Kümelerde işlemler

Bir okulun iki kulübü var: satranç kulübünde 12, münazara kulübünde 9 öğrenci kayıtlı. Müdür iki kulübün toplam kaç öğrencisi olduğunu sorduğunda biri hemen "21" diyor. Ama listeler yan yana konunca 4 öğrencinin iki kulüpte birden olduğu görülüyor. Bu dört öğrenci iki kez sayılmıştır; gerçekte kulüplere katılan farklı öğrenci sayısı 12 + 9 − 4 = 17'dir. "İki listeyi birleştirmek", "iki listede ortak olanları bulmak", "birinde olup ötekinde olmayanları ayırmak" gibi günlük işlemlerin her birinin kümelerde bir adı ve bir simgesi vardır. Bir önceki derste alt küme ilişkisini inceledik. Bu derste iki ya da daha çok kümeden yeni kümeler üreten işlemleri ele alıyoruz: birleşim, kesişim, fark ve tümleme, bu işlemlerin özellikleri, De Morgan kuralları ve birleşimin eleman sayısını veren formül.

• Verilen kümelerin birleşimini, kesişimini ve farkını liste ya da Venn şeması üzerinde bulursun.
• Evrensel kümeye göre bir kümenin tümleyenini bulur, ayrık kümeleri tanırsın.
• s(K ∪ L) = s(K) + s(L) − s(K ∩ L) formülüyle eksik eleman sayısını hesaplarsın.
• De Morgan kurallarını ve fark ile tümleme arasındaki ilişkiyi kullanarak küme ifadelerini sadeleştirirsin.

Birleşim ve kesişim

K ve L kümelerinin en az birinde bulunan elemanların kümesine birleşim denir ve K ∪ L ile gösterilir. İki kümede de bulunan elemanların kümesine kesişim denir ve K ∩ L ile gösterilir. K = {1, 2, 3} ve L = {3, 4} için K ∪ L = {1, 2, 3, 4} ve K ∩ L = {3} olur. Birleşim yazılırken ortak eleman bir kez yazılır.

Venn şemasında birleşim iki dairenin kapladığı bütün alandır; kesişim iki dairenin üst üste geldiği mercek biçimindeki bölgedir. Kesişimi boş olan kümelere ayrık kümeler denir; Venn şemasında bu kümeler birbirine değmeyen iki daire olarak çizilir.

Fark

K'da bulunup L'de bulunmayan elemanların kümesine K fark L denir ve K ∖ L ya da K − L ile gösterilir. Yukarıdaki kümeler için K ∖ L = {1, 2} ve L ∖ K = {4} olur. Fark işleminde sıra önemlidir: K ∖ L ile L ∖ K genellikle farklıdır. Birleşim ve kesişimde ise sıra önemli değildir; K ∪ L = L ∪ K ve K ∩ L = L ∩ K'dır.

Bir kümenin elemanları üç parçaya ayrılabilir: yalnız K'da olanlar (K ∖ L), yalnız L'de olanlar (L ∖ K) ve ikisinde de olanlar (K ∩ L). Bu üç parça birbirinden ayrıktır ve birleşimleri K ∪ L'yi verir. Venn şemasıyla çözülen bütün sorular bu ayrışmaya dayanır.

Evrensel küme ve tümleme

Üzerinde çalışılan bütün elemanları içeren kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir. K kümesinin tümleyeni, E'de olup K'da olmayan elemanların kümesidir ve K' ile gösterilir. E = {1, 2, …, 6} ve K = {1, 2, 3} için K' = {4, 5, 6} olur.

Tümleme, evrensel kümeye göre alınan bir farktır: K' = E ∖ K. Bu yüzden s(K') = s(E) − s(K)'dır. Tümleyenin tümleyeni kümenin kendisidir: (K')' = K. Ayrıca K ∪ K' = E ve K ∩ K' = ∅'dir.

Fark işlemi tümleme yardımıyla da yazılabilir: K ∖ L = K ∩ L'. "K'da olup L'de olmayan" ifadesi, "K'da olan ve L'nin dışında olan" demektir. Bu eşitlik, fark içeren ifadeleri sadeleştirmenin en kısa yoludur.

Eleman sayısı formülü

İki kümenin birleşiminin eleman sayısı, eleman sayılarının toplamından kesişimin eleman sayısı çıkarılarak bulunur: s(K ∪ L) = s(K) + s(L) − s(K ∩ L). Kesişimdeki elemanlar hem s(K)'da hem s(L)'de sayıldığı için bir kez çıkarılmaları gerekir. s(K) = 8, s(L) = 6 ve s(K ∩ L) = 3 ise s(K ∪ L) = 11 bulunur. Kancadaki kulüp sorusu bu formülün kendisidir.

Formüldeki dört sayıdan herhangi üçü verildiğinde dördüncüsü bulunabilir. Ayrık kümelerde kesişim boş olduğu için formül s(K ∪ L) = s(K) + s(L) biçimine iner. Fark için de benzer bir eşitlik vardır: s(K ∖ L) = s(K) − s(K ∩ L).

İşlemlerin özellikleri

Birleşim ve kesişim değişme ve birleşme özelliğine sahiptir. Ayrıca birbirleri üzerine dağılırlar: K ∩ (L ∪ M) = (K ∩ L) ∪ (K ∩ M) ve K ∪ (L ∩ M) = (K ∪ L) ∩ (K ∪ M). Bir küme kendisiyle birleştirilince ya da kesiştirilince değişmez: K ∪ K = K, K ∩ K = K. Boş küme birleşimde etkisiz, kesişimde yutan elemandır: K ∪ ∅ = K, K ∩ ∅ = ∅.

Alt küme ilişkisi işlemleri sadeleştirir. K ⊆ L ise K ∪ L = L ve K ∩ L = K olur; küçük küme birleşimde kaybolur, kesişimde kalır. Bu durumda K ∖ L = ∅'dir.

De Morgan kuralları

Bir birleşimin tümleyeni, tümleyenlerin kesişimidir: (K ∪ L)' = K' ∩ L'. Bir kesişimin tümleyeni de tümleyenlerin birleşimidir: (K ∩ L)' = K' ∪ L'. Sözle söylenirse: "K'da ya da L'de olmayanlar" ile "hem K'nın hem L'nin dışında olanlar" aynı elemanlardır. Tümleme işareti parantezin içine girerken ∪ ile ∩ yer değiştirir. Bu kural, "hiçbirinde olmayan" elemanları saymak için de kullanılır: s((K ∪ L)') = s(E) − s(K ∪ L).

Üç bölgeyle düşünmek

İki kümeli bir soruda çoğu zaman en hızlı yol, Venn şemasını üç bölgeye ayırıp her bölgeye bir sayı yazmaktır: yalnız K, yalnız L ve ortak bölge. Verilen bilgilerin her biri bu üç sayıdan bir ya da ikisinin toplamıdır. s(K) yalnız K ile ortak bölgenin toplamıdır; s(L ∖ K) ise doğrudan yalnız L bölgesidir. Bilinmeyen bölgeye bir harf verilir ve verilen toplamlardan denklem kurulur. Evrensel küme de söz konusuysa dördüncü bir bölge, iki dairenin dışında kalan alan eklenir. Bu yaklaşım formülü ezberlemeyi gereksiz kılar ve özellikle bilgilerin karışık sırada verildiği sorularda hata yapma ihtimalini azaltır.

İşlem sırası ve parantez

Birden çok işlem içeren ifadelerde parantez, hangi işlemin önce yapılacağını belirler. (K ∩ L) ∪ M ile K ∩ (L ∪ M) genellikle farklı kümelerdir. Parantezsiz yazılmış bir ifadede işlemleri soldan sağa uygulamak yanlış sonuç verebilir; bu yüzden sınav soruları parantezleri her zaman açıkça yazar. Hesaplarken önce en içteki parantezi bulmak, ardından dışa doğru ilerlemek gerekir. Tümleme işareti bir parantezin dışındaysa, De Morgan kuralıyla içeri taşınabilir; bu, ifadeyi tanıdık bir biçime getirmenin en kısa yoludur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri verilen kümelerin birleşim, kesişim, fark ve tümleyenini, birleşim formülünde eksik eleman sayısını, ayrık kümeleri, alt küme ilişkisinin işlemlere etkisini, De Morgan kurallarıyla eşit ifadeleri ve evrensel kümede hiçbir kümede olmayan elemanları ister.

Örnek 1 — Fark

Soru: K = {k, l, m, n, p} ve L = {n, p, r, t} ise K ∖ L kümesi hangisidir?

• A) {n, p}
• B) {r, t}
• C) {k, l, m}
• D) {k, l, m, r, t}
• E) {k, l, m, n, p}

Çözüm: K'nın elemanlarından L'de de bulunan n ve p atılır. Cevap: C.

Örnek 2 — Birleşim formülü

Soru: s(K) = 10, s(L) = 8 ve s(K ∩ L) = 3 ise s(K ∪ L) kaçtır?

• A) 18
• B) 21
• C) 13
• D) 15
• E) 11

Çözüm: 10 + 8 − 3 = 15. Cevap: D.

Örnek 3 — Hiçbirinde olmayanlar

Soru: E = {1, 2, 3, …, 10}, K = {2, 4, 6, 8} ve L = {6, 8, 10} ise s((K ∪ L)') kaçtır?

• A) 5
• B) 3
• C) 6
• D) 4
• E) 10

Çözüm: K ∪ L çift sayılardan oluşur; dışarıda tek sayılar kalır: 1, 3, 5, 7 ve 9. Cevap: A.

Örnek 4 — Fark ve tümleme

Soru: K ∖ L kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

• A) K ∩ L
• B) K' ∩ L
• C) K ∪ L'
• D) K ∩ L'
• E) K' ∪ L

Çözüm: K'da olup L'de olmayan elemanlar, K ile L'nin tümleyeninin kesişimidir. Cevap: D.

• Birleşimde ortak elemanı iki kez saymak. s(K ∪ L) formülünde kesişim bir kez çıkarılır.
• Fark işleminde sırayı karıştırmak. K ∖ L ile L ∖ K farklıdır.
• Tümleyeni evrensel kümesiz bulmak. K' her zaman E'ye göre alınır.
• De Morgan'da işlemi değiştirmemek. (K ∪ L)' = K' ∩ L'; ∪, ∩'ye döner.
• Ayrık kümelerde kesişimi çıkarmaya çalışmak. Kesişim boştur; formül toplamaya iner.