İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Kümeler, Mantık ve Fonksiyonlara Giriş · MAT-M10-L02

Alt küme

TYT· 8 bölüm

1Kanca

Bir pizzacıda üç malzeme var: mantar, zeytin ve mısır. Müşteri istediği kadarını seçebiliyor; hiçbirini seçmeyip sade pizza da isteyebilir. Kaç farklı pizza yapılabilir? Her malzeme için iki karar vardır: konacak ya da konmayacak. Mantar için 2, zeytin için 2, mısır için 2 seçenek olduğundan toplam 2 · 2 · 2 = 8 farklı pizza çıkar: sadeden üç malzemeliye kadar. Her pizza, malzemeler kümesinin bir alt kümesidir ve bu sayma, alt küme sayısının neden 2'nin bir kuvveti olduğunu gösterir. Bir önceki derste kümeleri, elemanlarını ve eleman sayısını tanımladık. Bu derste bir kümenin başka bir kümenin içinde yer almasını, yani alt küme ilişkisini, öz alt kümeyi, alt küme sayısını ve belirli elemanları içeren ya da içermeyen alt kümeleri saymayı işliyoruz.

2Hedefler

  • A'nın her elemanı B'nin de elemanıysa A ⊆ B yazar; ⊆ ile ∈ simgelerini doğru yerde kullanırsın.
  • n elemanlı bir kümenin alt küme sayısını 2ⁿ, öz alt küme sayısını 2ⁿ − 1 olarak bulursun.
  • Belirli elemanları içeren ya da içermeyen alt kümeleri, o elemanları ayırıp kalanların alt kümelerini sayarak bulursun.
  • "En az bir" içeren alt kümeleri, tümünden hiç içermeyenleri çıkararak sayarsın.

3Konu anlatımı

Alt küme nedir?

A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanıysa A, B'nin alt kümesidir ve A ⊆ B yazılır. {2, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4} doğrudur, çünkü 2 de 4 de büyük kümede vardır. {2, 5} ⊆ {1, 2, 3, 4} yanlıştır, çünkü 5 büyük kümede yoktur. A'nın B'nin alt kümesi olmadığı A ⊄ B ile gösterilir.

İki kural her küme için geçerlidir. Her küme kendisinin alt kümesidir: A ⊆ A. Boş küme her kümenin alt kümesidir: ∅ ⊆ A. İkinci kural ilk bakışta tuhaf görünür, ama tanımdan çıkar: boş kümenin B'de bulunmayan hiçbir elemanı yoktur, dolayısıyla koşul ihlal edilmez.

∈ ile ⊆ farkı

∈ bir eleman ile bir küme arasındaki ilişkidir; ⊆ iki küme arasındaki ilişkidir. A = {1, 2, {3}} kümesinde 1 ∈ A ve {1} ⊆ A doğrudur. {3} ise A'nın bir elemanıdır, yani {3} ∈ A doğrudur; ama {3} ⊆ A yanlıştır, çünkü bu, 3 sayısının A'nın elemanı olmasını gerektirir. Bu iki simge sınavlarda bilerek karıştırılır. Karar verirken sol taraftaki ifadeyi kendine sor: bu, büyük kümenin içinde tek parça olarak yazılmış mı (∈), yoksa elemanlarının her biri büyük kümede tek tek bulunuyor mu (⊆)?

Öz alt küme ve eşitlik

A ⊆ B ve A ≠ B ise A, B'nin öz alt kümesidir. Bir kümenin kendisi dışındaki bütün alt kümeleri öz alt kümedir. A ⊆ B ve B ⊆ A ise iki küme eşittir; iki kümenin eşitliğini göstermenin bir yolu da her birinin ötekinin alt kümesi olduğunu göstermektir.

Alt küme ilişkisi geçişkendir: K ⊆ L ve L ⊆ M ise K ⊆ M'dir. K'nin her elemanı L'de, L'nin her elemanı M'de olduğu için K'nin her elemanı M'dedir.

Alt küme sayısı

n elemanlı bir kümenin her elemanı için iki seçenek vardır: alt kümeye alınır ya da alınmaz. Seçimler birbirinden bağımsız olduğu için alt küme sayısı 2ⁿ'dir. {a, b} kümesinin alt kümeleri ∅, {a}, {b} ve {a, b}'dir; 2² = 4. Üç elemanlı bir kümenin 8, dört elemanlının 16 alt kümesi vardır.

Kendisi dışındaki alt kümeler öz alt küme olduğundan öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1'dir. Alt küme sayısı verildiğinde eleman sayısı 2'nin hangi kuvvetine eşit olduğuna bakılarak bulunur.

Belirli elemanları içeren ya da içermeyen alt kümeler

Bir elemanın kesinlikle bulunması istenen alt kümeleri saymak için o eleman bir kenara konur ve kalan elemanların alt kümeleri sayılır; her biri o elemanla tamamlanır. n elemanlı bir kümede belirli k elemanın bulunduğu alt küme sayısı 2ⁿ⁻ᵏ'dir. Bir elemanın kesinlikle bulunmaması istendiğinde de aynı sayı çıkar: o eleman kümeden atılır ve kalanların alt kümeleri sayılır.

İki koşul birlikte verildiğinde, örneğin bir eleman bulunsun ve bir başkası bulunmasın, iki eleman da karara bağlanmış olur. Geriye kalan n − 2 eleman serbesttir ve sayı 2ⁿ⁻² olur. Kural genel olarak şudur: durumu belirlenmiş elemanlar sayılmaz, serbest kalan her eleman 2 ile çarpar.

{3} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4} gibi bir koşul da aynı fikri anlatır: 3 kesinlikle X'tedir, 1, 2 ve 4 serbesttir. X kümesi için 2³ = 8 seçenek vardır.

"En az bir" sorusu

"En az bir çift sayı içeren" ya da "a veya b'den en az birini içeren" alt kümeleri doğrudan saymak uzun sürer. Bunun yerine tümleyen sayılır: tüm alt kümelerden hiçbirini içermeyenler çıkarılır. {1, 3, 5, 6} kümesinin en az bir çift sayı içeren alt kümelerini bulmak için 2⁴ = 16 alt kümeden çift sayı içermeyenler, yani {1, 3, 5}'in 2³ = 8 alt kümesi çıkarılır; sonuç 8'dir.

Belirli eleman sayısında alt kümeler

Bazen yalnızca belirli sayıda elemanı olan alt kümeler sorulur. Küçük kümelerde bunlar düzenli bir listeyle sayılabilir. Beş elemanlı bir kümenin iki elemanlı alt kümelerini bulmak için ilk eleman sabitlenip ikinci eleman değiştirilerek liste yapılır; bu sayma ileride kombinasyon konusunda tek bir formüle bağlanacaktır.

Alt küme sayısının hızlı büyümesi

Bir kümeye tek bir eleman eklemek alt küme sayısını iki katına çıkarır, çünkü eski alt kümelerin her biri yeni elemanla ya da onsuz olmak üzere iki biçimde yazılabilir. Bu yüzden 10 elemanlı bir kümenin 1024, 20 elemanlı bir kümenin bir milyondan fazla alt kümesi vardır. Bu hızlı büyüme, eleman sayısı değiştiğinde alt küme sayısındaki artışı soran problemlerin anahtarıdır: eleman sayısı k artarsa alt küme sayısı 2ᵏ katına çıkar ve artış miktarı 2ⁿ(2ᵏ − 1) olur. Böyle bir soruda önce artışın 2ⁿ'nin kaç katı olduğu bulunur, ardından 2ⁿ'den n okunur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri ∈ ve ⊆ ilişkilerinin doğruluğunu, alt küme ve öz alt küme sayısını, alt küme sayısından eleman sayısını, belirli elemanları içeren ya da içermeyen alt küme sayısını, iki küme arasında kalan kümeleri ve en az bir koşulunu sağlayan alt kümeleri ister.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Öz alt küme

Soru: A = {1, 2, 3} kümesinin öz alt küme sayısı kaçtır?

  • A) 3
  • B) 9
  • C) 7
  • D) 6
  • E) 8

Çözüm: Alt küme sayısı 2³ = 8'dir; kümenin kendisi çıkarılınca 7 kalır. Cevap: C.

Örnek 2 — Eleman sayısını bulmak

Soru: Alt küme sayısı 512 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır?

  • A) 8
  • B) 10
  • C) 256
  • D) 9
  • E) 11

Çözüm: 512 = 2⁹ olduğundan küme 9 elemanlıdır. Cevap: D.

Örnek 3 — İçeren ve içermeyen

Soru: A = {a, b, c, d, e} kümesinin a'yı içeren ama c'yi içermeyen alt kümelerinin sayısı kaçtır?

  • A) 20
  • B) 8
  • C) 32
  • D) 4
  • E) 16

Çözüm: a ve c'nin durumu bellidir; b, d ve e serbesttir: 2³ = 8. Cevap: B.

Örnek 4 — Arada kalan küme

Soru: {1, 3} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5, 6} koşulunu sağlayan kaç X kümesi vardır?

  • A) 16
  • B) 64
  • C) 32
  • D) 15
  • E) 4

Çözüm: 1 ve 3 kesinlikle X'tedir; 2, 4, 5 ve 6 serbesttir: 2⁴ = 16. Cevap: A.

5Tuzaklar

  • ∈ ile ⊆'yi karıştırmak. Eleman küme ilişkisi ∈, küme küme ilişkisi ⊆ ile yazılır.
  • Boş kümeyi saymayı unutmak. ∅ her kümenin alt kümesidir ve 2ⁿ'nin içindedir.
  • Öz alt kümede yanlış kümeyi çıkarmak. Çıkarılan boş küme değil, kümenin kendisidir.
  • Koşullu elemanları serbest saymak. Durumu belirlenen elemanlar üsse girmez.
  • "En az bir" sorusunu tek tek saymak. Tümünden hiç içermeyenleri çıkar.

6Tekrar kartı

  • A ⊆ B: A'nın her elemanı B'de.
  • ∅ ⊆ A ve A ⊆ A her zaman doğru.
  • Alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ − 1.
  • k elemanın durumu belli: 2ⁿ⁻ᵏ.
  • En az bir: 2ⁿ − (hiç içermeyenler).

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt küme sayısını bulunuz.

    1. A)31
    2. B)16
    3. C)25
    4. D)32
    5. E)10
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Beş elemanın her biri için iki seçenek vardır: 2⁵ = 32.

  2. Soru 2 · Kolay

    A = {2, 4, 6, 8} kümesinin öz alt küme sayısını bulunuz.

    1. A)17
    2. B)15
    3. C)21
    4. D)16
    5. E)13
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Alt küme sayısı 16'dır; kümenin kendisi çıkarılınca 15 kalır.

  3. Soru 3 · Kolay

    64 alt kümesi bulunan bir küme kaç elemanlıdır, yazınız.

    1. A)8
    2. B)64
    3. C)6
    4. D)32
    5. E)7
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 64 = 2⁶ olduğundan küme 6 elemanlıdır.

  4. Soru 4 · Kolay

    A = {2, 4, {6}} kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

    1. A)6 ∈ A
    2. B){6} ⊆ A
    3. C){6} ∈ A
    4. D){4, 6} ⊆ A
    5. E)∅ ∈ A
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. {6}, A'nın bir elemanıdır; 6 sayısı ise A'da tek başına bulunmaz.

  5. Soru 5 · Orta

    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 1'i içeren alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)32
    2. B)64
    3. C)16
    4. D)6
    5. E)31
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 1 bir kenara konur; kalan beş elemanın 2⁵ = 32 alt kümesi vardır.

  6. Soru 6 · Orta

    A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin a'yı içerip b'yi içermeyen alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)17
    2. B)8
    3. C)64
    4. D)16
    5. E)32
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. İki elemanın durumu bellidir; dört eleman serbesttir: 2⁴ = 16.

  7. Soru 7 · Orta

    Öz alt küme sayısı 127 olan bir kümenin eleman sayısını bulunuz.

    1. A)63
    2. B)7
    3. C)12
    4. D)128
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 2ⁿ − 1 = 127'den 2ⁿ = 128 ve n = 7.

  8. Soru 8 · Orta

    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin en az bir çift sayı içeren alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)48
    2. B)8
    3. C)56
    4. D)32
    5. E)63
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 64 alt kümeden çift sayı içermeyen 2³ = 8 tanesi çıkarılır.

  9. Soru 9 · Orta

    Beş elemanlı bir kümenin iki elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)20
    2. B)11
    3. C)25
    4. D)10
    5. E)32
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Elemanlar ikişer ikişer eşlenince 4 + 3 + 2 + 1 = 10 farklı alt küme çıkar.

  10. Soru 10 · Orta

    K ⊆ L ve L ⊆ M olduğuna göre hangisi kesinlikle doğrudur?

    1. A)M ⊆ K
    2. B)K = L
    3. C)L ⊆ K
    4. D)K ⊆ M
    5. E)M ⊆ L
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Alt küme ilişkisi geçişkendir; K'nin her elemanı M'dedir.

  11. Soru 11 · Orta

    Bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 63 olduğuna göre kümenin eleman sayısını bulunuz.

    1. A)2
    2. B)31
    3. C)5
    4. D)32
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 2ⁿ + 2ⁿ − 1 = 63'ten 2ⁿ = 32 ve n = 5.

  12. Soru 12 · Zor

    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 1 ve 2'yi içeren, 3'ü içermeyen alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)128
    2. B)8
    3. C)64
    4. D)16
    5. E)32
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Üç elemanın durumu bellidir; dört eleman serbesttir: 2⁴ = 16.

  13. Soru 13 · Zor

    Bir kümenin eleman sayısı 2 artırılınca alt küme sayısı 96 artıyor. Kümenin başlangıçtaki eleman sayısını bulunuz.

    1. A)1
    2. B)12
    3. C)5
    4. D)32
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 2ⁿ⁺² − 2ⁿ = 3 · 2ⁿ = 96 olur; 2ⁿ = 32 ve n = 5.

  14. Soru 14 · Zor

    {1, 2} ⊆ X ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} koşulunu sağlayan X kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)17
    2. B)8
    3. C)32
    4. D)4
    5. E)15
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 1 ve 2 kesinlikle X'tedir; 3, 4 ve 5 serbesttir: 2³ = 8.

  15. Soru 15 · Zor

    A = {a, b, c, d, e} kümesinin a veya b'den en az birini içeren alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)28
    2. B)16
    3. C)24
    4. D)23
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 32 alt kümeden ne a'yı ne b'yi içeren 2³ = 8 tanesi çıkarılır.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Kümelerde işlemler» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Sekiz elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısını bulunuz.

    1. A)256
    2. B)255
    3. C)128
    4. D)127
    5. E)64
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Alt küme sayısı 2⁸ = 256'dır; kümenin kendisi çıkarılınca 255 kalır.

  2. Soru 2 · Orta

    {a} ⊆ X ⊆ {a, b, c, d, e, f} koşulunu sağlayan X kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)31
    2. B)16
    3. C)64
    4. D)32
    5. E)63
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. a kesinlikle X'tedir; beş eleman serbesttir: 2⁵ = 32.

  3. Soru 3 · Zor

    A = {x | x ∈ ℕ, 1 ≤ x ≤ 8} kümesinin hiç tek sayı içermeyen alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)240
    2. B)16
    3. C)15
    4. D)32
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Tek sayılar atılır; kalan dört çift sayının 2⁴ = 16 alt kümesi vardır.

  4. Soru 4 · Zor

    Bir kümenin eleman sayısı 1 artırılınca alt küme sayısı 64 artıyor. Kümenin başlangıçtaki eleman sayısını bulunuz.

    1. A)13
    2. B)5
    3. C)32
    4. D)6
    5. E)64
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 2ⁿ⁺¹ − 2ⁿ = 2ⁿ = 64 olur; n = 6.

  5. Soru 5 · Zor

    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin en az bir asal sayı içeren alt kümelerinin sayısını bulunuz.

    1. A)112
    2. B)120
    3. C)127
    4. D)64
    5. E)96
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Asal sayılar 2, 3, 5 ve 7'dir; asal içermeyen alt kümeler {1, 4, 6}'nın 8 alt kümesidir: 128 − 8 = 120.

M10 — Kümeler, Mantık ve Fonksiyonlara Giriş

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.