İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Problemler · MAT-M09-L08

Hız problemleri II: ortalama hız, pist, tren

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

Bir sürücü bir şehre saatte 60 km hızla gidiyor, aynı yoldan saatte 40 km hızla dönüyor. Ortalama hızı kaçtır? İlk akla gelen 50 km/saattir ve yanlıştır; doğru cevap 48'dir. Sürücü yavaş dönüşte daha uzun süre geçirir, bu yüzden ortalama yavaş hıza yaklaşır. Ortalama hız, hız problemlerinde tuzağa en açık kavramlardan biridir; bu dersin öteki konuları dairesel pistte koşanlar, tünelden geçen trenler ve akıntıda giden teknelerdir. Bu derste bu dört kalıbın her birinde "yol neresi, süre neresi?" sorusunu doğru cevaplamayı öğreneceğiz.

2Hedefler

  • Ortalama hızı toplam yolun toplam süreye bölümü olarak hesaplar, hızların ortalamasıyla karıştırmazsın.
  • Dairesel pistte zıt yönde karşılaşma ve aynı yönde tur bindirme sürelerini bulursun.
  • Trenin boyunu hesaba katarak direk, köprü, tünel ve iki tren arasındaki geçiş sürelerini hesaplarsın.
  • Akıntının hıza etkisini kullanarak nehir problemlerini ve km/saat ile m/saniye dönüşümünü çözersin.

3Konu anlatımı

Ortalama hız

Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman

Bu tanım, hızların aritmetik ortalamasıyla aynı şey değildir. Sürücü 120 km'lik bir yolu saatte 60 km ile 2 saatte gider, saatte 40 km ile 3 saatte döner. Toplam yol 240 km, toplam zaman 5 saattir; ortalama hız 48 km/saattir.

İki özel durum akılda tutulmaya değer:

  • Eşit yollar, farklı hızlar. Yolun iki eşit parçası v₁ ve v₂ hızlarıyla gidilirse ortalama hız 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) olur. 60 ve 40 için 4800 / 100 = 48. Bu değer, iki hızın aritmetik ortalamasından her zaman küçüktür (hızlar eşit değilse).
  • Eşit süreler, farklı hızlar. Eşit sürelerde v₁ ve v₂ hızlarıyla gidilirse ortalama hız gerçekten (v₁ + v₂) / 2 olur. Hız farkını dengeleyen, iki hızda da aynı süre geçirilmesidir.

Süreler eşit değilse genel tanıma dön: 2 saat 50 km/saat, 3 saat 80 km/saat gidilirse toplam yol 100 + 240 = 340 km, ortalama hız 340 / 5 = 68 km/saattir. Hızların ortalaması olan 65 yanlıştır.

Soru bazen ortalamayı verip bir hızı sorar: gidiş 40, ortalama 48 ise 2 · 40 · v / (40 + v) = 48 denkleminden dönüş hızı v = 60 bulunur.

Yol eşit parçalara bölünmemişse

Yol eşit olmayan parçalara bölündüğünde formül yerine yolu uygun bir sayı olarak seçmek en güvenli yoldur. "Bir sürücü yolun 1/3'ünü saatte 30 km, kalan 2/3'ünü saatte 60 km hızla gidiyor." Paydaları ve hızları bölen bir yol uzunluğu seç: 180 km. İlk 60 km 2 saat, kalan 120 km 2 saat sürer. Toplam 180 km 4 saatte gidilir ve ortalama hız 45 km/saattir. Seçtiğin sayı sonucu değiştirmez, çünkü ortalama hız bir orandır; 360 km seçseydin süreler iki katına çıkar, oran yine 45 olurdu.

Birim dönüşümü: km/saat ve m/saniye

Tren ve pist sorularında hızlar çoğunlukla m/saniye ile verilir. 1 km = 1000 m ve 1 saat = 3600 saniye olduğu için 1 m/saniye = 3,6 km/saat'tir. 72 km/saat = 72 / 3,6 = 20 m/saniye, 54 km/saat = 15 m/saniye. Pratik yol: km/saati 5/18 ile çarp.

Dairesel pist

Uzunluğu L olan dairesel bir pistte aynı noktadan aynı anda çıkan iki koşucuyu düşün.

Zıt yönlerde koşuyorlarsa aralarındaki pist parçasını birlikte kapatırlar; ilk karşılaşma L / (v₁ + v₂) sonra olur. Her yeni karşılaşma için yeniden bir tur kapatılır; n. karşılaşma n · L / (v₁ + v₂) sonradır. 400 m'lik pistte 5 ve 3 m/saniye ile zıt yönde koşanlar 50 saniye sonra karşılaşır.

Aynı yönde koşuyorlarsa hızlı olan, yavaşa bir tur bindirdiğinde yetişir; ilk yetişme L / (v₁ − v₂) sonradır. 600 m'lik pistte 8 ve 5 m/saniye ile koşanlar için 600 / 3 = 200 saniye.

Pist problemi, bir önceki dersteki karşılaşma ve yetişmenin dairesel hâlidir: aradaki uzaklığın yerini pistin uzunluğu alır. Aynı yönde n. yetişme de n tur bindirmek demektir ve n · L / (v₁ − v₂) sonra olur; her yetişmede hızlı koşucu yavaşın bir tur önüne geçer.

Tren: boy da yol demektir

Bir trenin bir noktayı, bir köprüyü ya da tüneli "geçmesi", trenin başının girdiği andan sonunun çıktığı ana kadar sürer. Bu yüzden alınan yol trenin boyunu da içerir:

DurumAlınan yol
Direği (bir noktayı) geçmetren boyu
Köprüyü ya da tüneli tamamen geçmetren boyu + köprü (tünel) boyu
Tünelin içinde tamamen kalma süresitünel boyu − tren boyu
İki tren karşılıklı geçişiiki trenin boyları toplamı (bağıl hız v₁ + v₂)
Bir trenin ötekini sollamasıiki trenin boyları toplamı (bağıl hız v₁ − v₂)

200 m'lik bir tren 600 m'lik bir tüneli 20 m/saniye hızla 800 / 20 = 40 saniyede geçer. Aynı tren tünelin içinde tamamen 400 / 20 = 20 saniye kalır: trenin sonu tünele girdikten, başı tünelden çıkana kadar.

İki trenin geçişinde bağıl hız, önceki dersteki kuralın aynısıdır. 120 m ve 180 m'lik trenler 20 ve 30 m/saniye ile karşılıklı giderken 300 / 50 = 6 saniyede birbirini geçer.

Akıntı

Durgun sudaki hızı v olan bir tekne, hızı a olan bir akıntıda:

  • akıntı yönünde v + a,
  • akıntıya karşı v − a hızla gider.

Motor durgun suda 15 km/saat, akıntı 5 km/saat ise 40 km'lik yolu akıntı yönünde 40 / 20 = 2 saatte, akıntıya karşı 40 / 10 = 4 saatte gider. Gidiş-dönüş 6 saat sürer.

Tersine, iki yöndeki hızlar biliniyorsa durgun su hızı ve akıntı bulunur: akıntı yönünde 20, tersine 12 km/saat gidiliyorsa v + a = 20 ve v − a = 12; v = 16, a = 4. Bu, sayı problemlerindeki toplam-fark kalıbının aynısıdır.

Soru kökleri

Bu türün kökleri "ortalama hızı kaç km/saattir?", "kaç saniye sonra karşılaşırlar/yetişir?", "tüneli kaç saniyede geçer?" ve "akıntının hızı kaçtır?" biçimindedir. Her kalıpta önce yolu doğru tanımla: ortalama hızda toplam yol, pistte tur uzunluğu, trende boylar toplamı, akıntıda bağıl hız.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Gidiş-dönüş ortalaması

Soru: Bir sürücü A şehrinden B şehrine saatte 60 km, aynı yoldan geri dönüşte saatte 40 km hızla gidiyor. Sürücünün gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı kaç km/saattir?

  • A) 45
  • B) 48
  • C) 50
  • D) 52
  • E) 100

Çözüm: Yollar eşit olduğu için ortalama hız 2 · 60 · 40 / (60 + 40) = 48'dir. Yolu 120 km alarak sağlama: gidiş 2 saat, dönüş 3 saat, 240 / 5 = 48. C, hızların aritmetik ortalamasıdır; E ise hızları toplamaktır. Cevap: B.

Örnek 2 — Pistte zıt yön

Soru: 400 m uzunluğundaki dairesel bir pistte aynı noktadan, zıt yönlerde saniyede 5 m ve saniyede 3 m hızla iki koşucu aynı anda koşmaya başlıyor. Kaç saniye sonra ilk kez karşılaşırlar?

  • A) 40
  • B) 50
  • C) 80
  • D) 100
  • E) 200

Çözüm: Zıt yönde koşan koşucular bir turu birlikte kapatır: 400 / (5 + 3) = 50 saniye. E, hızları çıkaran (aynı yön) hesabın sonucudur. Cevap: B.

Örnek 3 — Tüneli geçen tren

Soru: 200 m uzunluğundaki bir tren, saniyede 20 m hızla 600 m uzunluğundaki bir tüneli tamamen kaç saniyede geçer?

  • A) 10
  • B) 20
  • C) 30
  • D) 40
  • E) 50

Çözüm: Tüneli tamamen geçmek için trenin başının tünele girmesinden sonunun çıkmasına kadar 600 + 200 = 800 m yol gerekir; 800 / 20 = 40 saniye. C, trenin boyunu hesaba katmayan hesaptır; B ise trenin tünelin içinde tamamen kaldığı süredir. Cevap: D.

Örnek 4 — Akıntıda gidiş-dönüş

Soru: Durgun sudaki hızı saatte 15 km olan bir motor, akıntının hızı saatte 5 km olan bir nehirde 40 km'lik yolu akıntı yönünde gidip akıntıya karşı dönüyor. Gidiş-dönüş kaç saat sürer?

  • A) 4
  • B) 5
  • C) 5,33
  • D) 6
  • E) 8

Çözüm: Akıntı yönünde hız 20, akıntıya karşı 10 km/saattir. Gidiş 40 / 20 = 2, dönüş 40 / 10 = 4 saat; toplam 6 saat. C, akıntıyı yok sayıp 80 km'yi 15 km/saat ile giden hesaptır. Cevap: D.

5Tuzaklar

  • Ortalama hızı hızların ortalaması sanmak. Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman; eşit yollarda 2v₁v₂/(v₁ + v₂).
  • Eşit süre ile eşit yolu karıştırmak. Aritmetik ortalama yalnızca süreler eşitken doğrudur.
  • Tren boyunu unutmak. Köprü ve tünel geçişinde yol, tren boyu + köprü boyudur.
  • "Tamamen geçme" ile "içinde tamamen kalma"yı karıştırmak. Biri boyları toplar, öteki çıkarır.
  • Pistte yönü karıştırmak. Zıt yönde hızlar toplanır, aynı yönde çıkarılır; yol her durumda bir tur.
  • Birimleri eşitlememek. km/saati m/saniyeye çevirmek için 3,6'ya böl.

6Tekrar kartı

  • Ortalama hız = toplam yol / toplam zaman.
  • Eşit yollar: 2v₁v₂/(v₁ + v₂). Eşit süreler: (v₁ + v₂)/2.
  • 1 m/saniye = 3,6 km/saat.
  • Pist: zıt yön L/(v₁ + v₂), aynı yön L/(v₁ − v₂); n. karşılaşma n katı.
  • Tren: direk → tren boyu; tünel → tren + tünel; içinde kalma → tünel − tren.
  • İki tren: boylar toplamı / bağıl hız.
  • Akıntı: v + a ve v − a; iki yönden v ve a toplam-fark ile bulunur.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    Saatte 72 km hızla giden bir araç saniyede kaç m yol alır?

    1. A)20
    2. B)25
    3. C)36
    4. D)60
    5. E)72
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 72 km/saat, 72 / 3,6 = 20 m/saniyedir.

  2. Soru 2 · Kolay

    Bir araç 2 saat saatte 50 km, sonraki 3 saat saatte 80 km hızla gidiyor. Aracın ortalama hızı kaç km/saattir?

    1. A)60
    2. B)62
    3. C)64
    4. D)65
    5. E)68
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Toplam yol 100 + 240 = 340 km, toplam zaman 5 saattir; 340 / 5 = 68. D, hızların ortalamasıdır.

  3. Soru 3 · Kolay

    150 m uzunluğundaki bir tren, yol kenarındaki bir direği 10 saniyede geçiyor. Trenin hızı kaç m/saniyedir?

    1. A)10
    2. B)12
    3. C)15
    4. D)20
    5. E)25
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Direği geçerken alınan yol trenin boyudur; 150 / 10 = 15 m/saniye.

  4. Soru 4 · Kolay

    Durgun sudaki hızı saatte 12 km olan bir tekne, hızı saatte 3 km olan akıntının yönünde kaç km/saat hızla gider?

    1. A)3
    2. B)9
    3. C)12
    4. D)15
    5. E)36
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Akıntı yönünde hızlar toplanır: 12 + 3 = 15 km/saat. B, akıntıya karşı hızdır.

  5. Soru 5 · Orta

    Bir bisikletli bir yere saatte 30 km, aynı yoldan dönüşte saatte 20 km hızla gidiyor. Gidiş-dönüşteki ortalama hızı kaç km/saattir?

    1. A)22
    2. B)24
    3. C)25
    4. D)26
    5. E)50
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Eşit yollar için 2 · 30 · 20 / 50 = 24'tür. C, hızların aritmetik ortalamasıdır.

  6. Soru 6 · Orta

    600 m uzunluğundaki dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı yönde saniyede 8 m ve saniyede 5 m hızla iki koşucu aynı anda koşmaya başlıyor. Hızlı koşucu yavaş olana kaç saniye sonra ilk kez yetişir?

    1. A)46
    2. B)75
    3. C)120
    4. D)150
    5. E)200
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Aynı yönde hızlı olan bir tur bindirir: 600 / (8 − 5) = 200 saniye.

  7. Soru 7 · Orta

    300 m uzunluğundaki bir tren, saniyede 30 m hızla 900 m uzunluğundaki bir köprüyü tamamen kaç saniyede geçer?

    1. A)10
    2. B)20
    3. C)30
    4. D)40
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Alınan yol 900 + 300 = 1200 m'dir; 1200 / 30 = 40 saniye. C, tren boyunu unutan hesaptır.

  8. Soru 8 · Orta

    120 m ve 180 m uzunluğundaki iki tren, saniyede 20 m ve saniyede 30 m hızla birbirine doğru gidiyor. Trenler karşılaştıktan kaç saniye sonra birbirini tamamen geçer?

    1. A)6
    2. B)10
    3. C)12
    4. D)15
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Boylar toplamı 300 m, bağıl hız 50 m/saniyedir; 300 / 50 = 6 saniye. E, hızları çıkaran hesaptır.

  9. Soru 9 · Orta

    Bir koşucu bir yolun ilk yarısını saatte 30 km, ikinci yarısını saatte 60 km hızla gidiyor. Koşucunun bu yoldaki ortalama hızı kaç km/saattir?

    1. A)40
    2. B)42
    3. C)45
    4. D)48
    5. E)90
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Yollar eşit olduğu için 2 · 30 · 60 / 90 = 40'tır. C, hızların aritmetik ortalamasıdır.

  10. Soru 10 · Orta

    Bir motor 60 km'lik yolu akıntı yönünde 3 saatte, akıntıya karşı 5 saatte gidiyor. Akıntının hızı kaç km/saattir?

    1. A)2
    2. B)4
    3. C)6
    4. D)8
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. v + a = 20 ve v − a = 12 olur; farkın yarısı a = 4 km/saattir. E, durgun su hızıdır.

  11. Soru 11 · Orta

    300 m uzunluğundaki dairesel bir pistte aynı noktadan, zıt yönlerde saniyede 4 m ve saniyede 6 m hızla iki koşucu aynı anda koşmaya başlıyor. Koşucular kaç saniye sonra üçüncü kez karşılaşır?

    1. A)30
    2. B)45
    3. C)60
    4. D)75
    5. E)90
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. İlk karşılaşma 300 / 10 = 30 saniye sonradır; her karşılaşma için yeniden bir tur kapatılır ve üçüncüsü 90 saniye sonra olur.

  12. Soru 12 · Zor

    Bir sürücü bir yere saatte 40 km hızla gidiyor ve aynı yoldan geri dönüyor. Gidiş-dönüşteki ortalama hızı saatte 48 km olduğuna göre dönüşteki hızı kaç km/saattir?

    1. A)52
    2. B)56
    3. C)60
    4. D)64
    5. E)72
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. 2 · 40 · v / (40 + v) = 48 denkleminden 80v = 1920 + 48v ve v = 60 bulunur. B, aritmetik ortalamadan (56) gelen hesaptır.

  13. Soru 13 · Zor

    150 m uzunluğundaki bir tren, saniyede 25 m hızla 750 m uzunluğundaki bir tünelden geçiyor. Tren tünelin içinde tamamen kaç saniye kalır?

    1. A)18
    2. B)24
    3. C)30
    4. D)36
    5. E)42
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Trenin tamamen içeride kaldığı yol 750 − 150 = 600 m'dir; 600 / 25 = 24 saniye. D, tüneli tamamen geçme süresidir.

  14. Soru 14 · Zor

    Aynı yönde, paralel raylarda giden 200 m ve 100 m uzunluğundaki iki trenden uzun olanı saniyede 35 m, kısa olanı saniyede 20 m hızla gidiyor. Uzun tren kısa treni tamamen kaç saniyede geçer?

    1. A)6
    2. B)10
    3. C)15
    4. D)20
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Boylar toplamı 300 m, aynı yönde bağıl hız 15 m/saniyedir; 300 / 15 = 20 saniye.

  15. Soru 15 · Zor

    400 m uzunluğundaki dairesel bir pistte aynı noktadan, aynı yönde iki koşucu aynı anda koşmaya başlıyor. Hızı saniyede 5 m olan koşucu, öteki koşucuya 200 saniye sonra ilk kez yetişiyor. Yavaş koşucunun hızı kaç m/saniyedir?

    1. A)1
    2. B)2
    3. C)2,5
    4. D)3
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Bir tur bindirmek için hız farkı 400 / 200 = 2 m/saniye olmalıdır; yavaş koşucunun hızı 5 − 2 = 3 m/saniyedir. B, hız farkının kendisidir.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Yüzde problemleri» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Saatte 54 km hızla giden bir araç saniyede kaç m yol alır?

    1. A)15
    2. B)18
    3. C)20
    4. D)36
    5. E)54
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 54 km/saat, 54 / 3,6 = 15 m/saniyedir.

  2. Soru 2 · Orta

    Bir sürücü bir şehre saatte 60 km, aynı yoldan dönüşte saatte 90 km hızla gidiyor. Gidiş-dönüşteki ortalama hızı kaç km/saattir?

    1. A)70
    2. B)72
    3. C)75
    4. D)78
    5. E)150
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Eşit yollar için 2 · 60 · 90 / 150 = 72'dir. C, hızların aritmetik ortalamasıdır.

  3. Soru 3 · Zor

    240 m uzunluğundaki bir tren, saniyede 20 m hızla 960 m uzunluğundaki bir tüneli tamamen kaç saniyede geçer?

    1. A)36
    2. B)40
    3. C)48
    4. D)50
    5. E)60
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Alınan yol 960 + 240 = 1200 m'dir; 1200 / 20 = 60 saniye. C, tren boyunu unutan hesaptır; A ise tünelin içinde tamamen kalma süresidir.

  4. Soru 4 · Zor

    Bir motor 36 km'lik yolu akıntı yönünde 2 saatte, akıntıya karşı 3 saatte gidiyor. Motorun durgun sudaki hızı kaç km/saattir?

    1. A)3
    2. B)12
    3. C)15
    4. D)18
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. v + a = 18 ve v − a = 12 olur; toplamın yarısı v = 15 km/saattir. A, akıntının hızıdır.

  5. Soru 5 · Zor

    500 m uzunluğundaki dairesel bir pistte aynı noktadan, zıt yönlerde saniyede 4 m ve saniyede 6 m hızla iki koşucu aynı anda koşmaya başlıyor. Koşucular kaç saniye sonra dördüncü kez karşılaşır?

    1. A)50
    2. B)100
    3. C)150
    4. D)200
    5. E)250
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Her karşılaşma 500 / 10 = 50 saniyede bir olur; dördüncüsü 200 saniye sonradır.

M09 — Problemler

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.