İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Problemler · MAT-M09-L05

İşçi problemleri

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

Bir işi Ali 6 günde, Barış 12 günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa kaç günde biter? Sezgi çoğu zaman iki süreyi toplamaya (18 gün) ya da ortalamasını almaya (9 gün) gider. İkisi de yanlıştır: birlikte çalışan iki kişi işi, en hızlı olanın tek başına bitirdiğinden bile daha kısa sürede bitirmelidir. Doğru cevap 4 gündür. İşçi problemlerinde toplanan şey süreler değil, hızlardır; yani bir günde yapılan iş miktarları. Bu derste işi 1 bütün olarak görüp hızları toplamayı, işi sayıya çevirmeyi ve kişi-gün hesabıyla farklı ekiplerin aynı işi ne kadar sürede bitireceğini bulmayı öğreneceğiz.

2Hedefler

  • Bir işi t günde bitiren kişinin bir günde işin 1/t'sini yaptığını kullanır, birlikte çalışmada hızları toplarsın.
  • Birlikte süre ve bir kişinin süresi verildiğinde öteki kişinin süresini bulursun.
  • Çalışanların değiştiği (katılan, ayrılan) işleri parça parça hesaplarsın.
  • İşçi sayısı, gün ve saat arasındaki ters orantıyı kişi-gün (ya da kişi-saat) hesabıyla kullanırsın.

3Konu anlatımı

İş, hız ve zaman

İşçi problemlerinin temel bağıntısı şudur:

yapılan iş = hız × zaman

Tamamlanacak işi 1 bütün olarak alırız. Bir işi t günde bitiren kişinin hızı, yani bir günde yaptığı iş, 1/t'dir. Ali işi 6 günde bitiriyorsa her gün işin 1/6'sını yapar; 3 günde 3/6 = 1/2'sini yapar.

Bu bakışın avantajı, hızların toplanabilmesidir. Süreler toplanamaz, ama aynı anda çalışan kişilerin bir günde yaptıkları işler toplanır.

Birlikte çalışmak

Ali 6 günde, Barış 12 günde bitiriyorsa bir günde birlikte 1/6 + 1/12 = 3/12 = 1/4 iş yaparlar. İşin tamamı için 4 gün gerekir.

Genel kural:

1/a + 1/b = 1/t

Burada a ve b kişilerin tek başına süreleri, t birlikte süredir. İki kişi için kısa yol: t = a · b / (a + b). 6 ve 12 için 72 / 18 = 4. Üç ya da daha çok kişi için kısa yol yoktur; hızları topla: 12, 20 ve 30 günde bitiren üç kişinin hızları 1/12 + 1/20 + 1/30 = (5 + 3 + 2)/60 = 1/6'dır, birlikte 6 günde bitirirler.

Birlikte süre, en hızlı kişinin süresinden her zaman kısadır. Bu, sonucu hızla denetlemenin yoludur: 6 ve 12 günlük işçilerin birlikte süresi 6'dan küçük çıkmalıdır.

Birlikte süreden bir kişinin süresine

"Ali ile Barış işi birlikte 8 günde bitiriyor; Ali tek başına 12 günde bitiriyor. Barış tek başına kaç günde bitirir?" Birlikte hız 1/8, Ali'nin hızı 1/12; Barış'ın hızı 1/8 − 1/12 = 1/24'tür. Barış işi 24 günde bitirir.

İşi sayıya çevirmek

Kesirlerle uğraşmak istemiyorsan işin tamamını sürelerin ortak katı kadar birim say. 6 ve 12 günlük işçiler için işi 12 birim al: Ali günde 2, Barış günde 1 birim yapar; birlikte günde 3 birim, 12 birim 4 günde biter. Aynı sonuç, kesirsiz.

Aynı yol 10 ve 15 günlük işçilere de uygulanır: işi 30 birim al, biri günde 3, öteki günde 2 birim yapar; birlikte günde 5 birim, iş 6 günde biter. Bu yol özellikle parça parça çalışılan sorularda hesabı hızlandırır. İşi duvar, sayfa ya da metrekare gibi somut bir çokluk olarak düşünmek de aynı işi görür.

Hız oranı ve süre

"A, B'den 2 kat hızlı çalışıyor" cümlesi hızlar hakkındadır: A'nın hızı B'nin 2 katıdır. Süreler ise ters orantılıdır: A işi B'nin yarısı kadar sürede bitirir. Bu tür sorularda hızlara x ve 2x demek en temiz kurulumdur. "A, B'den 2 kat hızlı; birlikte 6 günde bitiriyorlar" ise 2x + x = 1/6, x = 1/18: B 18 günde, A 9 günde bitirir.

"Verim" sözcüğü de hızı anlatır. Veli'nin verimi Ali'ninkinin 4/5'i ise Veli'nin hızı Ali'nin 4/5'i, süresi ise 5/4'üdür. Ali 20 günde bitiriyorsa Veli 25 günde bitirir.

Çalışanlar değişince: parça parça

Bazı işlerde bir süre birlikte çalışılır, sonra biri ayrılır ya da biri katılır. Bu soruları dönemlere böl ve her dönemde yapılan işi ayrı hesapla; dönemlerin toplamı 1 olmalıdır.

"A 10 günde, B 15 günde bitiriyor. 4 gün birlikte çalışıyorlar, sonra A ayrılıyor. B kalan işi kaç günde bitirir?" Birlikte hız 1/10 + 1/15 = 1/6; 4 günde 4/6 = 2/3 iş yapılır. Kalan 1/3'ü B tek başına 1/3 ÷ 1/15 = 5 günde bitirir.

Ters durumda da aynı yol: "A 12 günde, B 6 günde bitiriyor; A 3 gün çalıştıktan sonra B katılıyor." A 3 günde işin 1/4'ünü yapar; kalan 3/4 birlikte hız 1/12 + 1/6 = 1/4 ile 3 günde biter.

Kişi-gün: işçi sayısı ile sürenin ters orantısı

Aynı hızda çalışan işçilerden oluşan ekiplerde işi ölçmenin pratik birimi kişi-gündür. 12 işçi bir işi 10 günde bitiriyorsa iş 12 · 10 = 120 kişi-gündür. Aynı işi 8 işçi 120 / 8 = 15 günde bitirir. İşçi sayısı artarsa süre azalır; çarpım sabittir.

Günlük çalışma saati de verildiyse birim kişi-saat olur: 8 işçi günde 6 saat çalışarak 15 günde bitiriyorsa iş 8 · 6 · 15 = 720 kişi-saattir. 12 işçi günde 5 saat çalışırsa 720 / 60 = 12 günde bitirir.

İşin kendisi de değişebilir. "4 işçi 6 günde 2 duvar örüyor" cümlesi bir duvarın 4 · 6 / 2 = 12 kişi-gün olduğunu söyler; 3 duvar 36 kişi-gündür ve 6 işçi bunu 6 günde bitirir.

Çalışma sırasında ekip değişirse iş yine kişi-gün üzerinden bölünür. "18 işçi bir işi 10 günde bitirecek. 4 gün sonra 6 işçi ayrılıyor." İş 180 kişi-gündür; ilk 4 günde 72 kişi-gün yapılır, kalan 108 kişi-günü 12 işçi 9 günde bitirir. İş toplam 13 günde tamamlanır.

Soru kökleri

İşçi problemleri çoğunlukla "birlikte kaç günde bitirirler?", "… tek başına kaç günde bitirir?", "kalan işi kaç günde bitirir?" ve "iş toplam kaç günde tamamlanır?" kökleriyle gelir. Son iki kökü karıştırma: "kalan iş" yalnızca son dönemi, "toplam" ise bütün dönemleri sorar.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Hızları toplamak

Soru: Bir işi Ali tek başına 6 günde, Barış tek başına 12 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışırsa bu işi kaç günde bitirirler?

  • A) 3
  • B) 4
  • C) 6
  • D) 8
  • E) 9

Çözüm: Günlük hızlar 1/6 ve 1/12'dir; toplamları 1/4 eder. İş 4 günde biter. Kısa yolla da 6 · 12 / (6 + 12) = 4. E, iki sürenin ortalamasını alan öğrencinin cevabıdır; birlikte süre 6'dan küçük olmalıdır. Cevap: B.

Örnek 2 — Birlikte süreden bireysel süre

Soru: Ali ile Barış bir işi birlikte 8 günde bitiriyor. Ali bu işi tek başına 12 günde bitirebildiğine göre Barış tek başına kaç günde bitirir?

  • A) 16
  • B) 18
  • C) 20
  • D) 24
  • E) 36

Çözüm: Barış'ın hızı, birlikte hızdan Ali'nin hızı çıkarılarak bulunur: 1/8 − 1/12 = 1/24. Barış işi 24 günde bitirir. Sağlama: 1/12 + 1/24 = 3/24 = 1/8. Cevap: D.

Örnek 3 — Biri ayrılınca

Soru: Bir işi A tek başına 10 günde, B tek başına 15 günde bitirebiliyor. İkisi 4 gün birlikte çalıştıktan sonra A ayrılıyor. B kalan işi kaç günde bitirir?

  • A) 3
  • B) 4
  • C) 5
  • D) 6
  • E) 10

Çözüm: Birlikte hız 1/10 + 1/15 = 1/6; 4 günde işin 2/3'ü yapılır. Kalan 1/3'lük işi günde 1/15 yapan B, 1/3 ÷ 1/15 = 5 günde bitirir. Kalan kesri görmeden B'nin bütün işi bitirme süresinden 4 çıkaran öğrenci 11 bulur; bu değer seçeneklerde yoktur. Cevap: C.

Örnek 4 — Kişi-gün

Soru: 12 işçi bir işi 10 günde bitirebiliyor. Aynı hızda çalışan 8 işçi bu işi kaç günde bitirir?

  • A) 12
  • B) 14
  • C) 15
  • D) 18
  • E) 20

Çözüm: İş 12 · 10 = 120 kişi-gündür. 8 işçi 120 / 8 = 15 günde bitirir. İşçi sayısı azaldığı için süre artmalıdır; bu, cevabın 10'dan büyük olacağını baştan söyler. Cevap: C.

5Tuzaklar

  • Süreleri toplamak ya da ortalamasını almak. Toplanan şey hızlardır; birlikte süre en hızlının süresinden kısadır.
  • "2 kat hızlı"yı "2 kat süre" sanmak. Hız 2 katsa süre yarıdır.
  • Kalan işi bütün iş gibi hesaplamak. Önce yapılan kesri bul, kalanı son dönemin hızına böl.
  • "Kalan iş" ile "toplam süre"yi karıştırmak. Toplam süre bütün dönemlerin toplamıdır.
  • Kişi-gün hesabında saati unutmak. Günlük saat verildiyse birim kişi-saattir.
  • İşin miktarı değişince aynı kişi-günü kullanmak. 2 duvar ile 3 duvar farklı işlerdir; önce bir duvarın kişi-gününü bul.

6Tekrar kartı

  • t günde biten işte günlük hız 1/t; iş = hız × zaman.
  • Birlikte: 1/a + 1/b = 1/t; iki kişi için t = ab/(a + b).
  • Bir kişinin süresi: 1/t − 1/a.
  • İşi sürelerin ortak katı kadar birim al; kesirler kaybolur.
  • Hız oranı ile süre oranı terstir.
  • Değişen ekiplerde dönemlere böl, dönemlerin işi toplamı 1.
  • Kişi-gün (kişi-saat) sabittir: işçi × gün (× saat).

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    Bir işi 5 günde bitiren bir işçi bir günde işin ne kadarını yapar?

    1. A)1/5
    2. B)1/4
    3. C)2/5
    4. D)1/2
    5. E)5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. İşin tamamı 1 alınırsa günlük hız 1/5'tir.

  2. Soru 2 · Kolay

    Bir işi A tek başına 4 günde, B tek başına 12 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)3
    2. B)4
    3. C)6
    4. D)8
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Hızlar toplamı 1/4 + 1/12 = 1/3'tür; iş 3 günde biter. D ortalama, E toplamdır.

  3. Soru 3 · Kolay

    6 işçi bir işi 20 günde bitirebiliyor. Aynı hızda çalışan 10 işçi bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)8
    2. B)10
    3. C)12
    4. D)15
    5. E)18
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. İş 120 kişi-gündür; 10 işçi 12 günde bitirir.

  4. Soru 4 · Kolay

    Bir işi 9 günde bitirebilen bir işçi 3 günde işin ne kadarını yapar?

    1. A)1/9
    2. B)1/6
    3. C)1/3
    4. D)1/2
    5. E)2/3
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Günlük hız 1/9 olduğu için 3 günde 3/9 = 1/3 iş yapılır.

  5. Soru 5 · Orta

    Bir işi A 12 günde, B 20 günde, C 30 günde bitirebiliyor. Üçü birlikte bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)2
    2. B)3
    3. C)4
    4. D)5
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Hızlar toplamı (5 + 3 + 2)/60 = 1/6'dır; üçü birlikte 6 günde bitirir.

  6. Soru 6 · Orta

    A, B'den 2 kat hızlı çalışmaktadır. İkisi birlikte bir işi 6 günde bitirdiğine göre B bu işi tek başına kaç günde bitirir?

    1. A)9
    2. B)12
    3. C)15
    4. D)18
    5. E)24
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. B'nin hızı x, A'nınki 2x ise 3x = 1/6 ve x = 1/18 olur; A seçeneği A'nın süresidir.

  7. Soru 7 · Orta

    A ile B bir işi birlikte 6 günde bitiriyor. A bu işi tek başına 10 günde bitirebildiğine göre B tek başına kaç günde bitirir?

    1. A)4
    2. B)6
    3. C)10
    4. D)12
    5. E)15
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. B'nin hızı 1/6 − 1/10 = 1/15'tir.

  8. Soru 8 · Orta

    Bir işi A 12 günde, B 6 günde bitirebiliyor. A 3 gün tek başına çalıştıktan sonra B de katılıyor. İkisi birlikte kalan işi kaç günde bitirir?

    1. A)1
    2. B)1,5
    3. C)2
    4. D)3
    5. E)4
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. A 3 günde işin 1/4'ünü yapar; kalan 3/4, birlikte hız 1/12 + 1/6 = 1/4 ile 3 günde biter.

  9. Soru 9 · Orta

    18 işçi bir işi 10 günde bitirecektir. 4 gün çalıştıktan sonra 6 işçi ayrılıyor. İş toplam kaç günde tamamlanır?

    1. A)9
    2. B)10
    3. C)12
    4. D)13
    5. E)15
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. İş 180 kişi-gündür; ilk 4 günde 72 kişi-gün yapılır, kalan 108 kişi-günü 12 işçi 9 günde bitirir. A yalnızca kalan süredir.

  10. Soru 10 · Orta

    Bir duvarı A 6 saatte, B 9 saatte örebiliyor. İkisi birlikte 3 saat çalışınca duvarın ne kadarı örülmeden kalır?

    1. A)1/12
    2. B)1/6
    3. C)1/5
    4. D)1/3
    5. E)5/6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 3 saatte 3 · (1/6 + 1/9) = 3 · 5/18 = 5/6 örülür; kalan 1/6'dır. E, örülen kısımdır.

  11. Soru 11 · Orta

    Ali bir işi 20 günde bitiriyor. Veli'nin verimi Ali'nin veriminin 4/5'i olduğuna göre Veli bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)16
    2. B)20
    3. C)24
    4. D)25
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Veli'nin hızı Ali'ninkinin 4/5'i olduğu için süresi 5/4'üdür: 20 · 5/4 = 25. A, süreyi de 4/5 ile çarpan hatadır.

  12. Soru 12 · Zor

    A ile B bir işi birlikte 12 günde bitiriyor; A tek başına 20 günde bitirebiliyor. İkisi 4 gün birlikte çalıştıktan sonra A ayrılıyor. B kalan işi kaç günde bitirir?

    1. A)16
    2. B)18
    3. C)20
    4. D)24
    5. E)30
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. B'nin hızı 1/12 − 1/20 = 1/30'dur. 4 günde 1/3 iş yapılır; kalan 2/3'ü B 20 günde bitirir. E, B'nin bütün işi bitirme süresidir.

  13. Soru 13 · Zor

    8 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyor. Aynı hızda çalışan 12 işçi günde 5 saat çalışarak bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)8
    2. B)9
    3. C)10
    4. D)11
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. İş 8 · 6 · 15 = 720 kişi-saattir; 12 işçi günde 60 kişi-saat çalışır ve işi 12 günde bitirir.

  14. Soru 14 · Zor

    4 işçi 6 günde 2 duvar örebiliyor. Aynı hızda çalışan 6 işçi 3 duvarı kaç günde örer?

    1. A)6
    2. B)8
    3. C)9
    4. D)12
    5. E)18
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Bir duvar 4 · 6 / 2 = 12 kişi-gündür; 3 duvar 36 kişi-gün eder ve 6 işçi 6 günde bitirir.

  15. Soru 15 · Zor

    A ile B bir işi 10 günde, B ile C 15 günde, A ile C 12 günde bitirebiliyor. Üçü birlikte bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)6
    2. B)8
    3. C)9
    4. D)10
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Üç birlikte hız toplanınca her kişi iki kez sayılır: 2(a + b + c) = 1/10 + 1/15 + 1/12 = 1/4. Buradan a + b + c = 1/8 ve süre 8 gündür.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «Havuz problemleri» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Bir işi A tek başına 10 günde, B tek başına 15 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)5
    2. B)6
    3. C)8
    4. D)12
    5. E)25
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Hızlar toplamı 1/10 + 1/15 = 1/6'dır; E, iki sürenin toplamıdır.

  2. Soru 2 · Orta

    9 işçi bir işi 8 günde bitirebiliyor. Aynı hızda çalışan 12 işçi bu işi kaç günde bitirir?

    1. A)4
    2. B)5
    3. C)6
    4. D)8
    5. E)12
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. İş 72 kişi-gündür; 12 işçi 6 günde bitirir.

  3. Soru 3 · Zor

    A, B'den 3 kat hızlı çalışmaktadır. İkisi birlikte bir işi 9 günde bitirdiğine göre A bu işi tek başına kaç günde bitirir?

    1. A)12
    2. B)18
    3. C)24
    4. D)27
    5. E)36
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. B'nin hızı x, A'nınki 3x ise 4x = 1/9 ve x = 1/36 olur; A'nın hızı 1/12'dir. E, B'nin süresidir.

  4. Soru 4 · Zor

    Bir işi A 15 günde, B 10 günde bitirebiliyor. A 5 gün tek başına çalıştıktan sonra B de katılıyor. İkisi birlikte kalan işi kaç günde bitirir?

    1. A)2
    2. B)3
    3. C)4
    4. D)5
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. A 5 günde işin 1/3'ünü yapar; kalan 2/3, birlikte hız 1/6 ile 4 günde biter.

  5. Soru 5 · Zor

    20 işçi bir işi 15 günde bitirecektir. 6. günün sonunda 5 işçi ayrılıyor. İş toplam kaç günde tamamlanır?

    1. A)15
    2. B)16
    3. C)17
    4. D)18
    5. E)21
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. İş 300 kişi-gündür; ilk 6 günde 120 kişi-gün yapılır, kalan 180 kişi-günü 15 işçi 12 günde bitirir ve toplam 18 gündür.

M09 — Problemler

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.