İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Problemler · MAT-M09-L12

Karışım problemleri

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

40 kilogramlık, yüzde 30 tuzlu bir suyu yüzde 20 tuzlu hâle getirmek için kaç kilogram su eklemen gerekir? Sezgi 10 yüzde puanlık düşüşe bakıp "biraz su" der, ama cevabı bulmak için tek bir şeyi izlemen yeter: tuzun miktarı. Su eklemek tuzu değiştirmez; karışımda başta 12 kilogram tuz vardır ve sonda da 12 kilogram tuz olacaktır. 12 kilogram tuzun yüzde 20'lik bir karışım oluşturması için toplamın 60 kilogram olması gerekir; eklenen su 20 kilogramdır. Karışım problemlerinin anahtarı budur: saf madde miktarı korunur. Bu derste bu korunumu su ekleme, buharlaştırma, iki karışımı birleştirme ve karışımdan alıp yerine su koyma durumlarında kullanmayı öğreneceğiz.

2Hedefler

  • Karışım oranını saf madde miktarının toplam miktara bölümü olarak hesaplar, saf madde miktarının hangi işlemlerde korunduğunu belirlersin.
  • İki karışım birleşince saf maddeleri ve toplamları ayrı ayrı toplayarak yeni oranı bulursun.
  • Su ekleme, su buharlaştırma ve saf madde ekleme durumlarında eklenecek ya da çıkarılacak miktarı hesaplarsın.
  • Ağırlıklı ortalama (terazi) düşüncesiyle karıştırılacak miktarların oranını bulursun.

3Konu anlatımı

Karışım oranı

Bir karışımdaki saf maddenin (tuz, şeker, alkol, saf altın) oranı:

karışım oranı = saf madde miktarı / karışımın toplam miktarı

50 kilogram tuzlu suda 8 kilogram tuz varsa oran 8 / 50 = yüzde 16'dır. Tersine, yüzde 25 şekerli 80 kilogram şerbette 80 · 0,25 = 20 kilogram şeker, 60 kilogram su vardır. Soru saf maddeyi mi, suyu mu, toplamı mı istiyor, ayrıca dikkat et.

Altın alaşımları da bir karışım gibi okunur. Ayar, 24 parçadan kaçının saf altın olduğunu söyler: 22 ayar altın, kütlesinin 22/24'ü saf altın olan alaşımdır. 48 gramlık 22 ayar bir bilezikte 44 gram saf altın vardır.

Korunum ilkesi

Karışım problemlerinin çoğu, hangi miktarın değişmediğini fark edince çözülür:

  • Su eklenirse saf madde sabit kalır, toplam artar, oran düşer.
  • Su buharlaşırsa saf madde sabit kalır, toplam azalır, oran yükselir.
  • Saf madde eklenirse hem saf madde hem toplam aynı miktarda artar.
  • İki karışım birleşirse saf maddeler toplanır, toplamlar toplanır.

Her durumda önce saf madde miktarını yaz, sonra toplamı, en son oranı. Oranları doğrudan toplamak ya da çıkarmak neredeyse her zaman yanlış sonuç verir.

Su eklemek ve buharlaştırmak

Kancadaki soru bu kalıbın örneğidir: yüzde 30'luk 40 kilogram tuzlu suda 12 kilogram tuz vardır. Hedef oran yüzde 20 ise toplam 12 / 0,2 = 60 kilogram olmalı, eklenecek su 20 kilogramdır.

Buharlaştırma aynı yolun tersidir. Yüzde 10'luk 60 kilogram tuzlu suda 6 kilogram tuz vardır. Oranın yüzde 15'e çıkması için toplam 6 / 0,15 = 40 kilogram olmalı, 20 kilogram su buharlaşmalıdır.

Pratik kural: su ekleme ya da buharlaştırma sorularında yeni toplam = saf madde / hedef oran. Eklenen ya da çıkan su, yeni toplamla eski toplamın farkıdır.

Saf madde eklemek

Saf madde eklendiğinde payda da büyür. Yüzde 10'luk 40 kilogram tuzlu suya x kilogram tuz eklenince oran yüzde 20 oluyorsa:

(4 + x) / (40 + x) = 0,2 → 4 + x = 8 + 0,2x → 0,8x = 4 → x = 5.

Payı artırıp paydayı eski bırakmak (4 + x = 8) x = 4 verir ve yanlıştır; eklenen tuz karışımın kütlesini de artırır.

İki karışımı birleştirmek

Yüzde 20'lik 30 kilogram tuzlu su ile yüzde 40'lık 20 kilogram tuzlu su karıştırılıyor. Tuzlar: 6 + 8 = 14 kilogram. Toplam: 50 kilogram. Yeni oran 14 / 50 = yüzde 28'dir.

Yeni oran her zaman iki eski oranın arasındadır ve miktarı fazla olan karışımın oranına daha yakındır. Burada yüzde 20'lik karışım daha çok olduğu için sonuç, iki oranın ortası olan yüzde 30'un altındadır. Oranların aritmetik ortalamasını almak yalnızca iki karışımın miktarları eşitken doğru sonuç verir.

Terazi: karıştırılacak miktarların oranı

Hedef oran verilip miktarlar sorulduğunda ağırlıklı ortalamanın kısa yolu kullanılır. Yüzde 20'lik ve yüzde 50'lik karışımlardan yüzde 30'luk karışım yapılacaksa:

  • Hedefin yüzde 20'ye uzaklığı 10, yüzde 50'ye uzaklığı 20'dir.
  • Miktarlar uzaklıklarla ters orantılıdır: yüzde 20'likten 2 pay, yüzde 50'likten 1 pay alınır.

60 kilogramlık karışım için yüzde 20'likten 40, yüzde 50'likten 20 kilogram gerekir. Sağlama: 8 + 10 = 18 kilogram tuz, 18 / 60 = yüzde 30.

Kural neden işler? Karışımı bir terazi gibi düşün. Hedef oran desteğin durduğu noktadır; iki karışım, desteğin iki yanındaki kollara asılı ağırlıklardır. Terazinin dengede kalması için uzun koldaki ağırlığın az, kısa koldaki ağırlığın çok olması gerekir. Hedefe uzak olan karışımın her kilogramı hedeften daha çok sapar, bu yüzden ondan daha az kullanılır. Denklemle kurulsa da aynı sonuç çıkar: yüzde 20'likten x, yüzde 50'likten y kilogram alınırsa 0,2x + 0,5y = 0,3(x + y) eşitliği 0,1x = 0,2y, yani x = 2y verir.

Bu yol, saf su (yüzde 0) ya da saf madde (yüzde 100) ile karıştırmada da işler. Aynı düşünce fiyat karışımlarında da geçerlidir: kilogramı 40 lira olan 30 kilogram kahve ile kilogramı 60 lira olan 20 kilogram kahvenin karışımının kilogramı (1200 + 1200) / 50 = 48 liradır.

Karışımdan alıp yerine su koymak

Bir karışımdan bir miktar alındığında, alınan kısım karışımla aynı orandadır; saf maddenin de o oranda bir payını götürür. Yüzde 30'luk 60 kilogram tuzlu sudan 20 kilogram alınıp yerine 20 kilogram su konulursa: alınan 20 kilogramda 6 kilogram tuz vardır; tuz 18 − 6 = 12 kilograma, oran 12 / 60 = yüzde 20'ye düşer.

İşlem tekrarlanırsa her seferinde tuz aynı oranda azalır. 50 kilogramın 10 kilogramı her alındığında tuzun beşte biri gider ve tuz 0,8 ile çarpılır; iki işlemden sonra tuz başlangıcın 0,8 · 0,8 = 0,64 katıdır.

Soru kökleri

Karışım soruları çoğunlukla "yeni karışımın oranı yüzde kaçtır?", "kaç kilogram su eklenmelidir?", "kaç kilogram su buharlaşmalıdır?" ve "her birinden kaç kilogram alınmalıdır?" kökleriyle gelir. Her soruda önce saf madde miktarını yaz; soru ne olursa olsun, çözüm onunla başlar.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — İki karışım

Soru: %20 tuzlu 30 kg su ile %40 tuzlu 20 kg su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

  • A) 24
  • B) 28
  • C) 30
  • D) 32
  • E) 60

Çözüm: Tuz miktarları 6 ve 8 kilogramdır; toplam tuz 14, toplam karışım 50 kilogram. Oran 14 / 50 = yüzde 28'dir. C, oranların aritmetik ortalamasıdır; E ise oranları toplayan hesaptır. Cevap: B.

Örnek 2 — Su eklemek

Soru: %30 tuzlu 40 kg suya kaç kg su eklenirse karışımın tuz oranı %20 olur?

  • A) 10
  • B) 15
  • C) 20
  • D) 30
  • E) 60

Çözüm: Tuz 40 · 0,3 = 12 kilogramdır ve değişmez. Yeni toplam 12 / 0,2 = 60 kilogram olmalıdır; eklenecek su 60 − 40 = 20 kilogramdır. E, yeni toplamı cevap sanan hesaptır. Cevap: C.

Örnek 3 — Terazi

Soru: %20 ve %50 tuzlu iki sudan karıştırılarak %30 tuzlu 60 kg su elde ediliyor. %50 tuzlu sudan kaç kg kullanılmıştır?

  • A) 15
  • B) 20
  • C) 24
  • D) 30
  • E) 40

Çözüm: Hedefin yüzde 20'ye uzaklığı 10, yüzde 50'ye uzaklığı 20'dir. Miktarlar ters orantılı: yüzde 20'likten 2 pay, yüzde 50'likten 1 pay. 3 pay 60 kilogram, bir pay 20 kilogramdır. E, yüzde 20'lik sudan kullanılan miktardır. Cevap: B.

Örnek 4 — Buharlaştırma

Soru: %10 tuzlu 60 kg sudan kaç kg su buharlaştırılırsa karışımın tuz oranı %15 olur?

  • A) 10
  • B) 15
  • C) 20
  • D) 25
  • E) 30

Çözüm: Tuz 6 kilogramdır ve buharlaşmayla değişmez. Yeni toplam 6 / 0,15 = 40 kilogram olmalıdır; 60 − 40 = 20 kilogram su buharlaşmalıdır. Cevap: C.

5Tuzaklar

  • Oranları doğrudan toplamak ya da ortalamasını almak. Önce saf madde miktarlarını ve toplamları ayrı ayrı topla.
  • Su eklerken saf maddeyi değiştirmek. Su ekleme ve buharlaştırmada saf madde sabittir.
  • Saf madde eklerken paydayı unutmak. Eklenen tuz toplamı da artırır.
  • Yeni toplamı eklenen su sanmak. Eklenen su, yeni toplam ile eski toplamın farkıdır.
  • Terazide miktarları uzaklıklarla doğru orantılı almak. Hedefe yakın olan karışımdan daha çok alınır.
  • Karışımdan alınan kısmın saf madde götürdüğünü unutmak. Alınan kısım karışımla aynı oranda madde taşır.

6Tekrar kartı

  • Oran = saf madde / toplam; ayar = saf altın / 24.
  • Su ekleme ve buharlaştırma: saf madde sabit, yeni toplam = saf madde / hedef oran.
  • Saf madde ekleme: pay ve payda birlikte artar.
  • İki karışım: saf maddeleri topla, toplamları topla, böl.
  • Terazi: miktarlar, hedefe olan uzaklıklarla ters orantılıdır.
  • Karışımdan alıp su koymak: saf madde (1 − alınan pay) ile çarpılır.
  • Fiyat karışımı da aynı ağırlıklı ortalamadır.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    50 kg tuzlu suda 8 kg tuz vardır. Bu karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)8
    2. B)12
    3. C)14
    4. D)15
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Oran 8 / 50 = 0,16, yani yüzde 16'dır.

  2. Soru 2 · Kolay

    %25 şekerli 80 kg şerbette kaç kg şeker vardır?

    1. A)15
    2. B)20
    3. C)25
    4. D)55
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Şeker 80 · 0,25 = 20 kilogramdır; E, şerbetteki su miktarıdır.

  3. Soru 3 · Kolay

    %10 tuzlu 40 kg suya 10 kg su ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)5
    2. B)8
    3. C)10
    4. D)12
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Tuz 4 kilogram, yeni toplam 50 kilogramdır; oran 4 / 50 = yüzde 8.

  4. Soru 4 · Kolay

    48 gramlık 22 ayar bir altın bilezikte kaç gram saf altın vardır?

    1. A)4
    2. B)22
    3. C)40
    4. D)44
    5. E)46
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 22 ayar, kütlenin 22/24'ünün saf altın olduğunu söyler: 48 · 22 / 24 = 44 gram. A, saf olmayan kısımdır.

  5. Soru 5 · Orta

    %15 tuzlu 40 kg su ile %30 tuzlu 60 kg su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)24
    2. B)25
    3. C)27
    4. D)30
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Tuz 6 + 18 = 24 kilogram, toplam 100 kilogramdır; oran yüzde 24. E, oranları toplayan hesaptır.

  6. Soru 6 · Orta

    %40 şekerli 30 kg şerbete kaç kg su eklenirse şeker oranı %25 olur?

    1. A)10
    2. B)12
    3. C)15
    4. D)16
    5. E)18
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Şeker 12 kilogramdır; yeni toplam 12 / 0,25 = 48 kilogram olmalı, eklenecek su 18 kilogramdır.

  7. Soru 7 · Orta

    %10 tuzlu 40 kg suya kaç kg tuz eklenirse tuz oranı %20 olur?

    1. A)4
    2. B)5
    3. C)6
    4. D)8
    5. E)10
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. (4 + x) / (40 + x) = 0,2 denkleminden 0,8x = 4 ve x = 5 bulunur. A, paydayı artırmayı unutan hesaptır.

  8. Soru 8 · Orta

    %20 tuzlu 90 kg sudan 30 kg su buharlaşıyor. Kalan karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)25
    2. B)27
    3. C)30
    4. D)33
    5. E)40
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Tuz 18 kilogramdır ve değişmez; yeni toplam 60 kilogram, oran 18 / 60 = yüzde 30.

  9. Soru 9 · Orta

    %10 ve %40 tuzlu iki sudan karıştırılarak %20 tuzlu 90 kg su elde ediliyor. %10 tuzlu sudan kaç kg kullanılmıştır?

    1. A)30
    2. B)45
    3. C)50
    4. D)60
    5. E)70
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Hedefin uzaklıkları 10 ve 20'dir; miktarlar ters orantılı olarak 2 : 1'dir. 90 kilogramın 2/3'ü olan 60 kilogram yüzde 10'luktandır.

  10. Soru 10 · Orta

    Kilogramı 40 lira olan 30 kg kahve ile kilogramı 60 lira olan 20 kg kahve karıştırılıyor. Karışımın kilogramı kaç liradır?

    1. A)48
    2. B)50
    3. C)52
    4. D)54
    5. E)100
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Toplam değer 1200 + 1200 = 2400 lira, toplam 50 kilogramdır; kilogram fiyatı 48 liradır. B, fiyatların aritmetik ortalamasıdır.

  11. Soru 11 · Orta

    %30 tuzlu 60 kg sudan 20 kg alınıyor ve yerine 20 kg su konuluyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)15
    2. B)20
    3. C)22,5
    4. D)25
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Alınan 20 kilogram 6 kilogram tuz götürür; kalan 12 kilogram tuz 60 kilogram karışımda yüzde 20 eder.

  12. Soru 12 · Zor

    A ve B tuzlu sularından A'dan 2 kg ile B'den 3 kg karıştırılınca %32, A'dan 3 kg ile B'den 2 kg karıştırılınca %28 tuzlu su elde ediliyor. B'nin tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)20
    2. B)30
    3. C)35
    4. D)40
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 2a + 3b = 160 ve 3a + 2b = 140 olur; toplayınca a + b = 60, çıkarınca b − a = 20 bulunur. a = 20, b = 40.

  13. Soru 13 · Zor

    %20 tuzlu 40 kg su ile %50 tuzlu x kg su karıştırılıyor ve karışıma 10 kg su ekleniyor. Son karışımın tuz oranı %30 olduğuna göre x kaçtır?

    1. A)35
    2. B)40
    3. C)45
    4. D)50
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. (8 + 0,5x) / (50 + x) = 0,3 denkleminden 0,2x = 7 ve x = 35 bulunur.

  14. Soru 14 · Zor

    Saf su ile %60 tuzlu su karıştırılarak %45 tuzlu 120 kg su elde ediliyor. Kaç kg saf su kullanılmıştır?

    1. A)20
    2. B)24
    3. C)25
    4. D)28
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Hedefin yüzde 0'a uzaklığı 45, yüzde 60'a uzaklığı 15'tir; saf su ile tuzlu su 1 : 3 oranında alınır. 120 kilogramın dörtte biri 30 kilogramdır.

  15. Soru 15 · Zor

    %25 tuzlu 80 kg sudan 20 kg su buharlaştırılıyor, ardından karışıma 20 kg tuz ekleniyor. Son karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)35
    2. B)40
    3. C)45
    4. D)50
    5. E)55
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Tuz 20 kilogramdır; buharlaşmadan sonra toplam 60 kilogram olur. 20 kilogram tuz eklenince tuz 40, toplam 80 kilogramdır; oran yüzde 50.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Grafik ve tablo problemleri» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    %12 tuzlu 50 kg suda kaç kg su vardır?

    1. A)38
    2. B)40
    3. C)42
    4. D)44
    5. E)48
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Tuz 50 · 0,12 = 6 kilogramdır; su 50 − 6 = 44 kilogramdır.

  2. Soru 2 · Orta

    %30 tuzlu 20 kg su ile %10 tuzlu 30 kg su karıştırılıyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)15
    2. B)18
    3. C)20
    4. D)22
    5. E)40
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Tuz 6 + 3 = 9 kilogram, toplam 50 kilogramdır; oran 9 / 50 = yüzde 18. C, oranların aritmetik ortalamasıdır.

  3. Soru 3 · Zor

    %45 şekerli 40 kg şerbete kaç kg su eklenirse şeker oranı %30 olur?

    1. A)10
    2. B)15
    3. C)20
    4. D)25
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Şeker 18 kilogramdır; yeni toplam 18 / 0,3 = 60 kilogram olmalı, eklenecek su 20 kilogramdır. E yeni toplamdır.

  4. Soru 4 · Zor

    %15 ve %35 tuzlu iki sudan karıştırılarak %20 tuzlu 100 kg su elde ediliyor. %35 tuzlu sudan kaç kg kullanılmıştır?

    1. A)20
    2. B)25
    3. C)30
    4. D)50
    5. E)75
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Uzaklıklar 5 ve 15 olduğu için miktarlar 3 : 1 oranındadır; 100 kilogramın dörtte biri 25 kilogramdır. E, yüzde 15'lik sudan kullanılan miktardır.

  5. Soru 5 · Zor

    %40 tuzlu 50 kg sudan 10 kg alınıp yerine 10 kg su konuluyor; aynı işlem bir kez daha tekrarlanıyor. Son karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

    1. A)24
    2. B)25
    3. C)25,6
    4. D)28
    5. E)32
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Her işlemde tuzun beşte biri gider: 20 · 0,8 · 0,8 = 12,8 kilogram tuz kalır ve oran 12,8 / 50 = yüzde 25,6 olur. E, işlemi bir kez yapan hesaptır.

M09 — Problemler

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.