Faiz problemleri

Bankaya yatırılan 10 000 lira, yıllık yüzde 10 faizle iki yıl sonra kaç lira olur? Basit faizle her yıl 1000 lira eklenir ve para 12 000 lira olur. Bileşik faizde ise ikinci yılın faizi, ilk yılın faiziyle büyümüş paraya uygulanır: 11 000'in yüzde 10'u 1100 liradır ve para 12 100 lira olur. Aradaki 100 lira, faizin de faiz kazanmasıdır. Faiz problemleri, yüzde dersinde öğrendiğin çarpan düşüncesinin zamanla birleşmiş hâlidir. Bu derste basit faiz formülünü süre birimlerine göre kullanmayı, anaparayı ya da oranı geri bulmayı ve bileşik faizle basit faizi ayırmayı öğreneceğiz.

• Basit faizi anapara, yıllık oran ve süreden hesaplar; süre ay ya da gün olduğunda formülü uyarlarsın.
• Faiz, oran ya da süre bilinmeyen olduğunda formülü tersinden kullanır, vade sonundaki toplam paradan anaparayı bulursun.
• Bileşik faizi yıllık çarpanlarla hesaplar ve aynı oranda basit faizle karşılaştırırsın.
• Paranın farklı oranlarla bölündüğü ve iki süre için toplamın verildiği problemleri kurarsın.

Temel kavramlar

Anapara, faize yatırılan başlangıç tutarıdır. Faiz oranı, anaparanın bir yılda yüzde kaç büyüyeceğini söyler ve aksi belirtilmedikçe yıllıktır. Faiz, sürenin sonunda anaparaya eklenen tutardır. Vade sonunda eldeki para anapara ile faizin toplamıdır. Sorular bazen faizi, bazen toplam parayı sorar; ikisini karıştırmamak ilk dikkat noktasıdır.

Basit faiz

Basit faizde her yıl yalnızca anaparaya faiz işler; önceki yılların faizi yeniden faiz kazanmaz. Bu yüzden faiz, süreyle doğru orantılı büyür:

Faiz = A · n · t / 100

Burada A anapara, n yıllık faiz oranı (yüzde olarak), t yıl cinsinden süredir. 5000 liralık anapara yıllık yüzde 20 basit faizle 3 yılda 5000 · 20 · 3 / 100 = 3000 lira faiz getirir; vade sonunda eldeki para 8000 liradır. Basit faizde her yılın faizi aynıdır: bu örnekte her yıl 1000 lira eklenir ve hesaptaki para 6000, 7000, 8000 diye eşit adımlarla büyür. Bileşik faizde ise adımlar her yıl biraz daha uzar.

Süre yıl olarak verilmemişse paydayı değiştir:

• Süre ay ise: Faiz = A · n · t / 1200 (bir yıl 12 aydır).
• Süre gün ise: Faiz = A · n · t / 36 000 (faiz hesaplarında bir yıl 360 gün kabul edilir).

12 000 liralık anapara yıllık yüzde 15 ile 8 ayda 12 000 · 15 · 8 / 1200 = 1200 lira faiz getirir. 7200 lira yıllık yüzde 20 ile 90 günde 7200 · 20 · 90 / 36 000 = 360 lira faiz getirir. Ayı yıl gibi kullanmak, faizi on iki kat büyütür; bu yüzden ilk iş süre birimine bakmaktır.

Formülü tersinden kullanmak

Faiz formülünde dört çokluk vardır; üçü verilince dördüncüsü bulunur.

• Oran: 6000 liralık anapara 2 yılda 1800 lira faiz getirmişse n = 1800 · 100 / (6000 · 2) = 15, yani yüzde 15.
• Anapara: yıllık yüzde 12 ile 3 yılda 900 lira faiz getiren anapara A = 900 · 100 / (12 · 3) = 2500 liradır.
• Süre: Bir paranın iki katına çıkması, faizin anaparaya eşit olması demektir. Yüzde 25 ile A · 25 · t / 100 = A eşitliğinden t = 4 yıl bulunur. Üç katına çıkması için faizin anaparanın iki katı olması gerekir; yüzde 20 ile bu 10 yıl sürer.

Vade sonundaki paradan anaparaya

Soru bazen yalnızca vade sonundaki toplam parayı verir. Basit faizde toplam para, anaparanın (1 + n · t / 100) katıdır. Yıllık yüzde 20 ile 3 yıl sonra 8000 lira olan para için çarpan 1 + 0,6 = 1,6'dır ve anapara 8000 / 1,6 = 5000 liradır. Toplamdan faizi çıkarmaya çalışmak (8000'in yüzde 60'ını düşmek) yanlıştır; çünkü faiz toplamın değil, anaparanın yüzdesidir.

İki farklı süre için toplamlar verildiğinde farkları kullan. Bir para 2 yılda 6000, 6 yılda 8000 lira oluyorsa aradaki 4 yılda 2000 lira faiz işlemiştir; yıllık faiz 500 liradır. 2 yılın faizi 1000 lira olduğuna göre anapara 5000 lira, oran 500 / 5000 = yüzde 10'dur.

Bileşik faiz

Bileşik faizde her yılın sonunda faiz anaparaya eklenir ve bir sonraki yıl faiz bu büyümüş tutara işler. Yüzde dersindeki ardışık artışın aynısıdır:

Vade sonundaki para = A · (1 + n/100)ᵗ

10 000 lira yüzde 10 bileşik faizle 2 yılda 10 000 · 1,1² = 12 100 lira olur. 8000 lira yüzde 50 bileşik faizle 3 yılda 8000 · 1,5³ = 27 000 lira olur.

Bileşik faizde her yılın faizi farklıdır. 5000 lira yüzde 20 bileşik faizle ilk yıl 1000 lira, ikinci yıl 6000'in yüzde 20'si olan 1200 lira faiz getirir. Soru "ikinci yılın faizi" diye soruyorsa ilk yıl sonundaki tutarı kullan.

Aynı oran ve sürede bileşik faiz, basit faizden her zaman fazladır (süre bir yıldan uzunsa). Oranlar farklıysa karşılaştırmayı hesaplayarak yap: 10 000 lira yüzde 15 basit faizle 2 yılda 3000, yüzde 10 bileşik faizle 2 yılda 2100 lira faiz getirir. Burada basit faiz daha kazançlıdır.

Parayı bölmek

Bir miktar para iki farklı orana bölünerek yatırıldığında toplam faiz, iki kısmın faizlerinin toplamıdır. 20 000 liranın bir kısmı yıllık yüzde 10, kalanı yüzde 15 ile yatırılıyor ve bir yılda toplam 2600 lira faiz alınıyor. Yüzde 10'a yatırılan kısım x ise 0,1x + 0,15(20 000 − x) = 2600 denkleminden x = 8000 bulunur; yüzde 15'e 12 000 lira yatırılmıştır.

Faizlerin eşitlendiği sorularda da aynı yol izlenir. A lira yüzde 20 ile 2 yılda, B lira yüzde 15 ile 4 yılda aynı faizi getiriyorsa 0,4A = 0,6B ve A / B = 3 / 2'dir.

Soru kökleri

Faiz soruları çoğunlukla "kaç lira faiz alınır?", "vade sonunda kaç lira olur?", "faiz oranı yüzde kaçtır?", "kaç yılda iki katına çıkar?" ve "anapara kaç liradır?" kökleriyle gelir. Her soruda üç şeye bak: faiz basit mi bileşik mi, süre yıl mı ay mı gün mü, sorulan faiz mi toplam mı?

Örnek 1 — Basit faiz

Soru: 5000 lira yıllık %20 basit faizle 3 yıl süreyle bankaya yatırılıyor. Bu süre sonunda alınacak faiz kaç liradır?

• A) 1000
• B) 2000
• C) 3000
• D) 6000
• E) 8000

Çözüm: Faiz = 5000 · 20 · 3 / 100 = 3000 liradır. E, vade sonundaki toplam paradır; A ise yalnızca bir yılın faizidir. Cevap: C.

Örnek 2 — Süre ay olarak

Soru: 12 000 lira yıllık %15 basit faizle 8 ay süreyle yatırılıyor. Alınacak faiz kaç liradır?

• A) 900
• B) 1200
• C) 1440
• D) 1800
• E) 14 400

Çözüm: Süre ay olduğu için payda 1200'dür: 12 000 · 15 · 8 / 1200 = 1200 lira. E, ayı yıl gibi kullanan hesaptır; D ise bir yılın faizidir. Cevap: B.

Örnek 3 — İki katına çıkma

Soru: Yıllık %25 basit faizle bankaya yatırılan bir para kaç yılda iki katına çıkar?

• A) 2
• B) 3
• C) 4
• D) 5
• E) 25

Çözüm: Paranın iki katına çıkması için faizin anaparaya eşit olması gerekir: A · 25 · t / 100 = A eşitliğinden t = 4 yıl. Cevap: C.

Örnek 4 — Bileşik faiz

Soru: 10 000 lira yıllık %10 bileşik faizle 2 yıl süreyle yatırılıyor. Süre sonunda hesapta kaç lira olur?

• A) 12 000
• B) 12 100
• C) 12 200
• D) 12 210
• E) 13 310

Çözüm: Her yıl para 1,1 ile çarpılır: 10 000 · 1,1 · 1,1 = 12 100 lira. A, basit faiz sonucudur; E ise 3 yıllık bileşik faizin sonucudur. Cevap: B.

• Faiz ile toplam parayı karıştırmak. Soru faizi mi, vade sonundaki toplamı mı istiyor?
• Süre birimini gözden kaçırmak. Ay için payda 1200, gün için 36 000'dir.
• Toplamdan anaparaya giderken yüzde çıkarmak. Anapara = toplam ÷ (1 + n · t / 100).
• Bileşik faizi basit faiz gibi hesaplamak. Bileşik faizde çarpanlar çarpılır: (1 + n/100)ᵗ.
• İkinci yılın bileşik faizini anaparadan hesaplamak. İkinci yılın faizi, ilk yıl sonundaki tutara işler.
• "İki katına çıkma"yı faizin iki kat olması sanmak. İki katına çıkan paranın faizi anaparaya eşittir.