Kümelerde temel kavramlar

Öğretmen tahtaya iki cümle yazıyor: "Sınıfımızdaki çalışkan öğrenciler" ve "Sınıfımızda adı A harfiyle başlayan öğrenciler". Sonra soruyor: hangisinin bütün üyelerini tartışmasız sayabiliriz? İkinci cümle için listeyi herkes aynı biçimde yazar; Ayşe ya bu listededir ya değildir. Birincisinde ise kimin "çalışkan" sayılacağı kişiden kişiye değişir; aynı sınıfta iki öğrencinin yazdığı listeler farklı çıkar. Matematikte küme denince ikinci türden topluluklar anlaşılır: hangi nesnenin içinde olduğu, hangisinin olmadığı kesin olarak belirlenebilen topluluklar. Bu ünite kümelerle başlıyor ve mantıkla devam ediyor; ilerideki bütün sayı kümeleri, fonksiyonlar ve olasılık bu dilin üstüne kurulur. Bu ilk derste kümenin ne olduğunu, elemanlık ilişkisini, bir kümeyi yazmanın üç yolunu, eleman sayısını, boş kümeyi, sonlu ve sonsuz kümeleri, eşit ve denk kümeleri işliyoruz.

• Bir topluluğun küme belirtip belirtmediğini, elemanlarının kesin olarak belirlenip belirlenemediğine bakarak ayırt edersin.
• ∈ ve ∉ simgelerini doğru kullanır, eleman olan bir kümeyi kümenin içindeki bir eleman olarak sayarsın.
• Bir kümeyi liste, ortak özellik ve Venn şeması yöntemleriyle yazar, ortak özellikle verilen kümenin eleman sayısını bulursun.
• Boş kümeyi, sonlu ve sonsuz kümeleri tanır; eşit kümelerle denk kümeleri birbirinden ayırırsın.

Küme ve eleman

Elemanları kesin olarak belirlenebilen nesneler topluluğuna küme denir. "Kesin olarak belirlenebilir" ifadesi önemlidir: bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı kişiden kişiye değişmemelidir. "10'dan küçük tek doğal sayılar" bir kümedir, çünkü 7'nin bu topluluğa ait olduğu, 8'in ait olmadığı herkes için aynıdır. "Güzel şehirler" ya da "büyük sayılar" ise küme belirtmez; güzelliğin ve büyüklüğün ölçütü belli değildir.

Kümeler genellikle büyük harflerle, elemanları küçük harflerle ya da sayılarla gösterilir. x nesnesi A kümesinin elemanıysa x ∈ A, değilse x ∉ A yazılır. A = {1, 3, 5, 7, 9} için 5 ∈ A ve 4 ∉ A'dır.

Bir kümenin elemanı başka bir küme de olabilir. B = {1, {2, 3}, 4} kümesinin üç elemanı vardır: 1, {2, 3} ve 4. Burada 2, B'nin elemanı değildir; {2, 3} ise B'nin bir elemanıdır. Süslü parantezin içindeki bir küme, dışarıdan bakınca tek bir eleman gibi sayılır.

Kümeyi yazmanın üç yolu

Liste yönteminde elemanlar süslü parantez içinde virgülle ayrılarak tek tek yazılır: {1, 3, 5, 7, 9}. Elemanların sırası önemli değildir ve bir eleman bir kez yazılır; {3, 1, 3} kümesi {1, 3} ile aynıdır.

Ortak özellik yönteminde elemanları tanımlayan kural yazılır: {x | x tek doğal sayı ve x < 10}. Dikey çizgi "öyle ki" diye okunur. Bu yöntem, elemanı çok olan ya da sonsuz olan kümeler için özellikle kullanışlıdır.

Venn şemasında küme kapalı bir eğriyle çizilir ve elemanlar eğrinin içine noktalarla yerleştirilir. Bu gösterim, sonraki derslerde kümeler arasındaki ilişkileri görmenin en kısa yolu olacaktır.

Eleman sayısı

A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir. Liste yöntemiyle verilmiş bir kümede eleman sayısını bulmak, tekrar eden elemanları bir kez sayarak saymaktır. Bir kelimenin harflerinden oluşan kümede tekrar eden harfler yalnızca bir kez sayılır: KİTAP kelimesinin harfler kümesinin 5 elemanı vardır, ama tekrar eden harfi olan bir kelimede eleman sayısı harf sayısından azdır.

Ortak özellikle verilen kümelerde önce kural incelenir. {x | x ∈ ℤ, −2 ≤ x ≤ 2} kümesi −2, −1, 0, 1 ve 2'den oluşur ve 5 elemanlıdır. Eşitsizliğin eşit içerip içermediği, uçtaki sayıların sayılıp sayılmayacağını belirler. Bir kuralla üretilen kümelerde, 3k + 1 gibi, k'nın aldığı değerler sayılır; her k değeri farklı bir eleman veriyorsa eleman sayısı k'nın değer sayısıdır.

Doğal sayılar kümesinin 0 ile başladığını unutmamak gerekir. ℕ = {0, 1, 2, 3, …} ve ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} olarak alınır. Sorudaki küme doğal sayılarda tanımlıysa 0'ın kurala uyup uymadığı ayrıca denetlenmelidir.

Boş küme

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ∅ ya da { } ile gösterilir. {x | x ∈ ℕ, x + 3 = 1} kümesi boştur, çünkü bu denklemin doğal sayı çözümü yoktur. s(∅) = 0'dır.

Boş küme ile {∅} karıştırılmamalıdır. {∅}, elemanı boş küme olan bir kümedir; bir elemanı vardır. Benzer biçimde {0} de boş değildir; elemanı 0 sayısıdır.

Sonlu ve sonsuz küme

Elemanları sayılarak bitirilebilen kümeye sonlu küme, bitirilemeyen kümeye sonsuz küme denir. 100'den küçük asal sayılar sonlu bir küme oluşturur; çift doğal sayılar ise sonsuzdur. Boş küme sonlu bir küme sayılır.

Eşit küme ve denk küme

Aynı elemanlardan oluşan kümeler eşittir: {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Eşitlik, elemanların sırasına ya da kaç kez yazıldığına bakmaz. İki kümenin eşit olduğu biliniyorsa elemanları birbirine eşleştirilerek bilinmeyenler bulunabilir.

Eleman sayıları aynı olan kümelere ise denk küme denir ve A ≡ B ile gösterilir. {1, 2, 3} ile {a, b, c} denktir ama eşit değildir. Her eşit küme denktir; her denk küme eşit değildir.

Eleman saymanın düzeni

Ortak özellikle verilmiş bir kümenin eleman sayısını bulurken üç adımlı bir düzen izlemek hataları azaltır. Önce elemanların hangi sayı kümesinden seçildiğine bakılır: doğal sayılar, tam sayılar ya da gerçek sayılar. İkinci olarak koşul sadeleştirilir; bir eşitsizlik ya da mutlak değer varsa önceki ünitelerde öğrendiğin yöntemlerle bir aralığa çevrilir. Üçüncü olarak bu aralıktaki uygun sayılar sayılır. Aralığın uç noktalarının dahil olup olmadığı, kesin eşitsizlikle eşit içeren eşitsizlik arasındaki farkta saklıdır ve en çok hata bu son adımda yapılır.

Bir kuralla üretilen kümelerde ise aynı elemanın iki farklı yoldan üretilip üretilmediği denetlenmelidir. Bir kesrin pay ve paydası farklı sayılardan seçilse bile, 2/2 ile 3/3 gibi, aynı değeri verebilir. Bu durumda eleman sayısı, kuralın uygulandığı durum sayısından azdır.

Neden kümelerle başlıyoruz?

Kümeler, matematiğin ortak dilidir. Bir denklemin çözüm kümesi, bir fonksiyonun tanım kümesi, bir olayın örnek uzayı aynı kavramın farklı adlarıdır. Önceki ünitede "çözüm kümesi boştur" ya da "ℝ'dir" derken bu dili zaten kullandık. Bu ünitede kavramları açıkça tanımlıyor, ardından alt küme, kümeler arasındaki işlemler ve Venn şemasıyla çözülen problemlere geçiyoruz. Ünitenin ikinci yarısı ise önermeler ve bağlaçlarla mantığa ayrılmıştır; kümelerdeki birleşim ve kesişim, mantıktaki "veya" ile "ve" bağlaçlarıyla birebir örtüşür.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir topluluğun küme belirtip belirtmediğini, elemanlık ilişkisini, ortak özellikle ya da kelime harfleriyle verilen kümelerin eleman sayısını, boş kümeyi, eşit kümelerde bilinmeyenleri ve denk kümeleri ister.

Örnek 1 — Ortak özellik

Soru: A = {x | x ∈ ℕ, 4 ≤ x < 11} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 6
• B) 8
• C) 7
• D) 10
• E) 11

Çözüm: 4'ten 10'a kadar yedi doğal sayı vardır; 11 dahil değildir. Cevap: C.

Örnek 2 — Küme olan elemanlar

Soru: A = {1, {1}, ∅, {∅}} kümesinin eleman sayısı kaçtır?

• A) 3
• B) 6
• C) 2
• D) 4
• E) 5

Çözüm: 1, {1}, ∅ ve {∅} dört farklı elemandır. Cevap: D.

Örnek 3 — Harfler kümesi

Soru: İSTANBUL kelimesinin harflerinden oluşan kümenin eleman sayısı kaçtır?

• A) 7
• B) 8
• C) 9
• D) 12
• E) 6

Çözüm: İ, S, T, A, N, B, U, L harflerinin hiçbiri tekrar etmez. Cevap: B.

Örnek 4 — Eşit kümeler

Soru: {a + 2, 9} = {5, b} olduğuna göre a + b kaçtır?

• A) 14
• B) 7
• C) 15
• D) 18
• E) 12

Çözüm: 9, 5'e eşit olamaz; bu yüzden a + 2 = 5 ve b = 9 olmalıdır. a = 3 ve a + b = 12. Cevap: E.

• Ölçütü belirsiz toplulukları küme saymak. "Güzel", "büyük", "çalışkan" gibi sözler küme belirtmez.
• Küme olan elemanın içini saymak. {1, {2, 3}} kümesinin iki elemanı vardır.
• ∅ ile {∅}'yi karıştırmak. Birinin elemanı yoktur, ötekinin bir elemanı vardır.
• Tekrar eden elemanı iki kez saymak. Bir küme aynı elemanı bir kez içerir.
• ℕ'de 0'ı unutmak. Doğal sayılar 0'dan başlar.