İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Problemler · MAT-M09-L07

Hız problemleri I: karşılaşma ve yetişme

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

İki şehir arası 360 km. Bir araç bir uçtan saatte 70 km, öteki diğer uçtan saatte 50 km hızla aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar? Her saat aralarındaki uzaklık 70 + 50 = 120 km kapanır; 3 saat sonra karşılaşırlar. Aynı iki araç aynı yönde gitseydi, arkadaki öndekine her saat yalnızca 20 km yaklaşırdı. Hız problemlerinin iki temel hareketi budur: birbirine doğru giderken hızlar toplanır, aynı yönde giderken çıkarılır. Bu derste bu iki hareketi, farklı saatlerde yola çıkmayı, karşılaşma noktasını ve karşılaştıktan sonraki süreleri öğreneceğiz.

2Hedefler

  • Yol, hız ve zaman arasındaki bağıntıyı birimleri eşitleyerek kullanırsın.
  • Karşılıklı harekette hızları toplar, aynı yöndeki harekette hızları çıkararak karşılaşma ve yetişme süresini bulursun.
  • Farklı zamanlarda yola çıkan araçlarda önce çıkanın aldığı yolu hesaba katarsın.
  • Karşılaşma noktasını, karşılaşma sonrası süreleri ve ikinci karşılaşmayı çözersin.

3Konu anlatımı

Yol, hız, zaman

Hız problemlerinin temel bağıntısı:

yol = hız × zaman

Bağıntıdan iki kardeşi çıkar: zaman = yol / hız, hız = yol / zaman. Saatte 80 km hızla 3 saat giden araç 240 km yol alır; 150 km'yi saatte 50 km ile giden araç 3 saatte varır.

Birimler aynı olmalıdır. Hız km/saat ile verilmişse süre saat olmalıdır: 20 dakika 1/3 saattir ve saatte 90 km hızla 20 dakikada 30 km gidilir. Süreyi dakika olarak bırakıp 90 · 20 = 1800 yazmak, birimleri karıştırmanın tipik sonucudur.

Karşılaşma: hızlar toplanır

İki araç birbirine doğru giderken aralarındaki uzaklık her saat iki aracın aldığı yolların toplamı kadar azalır. Bu yüzden bağıl hız hızların toplamıdır:

karşılaşma süresi = aradaki uzaklık / (v₁ + v₂)

360 km, 70 ve 50 km/saat: 360 / 120 = 3 saat. Aynı mantık, aynı noktadan zıt yönlere giden araçlar için de geçerlidir; bu kez aralarındaki uzaklık her saat v₁ + v₂ kadar artar. 40 ve 60 km/saat hızla zıt yönlere giden araçlar arasında 2 saat sonra 200 km olur.

Yetişme: hızlar çıkarılır

Aynı yönde giden iki araçtan arkadaki daha hızlıysa, aradaki uzaklık her saat hız farkı kadar kapanır. Bağıl hız hızların farkıdır:

yetişme süresi = aradaki uzaklık / (v_hızlı − v_yavaş)

Aralarında 30 km olan iki araçtan arkadaki 70, öndeki 55 km/saat hızla gidiyorsa arkadaki her saat 15 km yaklaşır ve 2 saatte yetişir. Aynı noktadan aynı yöne çıkan araçlar arasında ise uzaklık hız farkı kadar açılır: 45 ve 60 km/saat ile giden araçlar arasında 3 saat sonra 45 km olur.

Arkadaki yavaşsa hiç yetişemez; soruda "yetişir" deniyorsa arkadaki mutlaka daha hızlıdır.

Farklı zamanlarda yola çıkmak

Araçlardan biri önce yola çıktıysa, ikincisi çıkana kadar geçen sürede aldığı yol hesaba katılmalıdır. Sorunun çözümü iki dönemlidir: önce yalnız ilk araç hareket eder, sonra ikisi birden.

"A saatte 60 km hızla yola çıkıyor. 2 saat sonra aynı noktadan B, saatte 80 km hızla aynı yöne çıkıyor. B kaç saatte yetişir?" B yola çıktığında A 120 km öndedir. Aradaki 120 km, her saat 20 km kapanır: B 6 saatte yetişir.

Karşılıklı harekette de aynı yol izlenir. "Aralarında 300 km olan iki şehirden A saat 8.00'de, B 9.00'da, ikisi de saatte 60 km hızla birbirine doğru çıkıyor." Saat 9.00'da A 60 km yol almıştır, aralarında 240 km kalmıştır. Birlikte saatte 120 km kapatırlar ve 2 saat sonra, 11.00'de karşılaşırlar.

"Kaç saat sonra" sorusunun hangi andan sayıldığına dikkat et: ilk aracın çıkışından mı, ikincisinin çıkışından mı?

Karşılaşma noktası

Karşılaşma anında iki aracın aldığı yolların toplamı aradaki uzaklığa eşittir ve her biri kendi hızıyla orantılı yol almıştır. 450 km'lik yolda 40 ve 50 km/saat hızla karşılıklı çıkan araçlar 5 saat sonra karşılaşır; bu anda birincisi 200 km, ikincisi 250 km almıştır. Karşılaşma noktası birincinin çıktığı yerden 200 km uzaktadır.

Süreyi hiç hesaplamadan da aynı sonuca ulaşabilirsin: hızlar 40 ve 50 olduğu için yol 4 : 5 oranında bölünür ve 450 km'nin 4/9'u 200 km eder. Oran yolu, süre kesirli çıktığında özellikle işe yarar. Aynı sürede alınan yollar hızlarla orantılıdır. Karşılaştıklarında hızlı araç yolun 3/5'ini almışsa hızların oranı 3 : 2'dir.

Karşılaştıktan sonraki süreler

"İki araç karşılıklı yola çıkıyor. Karşılaştıktan sonra A, B'nin çıktığı yere 4 saatte; B, A'nın çıktığı yere 9 saatte varıyor. Karşılaşma yola çıkıştan kaç saat sonra olmuştur?" Karşılaşma t saat sonra olsun. B'nin karşılaşmadan sonra 9 saatte aldığı yolu A karşılaşmadan önce t saatte almıştır; A'nın karşılaşmadan sonra 4 saatte aldığı yolu B t saatte almıştır. Bu iki eşitlik çarpılınca hızlar sadeleşir ve t² = 4 · 9, t = 6 kalır.

Genel kural: karşılaşmadan sonraki süreler t₁ ve t₂ ise karşılaşma süresi √(t₁ · t₂)'dir. Hızların oranı ise √(t₂ / t₁)'dir; bu örnekte A, B'den 3/2 kat hızlıdır.

İkinci karşılaşma

İki araç karşılıklı çıkıp karşılaşır, varacakları yere ulaşınca geri dönerlerse yeniden karşılaşırlar. İlk karşılaşmaya kadar ikisi toplam d yol almıştır; ikinci karşılaşmaya kadar toplam 3d yol alırlar. Hızlar sabit olduğu için her araç ikinci karşılaşmaya kadar ilk karşılaşmaya kadar aldığı yolun 3 katını almıştır.

"İlk karşılaşma A'dan 60 km uzakta, ikinci karşılaşma B'den 40 km uzakta oluyor." A'dan çıkan araç ilk karşılaşmaya kadar 60 km, ikinciye kadar 180 km almıştır. Bu 180 km, A'dan B'ye (d) ve B'den geri 40 km'dir: d + 40 = 180, d = 140 km.

Soru kökleri

Bu türün kökleri "kaç saat sonra karşılaşırlar/yetişir?", "karşılaşma noktası A'dan kaç km uzaktadır?", "saat kaçta karşılaşırlar?" ve "iki şehir arası kaç km'dir?" biçimindedir. Her soruda önce hareketin yönünü belirle: birbirine doğru ya da zıt yönlere ise hızları topla, aynı yöndeyse çıkar.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Karşılaşma

Soru: Aralarında 360 km bulunan iki şehirden saatte 70 km ve saatte 50 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Araçlar kaç saat sonra karşılaşır?

  • A) 2
  • B) 2,5
  • C) 3
  • D) 4
  • E) 6

Çözüm: Birbirine doğru giden araçlar arasındaki uzaklık saatte 70 + 50 = 120 km azalır. 360 / 120 = 3 saat. E, 360'ı iki hızın ortalamasına (60) bölüp iki aracı tek bir araç gibi düşünen hesaptır. Cevap: C.

Örnek 2 — Geç çıkan yetişiyor

Soru: A aracı saatte 60 km hızla yola çıkıyor. 2 saat sonra B aracı aynı noktadan, aynı yönde saatte 80 km hızla yola çıkıyor. B, yola çıktıktan kaç saat sonra A'ya yetişir?

  • A) 3
  • B) 4
  • C) 5
  • D) 6
  • E) 8

Çözüm: B yola çıktığında A 2 · 60 = 120 km öndedir. Aradaki uzaklık her saat 80 − 60 = 20 km kapanır; 120 / 20 = 6 saat. E, sorunun A'nın çıkışından saydığı durumdaki cevaptır. Cevap: D.

Örnek 3 — Karşılaşma noktası

Soru: Aralarında 450 km bulunan A ve B şehirlerinden saatte 40 km ve saatte 50 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaşma noktası A şehrinden kaç km uzaktadır?

  • A) 180
  • B) 200
  • C) 225
  • D) 250
  • E) 270

Çözüm: Karşılaşma 450 / 90 = 5 saat sonra olur. A'dan çıkan araç 40 km/saat hızla 5 saatte 200 km almıştır. D, B'den olan uzaklıktır; C ise yolun yarısıdır ve hızlar farklıyken karşılaşma ortada olmaz. Cevap: B.

Örnek 4 — Karşılaştıktan sonraki süreler

Soru: A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaştıktan sonra A'dan çıkan araç B'ye 4 saatte, B'den çıkan araç A'ya 9 saatte varıyor. Araçlar yola çıktıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

  • A) 5
  • B) 6
  • C) 6,5
  • D) 13
  • E) 36

Çözüm: Karşılaşma t saat sonra olsun. B'nin karşılaşmadan sonra aldığı yolu A t saatte almıştır, A'nın karşılaşmadan sonra aldığı yolu B t saatte almıştır. Bu iki eşitlik çarpılınca t² = 4 · 9 = 36 ve t = 6 bulunur. C, iki sürenin ortalamasıdır. Cevap: B.

5Tuzaklar

  • Karşılaşmada hızları çıkarmak. Birbirine doğru ya da zıt yöne giderken hızlar toplanır.
  • Yetişmede hızları toplamak. Aynı yönde bağıl hız, hız farkıdır.
  • Önce çıkanın aldığı yolu unutmak. İkinci araç çıkana kadar ilki yol almıştır; önce o yolu hesapla.
  • "Kaç saat sonra"yı yanlış andan saymak. Soru ilk çıkıştan mı, ikinci çıkıştan mı sayıyor?
  • Karşılaşmayı yolun ortasında sanmak. Karşılaşma noktası hızlarla orantılı olarak bölünür.
  • Birimleri eşitlememek. Km/saat ile dakika bir arada kullanılmaz; dakikayı saate çevir.

6Tekrar kartı

  • yol = hız × zaman; birimleri önce eşitle.
  • Birbirine doğru ya da zıt yönlere: bağıl hız v₁ + v₂.
  • Aynı yönde: bağıl hız v₁ − v₂; yalnızca arkadaki hızlıysa yetişir.
  • Geç çıkan varsa: önce ilk aracın yalnız aldığı yolu hesapla.
  • Karşılaşma noktası hızlarla orantılı bölünür.
  • Karşılaşmadan sonraki süreler t₁, t₂ ise karşılaşma √(t₁ · t₂) sonra olur.
  • İkinci karşılaşmaya kadar toplam 3d yol alınır; her araç ilk karşılaşmadaki yolunun 3 katını alır.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    Saatte 80 km hızla giden bir araç 3 saatte kaç km yol alır?

    1. A)240
    2. B)260
    3. C)280
    4. D)300
    5. E)320
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Yol = hız × zaman = 80 · 3 = 240 km.

  2. Soru 2 · Kolay

    150 km'lik bir yolu saatte 50 km hızla giden bir araç kaç saatte alır?

    1. A)2
    2. B)3
    3. C)3,5
    4. D)4
    5. E)5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Zaman = yol / hız = 150 / 50 = 3 saat.

  3. Soru 3 · Kolay

    Aynı noktadan zıt yönlere saatte 40 km ve saatte 60 km hızla iki araç aynı anda yola çıkıyor. 2 saat sonra araçlar arasında kaç km olur?

    1. A)40
    2. B)100
    3. C)120
    4. D)200
    5. E)240
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Zıt yönlerde uzaklık saatte 100 km artar; 2 saatte 200 km olur. A, hızları çıkaran hesaptır.

  4. Soru 4 · Kolay

    Saatte 90 km hızla giden bir araç 20 dakikada kaç km yol alır?

    1. A)15
    2. B)18
    3. C)20
    4. D)25
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 20 dakika 1/3 saattir; 90 · 1/3 = 30 km.

  5. Soru 5 · Orta

    Aralarında 420 km bulunan iki şehirden saatte 65 km ve saatte 75 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar?

    1. A)3
    2. B)3,5
    3. C)4
    4. D)5
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Bağıl hız 140 km/saattir; 420 / 140 = 3 saat.

  6. Soru 6 · Orta

    Aynı yolda aynı yönde giden iki araç arasında 30 km vardır. Arkadaki araç saatte 70 km, öndeki saatte 55 km hızla gittiğine göre arkadaki kaç saat sonra öndekine yetişir?

    1. A)0,5
    2. B)1
    3. C)1,5
    4. D)2
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Aradaki uzaklık saatte 15 km kapanır; 30 / 15 = 2 saat.

  7. Soru 7 · Orta

    A aracı saatte 50 km hızla yola çıkıyor. 1 saat sonra B aracı aynı noktadan, aynı yönde saatte 75 km hızla çıkıyor. B, A'ya yetiştiğinde başlangıç noktasından kaç km uzaktadır?

    1. A)75
    2. B)100
    3. C)120
    4. D)125
    5. E)150
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. B çıktığında A 50 km öndedir ve B saatte 25 km yaklaşır; 2 saatte yetişir ve bu sürede 150 km yol alır.

  8. Soru 8 · Orta

    Aralarında 300 km bulunan iki şehirden A aracı saat 8.00'de, B aracı saat 9.00'da, ikisi de saatte 60 km hızla birbirine doğru yola çıkıyor. Araçlar saat kaçta karşılaşır?

    1. A)10.00
    2. B)10.30
    3. C)11.00
    4. D)11.30
    5. E)12.00
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Saat 9.00'da A 60 km almış, 240 km kalmıştır; bağıl hız 120 km/saat olduğu için 2 saat sonra, 11.00'de karşılaşırlar.

  9. Soru 9 · Orta

    Aralarında 500 km bulunan iki şehirden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor ve 4 saat sonra karşılaşıyor. Araçlardan biri diğerinden saatte 15 km hızlı olduğuna göre hızlı aracın hızı kaç km/saattir?

    1. A)55
    2. B)60
    3. C)65
    4. D)70
    5. E)75
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Hızlar toplamı 500 / 4 = 125'tir; v + (v + 15) = 125 ise v = 55 ve hızlı araç 70 km/saattir.

  10. Soru 10 · Orta

    Aynı noktadan aynı yöne saatte 45 km ve saatte 60 km hızla iki araç aynı anda yola çıkıyor. Kaç saat sonra aralarında 45 km olur?

    1. A)2
    2. B)3
    3. C)4
    4. D)5
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Aynı yönde uzaklık saatte 15 km açılır; 45 / 15 = 3 saat.

  11. Soru 11 · Orta

    Aralarında 360 km bulunan A ve B şehirlerinden saatte 50 km ve saatte 70 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor; hızı 50 km olan araç A'dan çıkıyor. Karşılaşma noktası B şehrinden kaç km uzaktadır?

    1. A)150
    2. B)180
    3. C)200
    4. D)210
    5. E)250
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Karşılaşma 3 saat sonra olur; B'den çıkan araç 3 · 70 = 210 km almıştır. A, A'dan olan uzaklıktır.

  12. Soru 12 · Zor

    İki araç A ve B şehirlerinden aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaştıktan sonra A'dan çıkan araç B'ye 16 saatte, B'den çıkan araç A'ya 4 saatte varıyor. Araçlar yola çıktıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

    1. A)6
    2. B)8
    3. C)10
    4. D)12
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Karşılaşma süresi √(16 · 4) = 8 saattir; C, iki sürenin ortalamasıdır.

  13. Soru 13 · Zor

    A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru çıkıyor, varınca geri dönüyor. İlk karşılaşma A'dan 60 km uzakta, ikinci karşılaşma B'den 40 km uzakta oluyor. A ile B arası kaç km'dir?

    1. A)100
    2. B)110
    3. C)120
    4. D)130
    5. E)140
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. A'dan çıkan araç ikinci karşılaşmaya kadar 3 · 60 = 180 km alır; bu yol d + 40'tır ve d = 140 km'dir.

  14. Soru 14 · Zor

    Ali saatte 4 km hızla yürüyerek yola çıkıyor. 30 dakika sonra kardeşi aynı yoldan saatte 12 km hızla bisikletle çıkıyor. Kardeşi, yola çıktıktan kaç dakika sonra Ali'ye yetişir?

    1. A)10
    2. B)15
    3. C)20
    4. D)30
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Kardeş çıktığında Ali 2 km öndedir; aradaki uzaklık saatte 8 km kapanır ve 1/4 saat, yani 15 dakika sürer.

  15. Soru 15 · Zor

    A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor ve 2 saat sonra karşılaşıyor. Karşılaştıklarında hızlı araç yolun 3/5'ini almış; yavaş aracın hızı saatte 60 km'dir. A ile B arası kaç km'dir?

    1. A)300
    2. B)320
    3. C)340
    4. D)360
    5. E)400
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Hızların oranı 3 : 2 olduğu için hızlı araç 90 km/saattir; bağıl hız 150 km/saat, yol 2 · 150 = 300 km'dir.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Hız problemleri II: ortalama hız, pist, tren» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Aralarında 540 km bulunan iki şehirden saatte 80 km ve saatte 100 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Kaç saat sonra karşılaşırlar?

    1. A)2
    2. B)2,5
    3. C)3
    4. D)4
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Bağıl hız 180 km/saattir; 540 / 180 = 3 saat.

  2. Soru 2 · Orta

    A aracı saatte 50 km hızla yola çıkıyor. 3 saat sonra B aracı aynı noktadan, aynı yönde saatte 80 km hızla çıkıyor. B, yola çıktıktan kaç saat sonra A'ya yetişir?

    1. A)5
    2. B)6
    3. C)8
    4. D)10
    5. E)15
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. B çıktığında A 150 km öndedir; aradaki uzaklık saatte 30 km kapanır ve 5 saat sürer. C, A'nın çıkışından sayılan süredir.

  3. Soru 3 · Zor

    İki araç A ve B şehirlerinden aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. Karşılaştıktan sonra A'dan çıkan araç B'ye 9 saatte, B'den çıkan araç A'ya 25 saatte varıyor. Araçlar yola çıktıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır?

    1. A)12
    2. B)15
    3. C)16
    4. D)17
    5. E)34
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Karşılaşma süresi √(9 · 25) = 15 saattir; D, iki sürenin ortalamasıdır.

  4. Soru 4 · Zor

    A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru çıkıyor, varınca geri dönüyor. İlk karşılaşma A'dan 50 km uzakta, ikinci karşılaşma B'den 30 km uzakta oluyor. A ile B arası kaç km'dir?

    1. A)100
    2. B)110
    3. C)120
    4. D)150
    5. E)180
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. A'dan çıkan araç ikinci karşılaşmaya kadar 150 km alır; bu yol d + 30'dur ve d = 120 km'dir.

  5. Soru 5 · Zor

    Aralarında 340 km bulunan A ve B şehirlerinden, A'daki araç saat 12.00'de saatte 40 km hızla, B'deki araç saat 13.00'te saatte 60 km hızla birbirine doğru yola çıkıyor. Araçlar saat kaçta karşılaşır?

    1. A)14.00
    2. B)15.00
    3. C)15.24
    4. D)16.00
    5. E)17.00
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Saat 13.00'te A 40 km almış, 300 km kalmıştır; bağıl hız 100 km/saat olduğu için 3 saat sonra, 16.00'da karşılaşırlar.

M09 — Problemler

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.