Kâr-zarar problemleri

Bir tüccar iki malı 120'şer liraya satıyor: birinde %20 kâr, ötekinde %20 zarar ediyor. Sonuçta ne kâr ne zarar etmiş gibi görünür, ama etmiştir: %20 kârla 120'ye satılan malın maliyeti 100, %20 zararla 120'ye satılan malın maliyeti 150 liradır. 250 liralık maliyetle 240 liralık satış yapılmış, 10 lira zarar edilmiştir. Kâr-zarar problemlerinin tek kuralı budur: kâr ve zarar yüzdeleri satış fiyatına değil, maliyete göre hesaplanır. Bu derste maliyetten satışa ve satıştan maliyete geçmeyi, etiket fiyatı ile indirimi birlikte hesaplamayı ve malın parçalarının farklı oranlarla satıldığı durumları öğreneceğiz.

• Kâr ve zarar yüzdesini maliyet üzerinden hesaplar, satış fiyatını maliyetin bir çarpanı olarak yazarsın.
• Satış fiyatı ve kâr yüzdesi verildiğinde maliyeti, kâr miktarı verildiğinde maliyeti bulursun.
• Etiket fiyatı, indirim ve kârı tek bir çarpan zinciriyle birleştirirsin.
• Aynı fiyata satılan iki mal ve farklı oranlarla satılan parçalar için toplam kâr ya da zararı hesaplarsın.

Temel kavramlar

Maliyet (alış fiyatı), bir malın satıcıya mal olduğu tutardır. Satış fiyatı, malın satıldığı tutardır. Aradaki fark kârı ya da zararı verir:

• kâr = satış − maliyet (satış > maliyet)
• zarar = maliyet − satış (satış < maliyet)

Kâr ve zarar yüzdeleri maliyete göre hesaplanır: kâr yüzdesi = kâr / maliyet · 100. 80 liraya alınıp 100 liraya satılan malda kâr 20 lira, kâr yüzdesi 20 / 80 = %25'tir. 20 / 100 = %20 yazmak, yüzdeyi yanlış bütüne bölmektir.

Neden maliyet?

Kârın maliyete göre ölçülmesinin mantığı basittir: satıcı parasını maliyete yatırır ve yatırdığı paranın ne kadar büyüdüğünü merak eder. 80 lira yatırıp 100 lira geri alan satıcının parası dörtte bir oranında büyümüştür. Satış fiyatı ise işin sonunda ortaya çıkan bir sayıdır ve yatırımın ölçüsü olamaz. Bu yüzden soru kâr oranını söylediğinde, aksi belirtilmedikçe, o oranın maliyete uygulandığını düşün. Zarar da aynı biçimde okunur: zarar oranı, yatırılan paranın ne kadarının kaybedildiğini gösterir.

Bu bakış bir tutarlılık denetimi de sağlar. Kâr ettiğin bir satışta satış fiyatı maliyetten büyük, zarar ettiğin bir satışta küçük olmalıdır. Bulduğun maliyet satış fiyatından büyükse ve soru kâr diyorsa, kurulumda bir yanlışlık vardır.

Satış fiyatı bir çarpandır

Yüzde dersindeki çarpan düşüncesi burada doğrudan işler:

• %k kârla satış: satış = maliyet · (1 + k/100). %20 kâr → ×1,2.
• %z zararla satış: satış = maliyet · (1 − z/100). %15 zarar → ×0,85.

250 liralık mal %20 kârla 250 · 1,2 = 300 liraya, 400 liralık mal %15 zararla 400 · 0,85 = 340 liraya satılır.

Satıştan maliyete

Satış fiyatı ve kâr yüzdesi verildiğinde maliyet, satışı çarpana bölerek bulunur. "%25 kârla 300 liraya satılan malın maliyeti?" 300 / 1,25 = 240 liradır. 300'ün %25'ini çıkarmak (225) yanlıştır; kâr 240'ın %25'idir, 300'ün değil.

Kâr miktarı verildiğinde maliyeti bulmak daha da kısadır. "%25 kârla satılan bir maldan 40 lira kâr ediliyor." 40 lira maliyetin %25'idir; maliyet 40 / 0,25 = 160 liradır.

Bir kâr oranından ötekine geçmek için önce maliyete dön: "360 liraya satılınca %20 kâr eden mal, %10 kârla kaça satılır?" Maliyet 360 / 1,2 = 300; %10 kârla satış 330 liradır.

Satışa göre verilen kâr

Bazen soru kârı bilerek satış fiyatına göre verir: "Tüccar sattığı malın satış fiyatının %20'si kadar kâr ediyor." Bu durumda satışı 100 al: kâr 20, maliyet 80 olur. Maliyete göre kâr yüzdesi 20 / 80 = %25'tir. Soru hangi bütüne göre sorduğunu açıkça söylemiyorsa kâr yüzdesi maliyete göredir.

Etiket fiyatı ve indirim

Satıcı çoğu zaman malın üzerine maliyetten yüksek bir etiket fiyatı yazar, sonra indirim yapar. Çarpanlar art arda uygulanır:

satış = maliyet · (etiket çarpanı) · (indirim çarpanı)

Etiket maliyetin %50 fazlası, indirim %20 ise satış = maliyet · 1,5 · 0,8 = maliyet · 1,2; satıcı %20 kâr eder. Etiket %40 fazla, indirim %25 ise 1,4 · 0,75 = 1,05; %5 kâr kalır.

Soru tersten de sorulabilir: "%20 indirimle %20 kâr edilmesi için etiket maliyetin yüzde kaç fazlası olmalı?" e · 0,8 = 1,2 eşitliğinden e = 1,5; etiket %50 fazla olmalıdır.

Aynı fiyata satılan iki mal

Kancadaki durum ayrı bir kalıptır: iki mal aynı fiyata, biri kârla biri zararla satılıyor. Maliyetleri ayrı ayrı bul, toplam maliyeti toplam satışla karşılaştır. 120'şer liraya %20 kâr ve %20 zararla satılan mallar için maliyetler 100 ve 150, toplam 250; satış 240; zarar 10 lira, yani toplam maliyetin %4'ü.

Eşit oranda kâr ve zarar, aynı satış fiyatında her zaman toplam zarara yol açar. Bunun nedeni, zararla satılan malın maliyetinin daha büyük olması ve zarar yüzdesinin bu büyük maliyete uygulanmasıdır. Genel olarak aynı satış fiyatında yüzde k kâr ve yüzde k zararın toplam zarar oranı k²/100 yüzdedir: k = 20 için yüzde 4, k = 10 için yüzde 1 eder.

Parçaları farklı oranlarla satmak

Bir malın bir kısmı kârla, kalanı zararla satıldığında toplam kâr, parçaların maliyete göre ağırlıklı toplamıdır. Malın yarısı %30 kârla, yarısı %10 zararla satılırsa: 1/2 · 30 − 1/2 · 10 = %10 kâr. Malın 2/3'ü %30 kârla, 1/3'ü %15 zararla satılırsa: 2/3 · 30 − 1/3 · 15 = 20 − 5 = %15 kâr.

Adetle verilen sorularda maliyeti birim fiyat olarak al. 60 adet maldan 40'ı %25 kârla, 20'si %10 zararla satılıyor ve toplam kâr 160 lira ise birim maliyet c için 40 · 0,25c − 20 · 0,1c = 8c = 160, c = 20 lira.

Birim fiyatla verilen alışlarda önce bir tanenin maliyetini bul: 12 tanesi 60 liraya alınan kalemin tanesi 5 liradır; 6 liradan satılırsa her kalemde %20 kâr edilir.

Soru kökleri

Kâr-zarar soruları çoğunlukla "kaç liraya satılmalıdır?", "malın maliyeti kaç liradır?", "yüzde kaç kâr/zarar edilmiştir?" ve "etiket fiyatı maliyetin yüzde kaç fazlasıdır?" kökleriyle gelir. Her soruda önce maliyeti 100 al ya da bilinmeyen yap; bütün yüzdeler ona göre okunur.

Örnek 1 — Maliyetten satışa

Soru: 250 liraya alınan bir mal %20 kârla kaç liraya satılır?

• A) 270
• B) 280
• C) 300
• D) 320
• E) 350

Çözüm: Satış = maliyet · 1,2 = 250 · 1,2 = 300 liradır. Kâr 50 liradır; A, kârı 20 lira sanan hesaptır. Cevap: C.

Örnek 2 — Satıştan maliyete

Soru: %25 kârla 300 liraya satılan bir malın maliyeti kaç liradır?

• A) 225
• B) 240
• C) 250
• D) 275
• E) 375

Çözüm: Satış, maliyetin 1,25 katıdır: maliyet 300 / 1,25 = 240 liradır. A, 300'ün %25'ini çıkaran hesaptır; oysa kâr maliyetin %25'idir. Cevap: B.

Örnek 3 — Etiket ve indirim

Soru: Bir satıcı malın etiket fiyatını maliyetin %50 fazlası olarak belirliyor ve etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yaparak satıyor. Satıcının kâr yüzdesi kaçtır?

• A) 10
• B) 20
• C) 25
• D) 30
• E) 70

Çözüm: Maliyeti 100 al: etiket 150, indirimli satış 150 · 0,8 = 120. Kâr 20 lira, kâr yüzdesi %20'dir. D, yüzdeleri çıkaran (50 − 20) hesaptır. Cevap: B.

Örnek 4 — Aynı fiyata iki mal

Soru: Bir tüccar iki malın her birini 120 liraya satıyor. Birinden %20 kâr, ötekinden %20 zarar ediyor. Tüccarın bu iki satıştaki toplam durumu aşağıdakilerden hangisidir?

• A) %4 kâr
• B) Ne kâr ne zarar
• C) %4 zarar
• D) %10 zarar
• E) %20 zarar

Çözüm: Maliyetler 120 / 1,2 = 100 ve 120 / 0,8 = 150 liradır; toplam 250. Satış toplamı 240'tır. Zarar 10 lira, maliyete göre 10 / 250 = %4'tür. B, iki oranın eşit olmasına bakıp sonucu sıfır sayan cevaptır. Cevap: C.

• Kâr yüzdesini satışa göre hesaplamak. Kâr ve zarar yüzdeleri maliyete göredir.
• Satıştan maliyete giderken yüzdeyi çıkarmak. Maliyet = satış ÷ çarpan; 300'ün %25'i değil, 300 / 1,25.
• Etiket ve indirim yüzdelerini çıkarmak. %50 fazla etiket ve %20 indirim %30 değil, 1,5 · 0,8 = 1,2 yani %20 kâr verir.
• Eşit kâr ve zararın birbirini götürdüğünü sanmak. Aynı satış fiyatında toplam zarar oluşur.
• Parçalı satışta yüzdeleri doğrudan toplamak. Her yüzdeyi kendi payıyla çarpıp topla.
• Kâr miktarı ile kâr yüzdesini karıştırmak. Soru lira mı, yüzde mi istiyor?