Grafik ve tablo problemleri

Bir sütun grafiğinde B sütunu A sütununun iki katı yüksekliğinde görünüyor. B'nin değeri A'nınkinin iki katı mıdır? Grafiğin dikey ekseni sıfırdan değil de 100'den başlıyorsa, 125 ve 150 değerleri 25 ve 50 birimlik sütunlarla çizilir. Göz iki kat görür, gerçek fark yüzde 20'dir. Yeni nesil problemlerde veri çoğu zaman bir tablo ya da grafikle gelir. Bu sorular yeni bir matematik istemez; yüzde, oran, ortalama ve hız bilgisini bir görselden doğru okumayı ister. Bu derste bir grafiği okumadan önce neye bakacağını, daire grafiğinde açıyı yüzdeye çevirmeyi, çizgi ve yol-zaman grafiklerinden değişimi okumayı ve tablodan denklem kurmayı öğreneceğiz.

• Bir grafikte başlık, eksen, birim ve ölçeği okuyarak veriyi doğru sayılara çevirirsin.
• Tablo ve sütun grafiğinden pay, fark ve yüzde değişim hesaplarsın.
• Daire grafiğinde merkez açıyı yüzdeye ve miktara, çizgi ve yol-zaman grafiklerinde değişimi hıza ve artışa çevirirsin.
• Grafikte eksik bırakılan bir değeri ortalama ya da toplam bilgisiyle bulursun.

Okumadan önce dört soru

Bir grafiğe ya da tabloya bakınca hesaba başlamadan önce dört şeyi kontrol et:

1. Başlık: Grafik neyi gösteriyor? Satış mı, gelir mi, kişi sayısı mı?
2. Eksenler ve birim: Dikey eksen lira mı, bin lira mı, yüzde mi? Yatay eksen ay mı, yıl mı?
3. Ölçek: Eksen sıfırdan mı başlıyor? Bir kare bir birimi mi, beş birimi mi gösteriyor?
4. Lejant (açıklama): Birden çok renk ya da çizgi varsa hangisi hangi grubu gösteriyor?

Bu dört sorunun cevabı çoğu zaman sorunun yarısıdır. "Bin kişi" birimini atlayan öğrenci doğru hesabı yapsa bile bin kat küçük bir cevap bulur. Eksenin sıfırdan başlamadığını gözden kaçıran öğrenci ise kancadaki gibi farkları abartır.

Tablodan pay ve değişim

Tablolar sayıları doğrudan verir; iş, doğru satırı ve sütunu seçmektir. Bir şirketin üç şubesinin yıllık satışları:

Toplam 750 bin adettir. C şubesinin payı 330 / 750 = 0,44, yani yüzde 44'tür. A'nın B'den fazlası 60 bin adettir; bu fark B'ye göre 60 / 180, yani yaklaşık yüzde 33'tür. Yüzde dersindeki kural burada da geçerlidir: fazlalık yüzdesi her zaman karşılaştırılan (eski ya da referans) değere bölünür.

İki satırlı ve iki sütunlu tablolarda soru, hangi toplamın bütün alındığını belirler. "B sınıfındaki kızlar tüm kızların yüzde kaçıdır?" sorusunda bütün, iki sınıftaki kızların toplamıdır; B sınıfının kendi mevcudu değildir.

Sütun ve çizgi grafiği

Sütun grafiği, farklı gruplardaki ya da dönemlerdeki değerleri karşılaştırır. Çizgi grafiği ise bir değerin zamanla nasıl değiştiğini gösterir. İki grafikte de sorulan çoğu zaman şunlardır: en büyük/en küçük değer, iki dönem arasındaki fark, yüzde değişim ve en büyük artışın hangi aralıkta olduğu.

En büyük artış sorusunda çizginin en dik yükseldiği aralığa bak; yani ardışık iki değer arasındaki farkın en büyük olduğu aralık. Sıcaklıklar 12, 15, 11, 18, 16 ise artışlar +3, −4, +7, −2'dir; en büyük artış üçüncü ile dördüncü gün arasındadır.

"En büyük artış" ile "en büyük yüzde artış" farklı sorular olabilir. 10'dan 20'ye çıkış 10 birimlik ama yüzde 100'lük bir artıştır; 100'den 130'a çıkış 30 birimlik ama yüzde 30'luk bir artıştır. Soru hangisini istiyor, kökten dikkatle oku; iki soru aynı grafikte farklı aralıkları gösterebilir.

Daire grafiği: açı ve yüzde

Daire grafiğinde bütün 360 derecedir. Her dilimin payı, merkez açısının 360'a oranıdır:

pay = merkez açı / 360

Aylık 3600 liralık bir bütçede kira dilimi 120° ise kira 3600 · 120 / 360 = 1200 liradır. Tersine, yüzde 15'lik bir dilimin açısı 360 · 0,15 = 54°'dir. Bir dilimin açısı verilmemişse, öteki açıların toplamını 360'tan çıkararak bulursun.

İki farklı daire grafiği karşılaştırılırken dikkat: açılar yalnızca paylardır. 2023'te 2400 liralık bütçenin 90°'lik eğitim dilimi 600 liradır; 2024'te 3000 liralık bütçenin 108°'lik dilimi 900 liradır. Eğitim harcaması yüzde 50 artmıştır; açılara bakıp yüzde 20 artış demek, bütçenin kendisinin büyüdüğünü unutmaktır.

Yol-zaman grafiği

Yatay ekseni zaman, dikey ekseni yol olan bir grafikte:

• Çizginin eğimi hızdır: 2 saatte 120 km yükselen parçada hız 60 km/saattir.
• Yatay bir parça, aracın durduğunu gösterir; zaman geçer, yol değişmez.
• İki aracın çizgilerinin kesiştiği nokta, aynı anda aynı yerde oldukları, yani karşılaştıkları ya da yetiştikleri andır.

Ortalama hız sorularında duraklama süresi toplam süreye dahildir. İlk 2 saatte 120 km, sonra 1 saat mola, sonra 2 saatte 180 km giden aracın ortalama hızı 300 / 5 = 60 km/saattir; molayı atlayıp 300 / 4 = 75 bulmak yanlıştır.

Eksik değeri bulmak

Grafikte bir değer silinmiş ya da x ile gösterilmişse, verilen toplam ya da ortalama onu bulmaya yeter. Beş günlük satışlar 40, 55, x, 60, 45 ve ortalama 50 ise toplam 250'dir; 40 + 55 + 60 + 45 = 200 olduğundan x = 50'dir. Bir değer çıkarıldığında ortalamanın değişmesi de aynı yolla çözülür: 6 günün ortalaması 50 (toplam 300), bir gün çıkarılınca kalan 5 günün ortalaması 48 (toplam 240) ise çıkarılan gün 60'tır.

Soru kökleri

Grafik ve tablo soruları çoğunlukla "… yüzde kaçıdır?", "en büyük artış hangi aralıktadır?", "… kaç liradır?" ve "grafiğe göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?" kökleriyle gelir. Son kökte her seçeneği grafikten sayıyla sına; yorum içeren seçeneklerde grafiğin söylemediği bir genelleme olup olmadığına bak. Örneğin bir grafik yalnızca üç yılın satışını gösteriyorsa "satışlar her yıl artmaktadır" demek, grafiğin dışındaki yıllar hakkında bir iddiada bulunmaktır. Bir seçenek ancak grafikteki sayılarla doğrulanabiliyorsa doğrudur; grafik ne o seçeneği ne de karşıtını gösteriyorsa, o seçenek grafiğe göre kesin olarak söylenemez.

Örnek 1 — Tablodan yüzde

Soru: Bir kırtasiyenin defter satışları Ocak'ta 120, Şubat'ta 150, Mart'ta 100 adettir. Şubat satışları Mart satışlarından yüzde kaç fazladır?

• A) 25
• B) 33,3
• C) 50
• D) 60
• E) 150

Çözüm: Fark 150 − 100 = 50 adettir. Fazlalık, karşılaştırılan değer olan Mart satışına bölünür: 50 / 100 = yüzde 50. B, farkı Şubat'a bölen hesaptır; E ise Şubat'ın Mart'a oranıdır. Cevap: C.

Örnek 2 — Daire grafiği

Soru: Bir öğrencinin aylık 3600 liralık bütçesini gösteren daire grafiğinde kiraya ayrılan dilimin merkez açısı 120°'dir. Öğrenci kiraya kaç lira ayırmaktadır?

• A) 900
• B) 1080
• C) 1200
• D) 1440
• E) 1800

Çözüm: Kiranın payı 120 / 360 = 1/3'tür. 3600'ün üçte biri 1200 liradır. E, 180°'lik bir dilime karşılık gelir; açıyı yanlış okumanın sonucudur. Cevap: C.

Örnek 3 — Yol-zaman grafiği

Soru: Bir aracın yol-zaman grafiğine göre araç ilk 2 saatte 120 km yol almış, sonraki 1 saat durmuş, sonraki 2 saatte 180 km daha yol almıştır. Aracın bu 5 saatlik yolculuktaki ortalama hızı kaç km/saattir?

• A) 50
• B) 60
• C) 75
• D) 80
• E) 100

Çözüm: Toplam yol 300 km, toplam süre molayla birlikte 5 saattir; ortalama hız 300 / 5 = 60 km/saat. C, durulan saati süreye katmayan hesaptır. Cevap: B.

Örnek 4 — Eksik değer

Soru: Bir mağazanın beş günlük satış grafiğinde değerler sırasıyla 40, 55, x, 60 ve 45 adettir. Beş günlük ortalama satış 50 adet olduğuna göre x kaçtır?

• A) 45
• B) 50
• C) 55
• D) 60
• E) 250

Çözüm: Ortalama 50 ise beş günün toplamı 250'dir. Verilen dört değerin toplamı 200 olduğu için x = 50'dir. E, toplamı cevap sanan hesaptır. Cevap: B.

• Birimi atlamak. "Bin lira", "yüzde" ya da "bin kişi" birimleri cevabı değiştirir.
• Sıfırdan başlamayan eksene aldanmak. Sütun yükseklikleri değil, eksendeki değerler karşılaştırılır.
• Yanlış bütünü seçmek. Pay sorusunda bütünün hangi toplam olduğunu kökten oku.
• Daire grafiğinde açıları miktar sanmak. Açı yalnızca paydır; farklı bütçelerde miktarı ayrıca hesapla.
• Ortalama hızda molayı atlamak. Yatay parça süreye dahildir.
• "En büyük artış" ile "en büyük yüzde artış"ı karıştırmak. Biri farka, öteki orana bakar.