri eklenir.

Şema yöntemiyle çalışmak bu formülden daha güvenlidir. Yedi bölge vardır: ortadaki üçlü kesişim, onun çevresindeki üç ikili bölge ve dairelerin yalnızca kendilerine ait üç bölge. Doldurmaya her zaman ortadan başlanır, sonra ikili bölgeler, en son yalnızca bir kümede olanlar yazılır. "P ve R'yi seven 6 kişi" bilgisi verildiğinde ve bunların 2'si T'yi de seviyorsa, yalnız P ve R'yi seven bölgeye 4 yazılır.

Bir başka kullanışlı ilişki, toplam üyelik sayısıdır. Her kişi bulunduğu küme sayısı kadar sayılırsa, kümelerin eleman sayılarının toplamı; yalnız bir kümede olanların sayısı, iki kümede olanların iki katı ve üç kümede olanların üç katı toplamına eşittir. Bu eşitlik, bölgelerin ayrı ayrı verilmediği sorularda tek adımda sonuca götürür.

En küçük ve en büyük değerler

Bazı problemler kesişimi kesin olarak vermez, yalnızca alabileceği değerleri sorar. 32 kişilik bir sınıfta 23 kişi tarihi, 19 kişi coğrafyayı seviyorsa ikisini birden sevenlerin sayısı en az 23 + 19 − 32 = 10'dur; çünkü 42 kişilik bir toplam 32 kişilik bir sınıfa ancak 10 kişi iki kez sayılarak sığar. Kesişim en çok küçük kümenin eleman sayısı kadar, yani 19 olabilir; bu durumda coğrafyayı seven herkes tarihi de sever.

Birleşim için de benzer sınırlar vardır. Birleşim en az büyük kümenin eleman sayısı kadardır; en çok ise iki kümenin eleman sayılarının toplamı ya da evrensel kümenin eleman sayısı, hangisi küçükse odur.

Dört gözlü tablo

İki özelliğin birlikte incelendiği bazı problemlerde Venn şeması yerine iki satırlı ve iki sütunlu bir tablo daha düzenli çalışır. Satırlar birinci özelliğe sahip olanlar ile olmayanları, sütunlar ikinci özelliğe sahip olanlar ile olmayanları gösterir. Dört gözün her biri Venn şemasındaki bir bölgeye karşılık gelir: iki özelliğe de sahip olanlar, yalnız birinciye sahip olanlar, yalnız ikinciye sahip olanlar ve hiçbirine sahip olmayanlar. Satır ve sütun toplamları ayrıca yazılır. Bu yapı, bilgilerin "erkeklerin" ya da "gözlüklülerin" gibi alt gruplara göre verildiği sorularda özellikle işe yarar; eksik gözler toplamlardan çıkarma yapılarak doldurulur.

Sonucu denetlemek

Bir küme problemini bitirdikten sonra bütün bölgelerin sayılarını yazıp toplamak en güvenilir denetimdir. Bölgelerin toplamı evrensel kümenin eleman sayısına eşit olmalı, her kümenin bölgeleri de o kümenin verilen eleman sayısını vermelidir. Bir bölgeye negatif bir sayı düşüyorsa ya veriler yanlış okunmuş ya da bir bilgi yanlış bölgeye yazılmıştır. Kısa bir adımdır ve özellikle üç kümeli sorularda yapılan dağınık hataları hemen ortaya çıkarır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri iki kümeli sözel durumlarda bir bölgenin sayısını, en az birini, yalnız birini, en çok birini ya da hiçbirini yapanları, yüzdeli Venn sorularını, üç kümeli problemleri ve bir kesişimin ya da birleşimin alabileceği en küçük ve en büyük değerleri ister.

Örnek 1 — Hiçbirini okuyanlar

Soru: 36 kişilik bir grupta 20 kişi kitap, 15 kişi dergi okuyor; 7 kişi ikisini de okuyor. Hiçbirini okumayan kaç kişi vardır?

• A) 1
• B) 8
• C) 15
• D) 21
• E) 6

Çözüm: En az birini okuyanlar 20 + 15 − 7 = 28'dir; 36 − 28 = 8. Cevap: B.

Örnek 2 — Bölgelerden küme

Soru: Bir sınavda yalnız birinci soruyu doğru yapan 12, yalnız ikinci soruyu doğru yapan 7, ikisini de doğru yapan 5 öğrenci var. İkinci soruyu doğru yapan kaç öğrenci vardır?

• A) 7
• B) 17
• C) 24
• D) 12
• E) 19

Çözüm: İkinci soruyu yapanlar yalnız ikinciyi yapanlar ile ikisini yapanlardır: 7 + 5 = 12. Cevap: D.

Örnek 3 — Üç küme

Soru: s(P) = 10, s(R) = 9, s(T) = 8, s(P ∩ R) = 4, s(P ∩ T) = 3, s(R ∩ T) = 2 ve s(P ∩ R ∩ T) = 1 ise s(P ∪ R ∪ T) kaçtır?

• A) 27
• B) 18
• C) 19
• D) 20
• E) 21

Çözüm: 27 − 9 + 1 = 19. Cevap: C.

Örnek 4 — En küçük kesişim

Soru: 25 kişilik bir sınıfta 18 kişi resim, 14 kişi müzik dersini seçmiştir. İkisini birden seçenlerin sayısı en az kaçtır?

• A) 4
• B) 14
• C) 11
• D) 9
• E) 7

Çözüm: 18 + 14 = 32 kişilik toplam 25 kişiye ancak 7 kişi iki kez sayılarak sığar. Cevap: E.

• "Python bilen" sayısını yalnız Python bilenler sanmak. Bu sayı ortak bölgeyi de içerir.
• "En çok bir" ifadesinde hiçbirini yapmayanları unutmak. En çok bir, sıfırı da kapsar.
• Üç kümede üçlü kesişimi geri eklememek. Formülün son terimi artıdır.
• Şemayı dışarıdan doldurmaya başlamak. Önce en iç bölge yazılır.
• En küçük kesişimi negatif bulmak. Toplam evrensel kümeyi aşmıyorsa kesişim en az 0'dır.