İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Problemler · MAT-M09-L06

Havuz problemleri

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

Bir musluk boş havuzu 4 saatte dolduruyor, havuzun dibindeki tahliye ise dolu havuzu 6 saatte boşaltıyor. İkisi birlikte açık kalırsa havuz hiç dolar mı? Dolar, ama 4 saatte değil, 12 saatte. Havuz problemleri işçi problemlerinin bir akrabasıdır: burada da işin tamamı 1'dir ve hızlar toplanır. Tek fark, bazı muslukların işi geri almasıdır; tahliyenin hızı eksi işaretle girer. Bu derste net hızı kurmayı, havuz kısmen doluyken ya da musluklar farklı zamanlarda açıldığında dönemlere bölmeyi, belli bir yükseklikteki deliği ve litreyle verilen soruları öğreneceğiz.

2Hedefler

  • Dolduran musluğun hızını artı, boşaltanın hızını eksi alarak net hızı bulursun.
  • Kısmen dolu havuzlarda yalnızca kalan kesri net hıza bölersin.
  • Muslukların farklı zamanlarda açıldığı ya da kapandığı durumları dönemlere bölerek çözersin.
  • Belli yükseklikteki bir deliğin yalnızca su seviyesi onu geçince çalıştığını hesaba katar, litreyle verilen hızları kullanırsın.

3Konu anlatımı

Net hız

Havuzun tamamı 1 birimdir. Boş havuzu a saatte dolduran musluğun hızı saatte +1/a, dolu havuzu b saatte boşaltan musluğun hızı saatte −1/b'dir. Birlikte açık olan muslukların hızları işaretleriyle toplanır ve net hızı verir:

net hız = 1/a + 1/c + … − 1/b − 1/d − …

Kancadaki örnekte net hız 1/4 − 1/6 = 1/12'dir; boş havuz 12 saatte dolar. Net hız negatif çıkarsa havuz boşalır: dolu bir havuzda 1/6 − 1/4 = −1/12 ile havuz 12 saatte boşalır. Net hız sıfırsa su seviyesi hiç değişmez.

İki dolduran musluk için işçi dersindeki kısa yol aynen geçerlidir: 3 ve 6 saatte dolduran iki musluk birlikte 3 · 6 / 9 = 2 saatte doldurur. Bir doldurucu ve bir boşaltıcı için benzer kısa yol a · b / (b − a)'dır: 4 · 6 / 2 = 12.

Hız cümlelerini okumak

"B musluğu, A'dan 2 kat hızlı doldurur" cümlesi hızlar hakkındadır: A havuzu 12 saatte dolduruyorsa B 6 saatte doldurur. "Tahliye yanlışlıkla açık kalmış" gibi cümleler, sorunun ortasında bir boşaltıcının devreye girdiğini haber verir. Metni okurken her musluğun yanına + ya da − yaz; bu işareti unutmak, kurulumun en kolay bozulduğu yerdir.

Bilinmeyen musluğun süresi

Sorular bazen net sonucu verip bir musluğun kendi süresini sorar. "A musluğu boş havuzu 6 saatte dolduruyor. A ile birlikte B tahliyesi de açık kalınca havuz 15 saatte doluyor. B dolu havuzu tek başına kaç saatte boşaltır?" Net hız 1/15, A'nın hızı 1/6'dır; aradaki fark tahliyenin hızıdır: 1/6 − 1/15 = 1/10. B dolu havuzu 10 saatte boşaltır.

Net hızın işareti de bir bilgi verir. Boşaltıcı, doldurucudan hızlıysa (b < a) boş bir havuz hiç dolmaz; su seviyesi tabandan kalkamaz. Böyle bir soruda "kaç saatte dolar?" sorusunun cevabı bir sayı değil, "dolmaz" olur. Seçeneklerde bu ihtimale yer verilmişse net hızı hesaplamadan önce hangi musluğun daha hızlı olduğuna bak.

Kısmen dolu havuz

Havuz başlangıçta boş değilse doldurulması gereken kısım 1 değil, kalan kesirdir. "Havuzun 1/3'ü doludur. 9 ve 18 saatte dolduran iki musluk birlikte açılıyor." Net hız 1/9 + 1/18 = 1/6'dır; doldurulacak kısım 2/3'tür. Süre (2/3) ÷ (1/6) = 4 saattir.

Genel kural: süre = doldurulacak (ya da boşaltılacak) kesir ÷ net hız.

Dönemlere bölmek

Musluklar farklı zamanlarda açılıp kapanıyorsa süreci dönemlere böl. Her dönemde yapılan iş, o dönemin net hızı ile süresinin çarpımıdır; dönemlerin toplamı istenen kesre eşit olmalıdır.

"A havuzu 12 saatte dolduruyor, B dolu havuzu 8 saatte boşaltıyor. Boş havuza önce A açılıyor, 6 saat sonra B de açılıyor." İlk dönemde 6 saatte 6/12 = 1/2 dolar. İkinci dönemde net hız 1/12 − 1/8 = −1/24'tür; havuz boşalmaya başlar. İçerideki 1/2'lik su (1/2) ÷ (1/24) = 12 saatte biter.

Bu tür sorularda sorunun neyi sorduğuna dikkat et: "B açıldıktan kaç saat sonra", "ilk musluk açıldıktan kaç saat sonra" ve "toplam kaç saat" farklı cevaplar verir.

Belli yükseklikteki delik

Bazı sorularda delik havuzun tabanında değil, belli bir yükseklikte, örneğin yarı yüksekliktedir. Böyle bir delik yalnızca su seviyesi onu geçtikten sonra su akıtır. Havuzu iki bölgeye ayır:

"Bir musluk boş havuzu 6 saatte dolduruyor. Havuzun yarı yüksekliğindeki bir delik, su seviyesi deliğin üstündeyken saatte havuzun 1/12'si kadar su akıtıyor." Alt yarıda delik çalışmaz: 1/2'lik kısım 1/6 hızla 3 saatte dolar. Üst yarıda net hız 1/6 − 1/12 = 1/12'dir: 1/2'lik kısım 6 saatte dolar. Toplam 9 saattir. Delik tabandan yukarıda olduğu için, deliğin altındaki su hiçbir zaman akıp gitmez.

Bu kalıpta en büyük hata, deliği baştan itibaren çalışıyormuş gibi hesaplamaktır. Öyle yapılırsa 1/12 net hızla 12 saat bulunur.

Litre ve dakika

Hızlar kesir yerine litre ile de verilebilir. "900 litrelik havuzu dakikada 30 litre akıtan musluk 30 dakikada doldurur." Dolduran ve boşaltan birlikteyse litreler çıkarılır: dakikada 50 litre dolduran ve 20 litre boşaltan musluklar net olarak dakikada 30 litre doldurur ve 1500 litrelik havuz 50 dakikada dolar.

Kesir ile litre birlikte verildiğinde önce havuzun hacmini bul. "Havuzun 2/5'i doluyken 60 litre eklenince yarısı doluyor" cümlesi 1/2 − 2/5 = 1/10'luk kısmın 60 litre olduğunu, havuzun 600 litre olduğunu söyler.

Havuzu sayıya çevirmek

Kesirlerle uğraşmak istemiyorsan havuzun hacmini sürelerin ortak katı kadar birim al. 4 saatte dolduran ve 6 saatte boşaltan musluklar için havuzu 12 birim say: dolduran saatte 3, boşaltan saatte 2 birim akıtır. Net 1 birim; havuz 12 saatte dolar. Aynı sonuç, kesirsiz.

Soru kökleri

Havuz problemleri çoğunlukla "havuz kaç saatte dolar/boşalır?", "… açıldıktan kaç saat sonra dolar?" ve "… musluğu tek başına kaç saatte doldurur?" kökleriyle gelir. Her durumda üç soruyu sırayla sor: hangi musluklar açık ve işaretleri ne? Havuzun ne kadarı dolacak ya da boşalacak? Süre hangi andan itibaren soruluyor?

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Dolduran ve boşaltan

Soru: A musluğu boş bir havuzu 4 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 6 saatte boşaltıyor. Boş havuza iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

  • A) 2
  • B) 5
  • C) 10
  • D) 12
  • E) 24

Çözüm: Net hız 1/4 − 1/6 = 1/12'dir; havuz 12 saatte dolar. Kısa yolla 4 · 6 / (6 − 4) = 12. B'yi de doldurucu sayan öğrenci 1/4 + 1/6 = 5/12 ile 2,4 saat bulur; bu değer, havuzun 4 saatten önce dolmasını gerektirdiği için tahliyeyle çelişir. Cevap: D.

Örnek 2 — Kısmen dolu havuz

Soru: 1/3'ü dolu olan bir havuza, boş havuzu 9 saatte ve 18 saatte dolduran iki musluk birlikte açılıyor. Havuzun tamamı kaç saatte dolar?

  • A) 3
  • B) 4
  • C) 5
  • D) 6
  • E) 9

Çözüm: Net hız 1/9 + 1/18 = 1/6'dır. Doldurulacak kısım 2/3'tür: (2/3) ÷ (1/6) = 4 saat. D, havuzu boş sayan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

Örnek 3 — Dönemler

Soru: A musluğu boş havuzu 12 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 8 saatte boşaltıyor. Boş havuza önce A açılıyor; 6 saat sonra B de açılıyor. B açıldıktan kaç saat sonra havuz boşalır?

  • A) 6
  • B) 8
  • C) 10
  • D) 12
  • E) 24

Çözüm: İlk 6 saatte havuzun 1/2'si dolar. İki musluk açıkken net hız 1/12 − 1/8 = −1/24'tür. 1/2'lik su (1/2) ÷ (1/24) = 12 saatte boşalır. E, havuzu tam dolu sayan hesabın sonucudur. Cevap: D.

Örnek 4 — Yarı yükseklikteki delik

Soru: Bir musluk boş havuzu 6 saatte dolduruyor. Havuzun yarı yüksekliğindeki bir delik, su seviyesi deliğin üstündeyken saatte havuzun 1/12'si kadar su akıtıyor. Boş havuz kaç saatte dolar?

  • A) 6
  • B) 8
  • C) 9
  • D) 12
  • E) 18

Çözüm: Alt yarıda delik çalışmaz: 1/2 ÷ 1/6 = 3 saat. Üst yarıda net hız 1/6 − 1/12 = 1/12: 1/2 ÷ 1/12 = 6 saat. Toplam 9 saattir. D, deliğin baştan beri çalıştığını varsayan hesaptır. Cevap: C.

5Tuzaklar

  • Boşaltanın hızını artı yazmak. Boşaltıcı −1/b ile girer; işaret her şeyi değiştirir.
  • Kısmen dolu havuzu boş saymak. Süre, doldurulacak kesrin net hıza bölümüdür.
  • Dönemleri birleştirmek. Musluklar farklı zamanlarda açılıyorsa her dönemin işini ayrı hesapla.
  • "Kaç saat sonra"nın başlangıç anını karıştırmak. B açıldıktan sonra mı, ilk musluk açıldıktan sonra mı?
  • Yarı yükseklikteki deliği baştan çalıştırmak. Delik yalnızca su seviyesi onu geçince akıtır.
  • Litreyi kesirle karıştırmak. Önce havuzun hacmini bul, sonra birimleri eşitle.

6Tekrar kartı

  • Dolduran +1/a, boşaltan −1/b; net hız işaretli toplamdır.
  • İki doldurucu: ab/(a + b); bir doldurucu, bir boşaltıcı: ab/(b − a).
  • Süre = doldurulacak kesir ÷ net hız.
  • Farklı zamanlarda açılan musluklar: dönemlere böl.
  • Yarı yükseklikteki delik: alt yarı yalnız musluk, üst yarı net hız.
  • Litre hızları doğrudan toplanır ve çıkarılır; hacim kesirden bulunur.
  • Havuzu sürelerin ortak katı kadar birim almak kesirleri kaldırır.

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    Bir musluk boş havuzu 5 saatte dolduruyor. Bu musluk 2 saatte havuzun ne kadarını doldurur?

    1. A)1/5
    2. B)2/5
    3. C)1/2
    4. D)3/5
    5. E)5/2
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Musluk saatte havuzun 1/5'ini doldurur; 2 saatte 2/5'ini doldurur.

  2. Soru 2 · Kolay

    Boş bir havuzu A musluğu 3 saatte, B musluğu 6 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte havuzu kaç saatte doldurur?

    1. A)1,5
    2. B)2
    3. C)3
    4. D)4,5
    5. E)9
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Net hız 1/3 + 1/6 = 1/2'dir; D, iki sürenin ortalamasıdır.

  3. Soru 3 · Kolay

    Dolu bir havuzu 8 saatte boşaltan bir musluk açılıyor. 2 saat sonra havuzun ne kadarı doludur?

    1. A)1/8
    2. B)1/4
    3. C)1/2
    4. D)3/4
    5. E)7/8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 2 saatte havuzun 2/8 = 1/4'ü boşalır; 3/4'ü dolu kalır. B, boşalan kısımdır.

  4. Soru 4 · Kolay

    900 litrelik boş bir havuza dakikada 30 litre su akıtan bir musluk açılıyor. Havuz kaç dakikada dolar?

    1. A)30
    2. B)45
    3. C)60
    4. D)90
    5. E)900
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. 900 ÷ 30 = 30 dakika sürer.

  5. Soru 5 · Orta

    A musluğu boş havuzu 6 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 10 saatte boşaltıyor. Boş havuza iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

    1. A)4
    2. B)8
    3. C)12
    4. D)15
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Net hız 1/6 − 1/10 = 1/15'tir; havuz 15 saatte dolar.

  6. Soru 6 · Orta

    1/4'ü dolu olan bir havuza, boş havuzu 6 saatte ve 12 saatte dolduran iki musluk birlikte açılıyor. Havuz kaç saatte dolar?

    1. A)1
    2. B)1,5
    3. C)2
    4. D)2,5
    5. E)3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Net hız 1/6 + 1/12 = 1/4'tür; doldurulacak 3/4 kısım 3 saatte dolar.

  7. Soru 7 · Orta

    1200 litrelik boş bir havuza dakikada 40 litre su akıtan bir musluk açılıyor; havuzun dibindeki bir delik ise dakikada 10 litre su akıtıyor. Havuz kaç dakikada dolar?

    1. A)24
    2. B)30
    3. C)32
    4. D)36
    5. E)40
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Net olarak dakikada 30 litre dolar; 1200 ÷ 30 = 40 dakika. B, deliği unutan hesaptır.

  8. Soru 8 · Orta

    A musluğu boş havuzu 10 saatte dolduruyor. A 4 saat açık kaldıktan sonra B musluğu da açılıyor ve havuz 3 saat sonra doluyor. B musluğu boş havuzu tek başına kaç saatte doldurur?

    1. A)10
    2. B)12
    3. C)14
    4. D)15
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. A toplam 7 saat açık kalıp havuzun 7/10'unu doldurur; B 3 saatte 3/10'unu doldurur ve hızı 1/10'dur.

  9. Soru 9 · Orta

    Dolu bir havuzu B musluğu 6 saatte boşaltıyor, A musluğu boş havuzu 9 saatte dolduruyor. Dolu havuzda iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte boşalır?

    1. A)3
    2. B)9
    3. C)15
    4. D)18
    5. E)54
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Net hız 1/9 − 1/6 = −1/18'dir; dolu havuz 18 saatte boşalır.

  10. Soru 10 · Orta

    A musluğu boş havuzu 12 saatte dolduruyor. B musluğu A'dan 2 kat hızlı doldurmaktadır. İki musluk birlikte boş havuzu kaç saatte doldurur?

    1. A)3
    2. B)4
    3. C)6
    4. D)8
    5. E)9
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. B havuzu 6 saatte doldurur; net hız 1/12 + 1/6 = 1/4'tür.

  11. Soru 11 · Orta

    Bir musluk boş havuzu 4 saatte dolduruyor. Havuzun tabanındaki, dolu havuzu 12 saatte boşaltan tahliye yanlışlıkla açık kalmıştır. Havuz kaç saatte dolar?

    1. A)6
    2. B)8
    3. C)10
    4. D)12
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Net hız 1/4 − 1/12 = 1/6'dır; havuz 6 saatte dolar.

  12. Soru 12 · Zor

    A musluğu boş havuzu 10 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 15 saatte boşaltıyor. Boş havuza önce A açılıyor; 3 saat sonra B de açılıyor. Havuz, A açıldıktan kaç saat sonra dolar?

    1. A)18
    2. B)21
    3. C)24
    4. D)27
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. İlk 3 saatte 3/10 dolar; kalan 7/10, net hız 1/10 − 1/15 = 1/30 ile 21 saatte dolar. Toplam 24 saattir; B, yalnızca ikinci dönemdir.

  13. Soru 13 · Zor

    Bir musluk boş havuzu 8 saatte dolduruyor. Havuzun yarı yüksekliğindeki bir delik, su seviyesi deliğin üstündeyken saatte havuzun 1/24'ü kadar su akıtıyor. Boş havuz kaç saatte dolar?

    1. A)8
    2. B)10
    3. C)12
    4. D)14
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Alt yarı 4 saatte dolar; üst yarıda net hız 1/8 − 1/24 = 1/12 ile 1/2'lik kısım 6 saatte dolar. C, deliği baştan çalıştıran hesaptır.

  14. Soru 14 · Zor

    A ve B muslukları boş bir havuzu birlikte 6 saatte dolduruyor. A tek başına, B'den 5 saat daha kısa sürede dolduruyor. A havuzu tek başına kaç saatte doldurur?

    1. A)5
    2. B)6
    3. C)8
    4. D)9
    5. E)10
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. A'nın süresi a ise 1/a + 1/(a + 5) = 1/6 olur; a = 10 için 1/10 + 1/15 = 1/6 sağlanır.

  15. Soru 15 · Zor

    Bir havuzun 2/5'i doluyken havuza 60 litre su eklenince havuzun yarısı dolu oluyor. Dakikada 15 litre su akıtan bir musluk, havuzun geri kalanını kaç dakikada doldurur?

    1. A)15
    2. B)20
    3. C)24
    4. D)30
    5. E)40
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 1/2 − 2/5 = 1/10'luk kısım 60 litre olduğu için havuz 600 litredir; kalan 300 litre 20 dakikada dolar.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Hız problemleri I: karşılaşma ve yetişme» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    A musluğu boş havuzu 4 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Boş havuza iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

    1. A)6
    2. B)8
    3. C)10
    4. D)12
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Net hız 1/4 − 1/12 = 1/6'dır; havuz 6 saatte dolar.

  2. Soru 2 · Orta

    1/3'ü dolu olan bir havuza, boş havuzu 12 saatte dolduran bir musluk açılıyor. Havuz kaç saatte dolar?

    1. A)4
    2. B)6
    3. C)8
    4. D)9
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Doldurulacak 2/3 kısım saatte 1/12 hızla (2/3) ÷ (1/12) = 8 saatte dolar; E, havuzu boş sayan hesaptır.

  3. Soru 3 · Zor

    A musluğu boş havuzu 6 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 9 saatte boşaltıyor. Boş havuza önce A açılıyor; 3 saat sonra B de açılıyor. B açıldıktan kaç saat sonra havuz dolar?

    1. A)6
    2. B)8
    3. C)9
    4. D)12
    5. E)18
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. İlk 3 saatte 1/2 dolar; kalan 1/2, net hız 1/6 − 1/9 = 1/18 ile 9 saatte dolar.

  4. Soru 4 · Zor

    1500 litrelik boş bir havuza dakikada 50 litre su akıtan A musluğu ile dakikada 20 litre su boşaltan B musluğu birlikte açılıyor. Havuz kaç dakikada dolar?

    1. A)30
    2. B)40
    3. C)50
    4. D)60
    5. E)75
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Net olarak dakikada 30 litre dolar; 1500 ÷ 30 = 50 dakika. A, B'yi unutan hesaptır.

  5. Soru 5 · Zor

    Bir musluk boş havuzu 10 saatte dolduruyor. Havuzun yarı yüksekliğindeki bir delik, su seviyesi deliğin üstündeyken saatte havuzun 1/20'si kadar su akıtıyor. Boş havuz kaç saatte dolar?

    1. A)10
    2. B)12
    3. C)14
    4. D)15
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Alt yarı 5 saatte dolar; üst yarıda net hız 1/10 − 1/20 = 1/20 ile 1/2'lik kısım 10 saatte dolar. E, deliği baştan çalıştıran hesaptır.

M09 — Problemler

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.