Yüzde problemleri

Bir ürünün fiyatı önce %20 artırılıyor, sonra %20 indiriliyor. Ürün eski fiyatına döner mi? Dönmez: 100 liralık ürün önce 120, sonra 120'nin %20'si olan 24 lira düşülerek 96 lira olur. İkinci yüzde, ilk değişimden sonraki fiyata uygulanır; iki yüzde aynı bütüne ait değildir. Yüzde problemlerinin çoğu bu tek soruyla çözülür: bu yüzde neyin yüzdesi? Bu derste yüzdeyi bir çarpan olarak görmeyi, ardışık değişimleri çarparak birleştirmeyi, eski değeri yeni değerden geri bulmayı ve yüzde ile yüzde puanı ayırmayı öğreneceğiz.

• Bir sayının yüzdesini, yüzdesi verilen sayıyı ve iki sayı arasındaki yüzde değişimi hesaplarsın.
• Artış ve azalışı çarpan olarak yazar, ardışık yüzde değişimleri çarparak birleştirirsin.
• Değişimden sonraki değerden eski değeri bulur, karşılaştırmada referans değerin değiştiğini hesaba katarsın.
• Grup içindeki alt grupların yüzdelerini bütüne göre ifade eder, yüzde ile yüzde puanı ayırt edersin.

Yüzde bir kesirdir

%p, p/100 demektir. Bir sayının %p'si, o sayının p/100 ile çarpımıdır: 250'nin %12'si 250 · 12/100 = 30'dur. Tersine, bir sayının %15'i 45 ise sayı 45 / 0,15 = 300'dür. Parça düşüncesi de işler: %15 bir parçaysa %100 bunun 100/15 katıdır.

Sık kullanılan yüzdeleri kesir olarak bilmek hesabı hızlandırır: %25 = 1/4, %20 = 1/5, %50 = 1/2, %75 = 3/4, %12,5 = 1/8, %40 = 2/5.

Yüzde değişim

Bir değer eskiden yeniye değiştiğinde:

yüzde değişim = (yeni − eski) / eski · 100

80'den 100'e çıkan bir değer 20 artmıştır; bu artış eski değerin 20 / 80 = %25'idir. Paydada her zaman eski değer vardır. 100'den 80'e düşen bir değer ise 20 / 100 = %20 azalmıştır. Aynı 20 birimlik fark, referans değer değiştiği için farklı yüzdelere karşılık gelir.

Yüzdeyi çarpan olarak yazmak

Artış ve azalışı bir çarpan olarak yazmak, yüzde problemlerinin en güçlü aracıdır:

• %p artış: yeni = eski · (1 + p/100). %20 artış → ×1,2.
• %p azalış: yeni = eski · (1 − p/100). %15 indirim → ×0,85.

400 liralık bir ürün %15 indirimle 400 · 0,85 = 340 liraya satılır. İndirim tutarı 60 liradır; soru indirimli fiyatı istiyorsa 60 cevap değildir.

Ardışık değişimler çarpılır

Art arda gelen yüzde değişimlerde her yüzde, bir önceki değişimden sonra ulaşılan değere uygulanır. Bu yüzden çarpanlar toplanmaz, çarpılır:

• %20 artış, sonra %20 azalış: 1,2 · 0,8 = 0,96 → %4 azalış.
• %10 artış, sonra yine %10 artış: 1,1 · 1,1 = 1,21 → %21 artış.
• %30 azalış, sonra %20 artış: 0,7 · 1,2 = 0,84 → %16 azalış.
• %20 indirim, sonra %25 indirim: 0,8 · 0,75 = 0,6 → toplam %40 indirim, %45 değil.

Eşit oranda artış ve azalış hangi sırayla yapılırsa yapılsın sonuç her zaman bir kayıptır: 1,4 · 0,6 = 0,84, yani %40 artış ve %40 azalış %16 kayba yol açar.

Çarpanlar sıradan bağımsızdır: önce indirim, sonra zam da aynı sonucu verir. Soruda yalnızca sıra değiştirilmişse cevap değişmez.

Eski değeri geri bulmak

Değişimden sonraki değer biliniyorsa eski değer, çarpana bölerek bulunur. "%25 indirimle 360 liraya satılan ürünün indirimsiz fiyatı?" 360 / 0,75 = 480 lira. 360'a 360'ın %25'ini eklemek (450) yanlıştır; çünkü indirim 480'in %25'idir, 360'ın değil.

Aynı düşünce ardışık değişimlerde de işler: iki indirimden sonra 240 liraya düşen fiyat 240 / 0,6 = 400 liradır. "Maaş %25 artırıldıktan sonra yüzde kaç azaltılırsa eski maaşa dönülür?" 1,25 · (1 − k) = 1 denkleminden k = 0,2, yani %20.

Karşılaştırmada referans

"A, B'den %25 fazladır" cümlesinde referans B'dir: A = 1,25B. Bu cümleden "B, A'dan %25 eksiktir" sonucu çıkmaz; çünkü ikinci cümlede referans A'dır. B = A / 1,25 = 0,8A, yani B, A'dan %20 eksiktir. Genel kural: A, B'den %p fazlaysa B, A'dan p / (100 + p) oranında eksiktir.

Zincirleme karşılaştırmalar çarpılır: A, B'nin %150'si ve B, C'nin %40'ı ise A = 1,5 · 0,4 · C = 0,6C; A, C'nin %60'ıdır.

Alt grupların yüzdesi

"Bir sınıfın %40'ı kızdır; kızların %25'i gözlüklüdür." Gözlüklü kızlar sınıfın %40 · %25 = %10'udur. Alt grubun yüzdesi, bütüne göre yazılırken iki yüzde çarpılır. Birden çok alt grup varsa bütüne göre yüzdeleri toplanır: erkeklerin (%60) yarısı da gözlüklüyse onlar sınıfın %30'udur ve gözlüklülerin toplamı %40 olur.

Sayı yerine sınıfı 100 kişi almak bu tür soruları somutlaştırır: 40 kız, 10 gözlüklü kız; 60 erkek, 30 gözlüklü erkek.

Ekleme ile değişen oran

Bazen bir gruba yeni üyeler eklenir ve bir oran değişir. "Bir torbadaki bilyelerin yüzde 25'i kırmızıdır; torbaya 15 kırmızı bilye eklenince kırmızıların oranı yüzde 40 oluyor." Başlangıçtaki bilye sayısına x de. Kırmızılar 0,25x iken 0,25x + 15 olur, toplam da x + 15 olur. Yeni oran (0,25x + 15) / (x + 15) = 0,4 denklemini verir. İçler dışlar çarpımıyla 0,25x + 15 = 0,4x + 6, buradan x = 60 bulunur. Sağlama: başta 15 kırmızı, sonra 30 kırmızı ve toplam 75; 30 / 75 gerçekten yüzde 40'tır.

Bu kalıpta dikkat edilecek nokta, eklenen bilyelerin hem kırmızı sayısını hem de toplamı artırmasıdır. Yalnızca payı artırıp paydayı eski bırakmak kurulumu bozar ve oranı olduğundan büyük gösterir.

Yüzde ve yüzde puan

Bir oran %8'den %10'a çıktığında iki farklı şey söylenebilir. Oran 2 yüzde puan artmıştır (10 − 8). Oranın kendisi ise %25 artmıştır (2 / 8). Sorunun hangisini istediğine dikkat et: "yüzde kaç arttı?" %25'i, "kaç puan arttı?" 2'yi ister.

Alan ve çarpım

Birbiriyle çarpılan çoklukların yüzde değişimleri de çarpılır. Dikdörtgenin iki kenarı %20 artarsa alanı 1,2 · 1,2 = 1,44, yani %44 artar. Bir ürünün fiyatı %25 artarken alınan miktar %20 azalırsa harcama 1,25 · 0,8 = 1 ile değişmez.

Soru kökleri

Yüzde soruları çoğunlukla "… yüzde kaçıdır?", "yüzde kaç artmış/azalmıştır?", "indirimsiz fiyatı kaç liradır?" ve "sınıfın yüzde kaçı …?" kökleriyle gelir. Her soruda önce referansı, yani yüzdenin neyin yüzdesi olduğunu belirle.

Örnek 1 — Ardışık artış ve azalış

Soru: Bir ürünün fiyatı önce %20 artırılıyor, ardından yeni fiyat üzerinden %20 indirim yapılıyor. Ürünün son fiyatı ilk fiyatına göre nasıl değişmiştir?

• A) Değişmemiştir.
• B) %4 azalmıştır.
• C) %4 artmıştır.
• D) %2 azalmıştır.
• E) %40 azalmıştır.

Çözüm: Çarpanlar çarpılır: 1,2 · 0,8 = 0,96. Son fiyat ilk fiyatın %96'sıdır; %4 azalmıştır. A, yüzdeleri toplayıp birbirini götürdüğünü sanan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

Örnek 2 — İndirimsiz fiyat

Soru: %25 indirimle 360 liraya satılan bir ürünün indirimsiz fiyatı kaç liradır?

• A) 420
• B) 450
• C) 480
• D) 500
• E) 540

Çözüm: İndirimli fiyat, eski fiyatın 0,75 katıdır: eski fiyat 360 / 0,75 = 480 liradır. B, 360'ın %25'ini ekleyen hesaptır; oysa indirim eski fiyatın %25'idir. Cevap: C.

Örnek 3 — Referans değişince

Soru: A sayısı B sayısından %25 fazladır. B sayısı A sayısından yüzde kaç eksiktir?

• A) 15
• B) 20
• C) 25
• D) 30
• E) 75

Çözüm: B'yi 100 alırsan A = 125 olur. Fark 25'tir; bu fark A'ya göre 25 / 125 = %20'dir. C, referansın değiştiğini gözden kaçıran cevaptır. Cevap: B.

Örnek 4 — Alt grupların toplamı

Soru: Bir sınıftaki öğrencilerin %40'ı kızdır. Kızların %25'i, erkeklerin %50'si gözlüklüdür. Sınıftaki öğrencilerin yüzde kaçı gözlüklüdür?

• A) 30
• B) 35
• C) 37,5
• D) 40
• E) 75

Çözüm: Sınıfı 100 kişi al: 40 kızın 10'u, 60 erkeğin 30'u gözlüklüdür. Gözlüklüler 40 kişidir, yani %40. C, iki yüzdenin (%25 ve %50) ortalamasını alan hesaptır; alt grupların büyüklükleri farklı olduğu için ortalama doğru değildir. Cevap: D.

• Ardışık yüzdeleri toplamak. %20 artış ve %20 azalış birbirini götürmez; çarpanlar çarpılır: 0,96.
• Eski değeri bulurken yeni değerin yüzdesini eklemek. İndirimli fiyattan geri dönmek için çarpana böl.
• Yüzde değişimde paydaya yeni değeri koymak. Payda her zaman eski değerdir.
• Referansı sabit sanmak. A, B'den %25 fazlaysa B, A'dan %20 eksiktir.
• Yüzde ile yüzde puanı karıştırmak. %8'den %10'a çıkış 2 puan, ama %25'lik artıştır.
• Alt grup yüzdelerinin ortalamasını almak. Gruplar farklı büyüklükteyse her birini bütüne göre yazıp topla.