İçeriğe geç
← OkulYKS Akademileri

YKS Matematik · Problemler · MAT-M09-L04

Yaş problemleri

TYTher yıl mutlaka soru çıkan konu· 8 bölüm

1Kanca

Bir baba oğlundan 28 yaş büyükse, oğul 5 yaşındayken de, 50 yaşındayken de bu fark 28'dir. Yaş problemlerindeki bütün hareket iki gerçeğe dayanır: iki kişinin yaş farkı hiç değişmez ve geçen her yılda herkes aynı miktarda yaşlanır. Oranlar değişir; babanın yaşı bugün oğlunun 4 katıysa birkaç yıl sonra 3 katı, daha sonra 2 katı olur. Bu derste bu iki sabiti kullanarak yaş tablosu kurmayı, oranları parça düşüncesiyle çözmeyi ve "ben senin yaşındayken" türü soruları bir çizgi üzerinde okumayı öğreneceğiz.

2Hedefler

  • Yaş farkının değişmediğini ve t yıl sonra her kişinin yaşının t arttığını kullanarak geçmiş ve gelecek yaşları yazarsın.
  • Yaş oranlarını bir tablo ya da parça düşüncesiyle denkleme çevirirsin.
  • Birden çok kişinin yaş toplamının zamanla nasıl değiştiğini hesaplar, doğmamış kişi tuzağını fark edersin.
  • "Ben senin yaşındayken" türü soruları yaş farkı üzerinden çözersin.

3Konu anlatımı

İki sabit

Yaş problemlerini kolaylaştıran iki değişmez vardır.

Yaş farkı sabittir. Anne kızından 24 yaş büyükse bu fark geçmişte de gelecekte de 24'tür. Fark, iki kişinin doğum tarihleri arasındaki süredir ve zaman ilerledikçe değişmez.

Herkes aynı hızla yaşlanır. t yıl sonra her kişinin yaşı t artar, t yıl önce t azdır. Bir grubun yaş toplamı ise kişi sayısı kadar hızlı değişir: 4 kişilik bir ailenin yaş toplamı her yıl 4 artar, t yılda 4t artar.

Bu iki sabitin önemli bir sonucu vardır: yaş oranı zamanla değişir. Babanın yaşı bugün oğlununkinin 3 katıysa, fark sabit kalırken ikisi de büyüdükçe oran küçülür ve 1'e yaklaşır. "Babanın yaşı bir gün oğlununkinin 3 katından 4 katına çıkar" gibi bir durum ancak geçmişe doğru gidilirken mümkündür.

Yaş tablosu

Birden çok zaman ve kişi içeren sorularda küçük bir tablo kurulumu kesinleştirir. Satırlara kişileri, sütunlara zamanları yaz.

"Annenin yaşı kızının yaşının 4 katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olacaktır."

Şimdi6 yıl sonra
Kızxx + 6
Anne4x4x + 6

İkinci sütundaki ilişki denklemi verir: 4x + 6 = 3(x + 6), x = 12. Kız 12, anne 48 yaşındadır. Sağlama: 6 yıl sonra 18 ve 54, gerçekten 3 kat.

Tabloda kolayca yapılan bir hata, sütun kaydırırken yalnızca bir kişiye t eklemektir. "6 yıl sonra" sütununda herkese 6 eklenir.

Parça düşüncesi: fark sabitken oran

Yaş farkı biliniyorsa oran soruları denklem kurmadan da çözülür. "Baba oğlundan 28 yaş büyüktür. Babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olduğunda oğul kaç yaşında olur?" Oran 3'e 1 ise baba 3 parça, oğul 1 parçadır ve aralarındaki fark 2 parçadır. Fark her zaman 28 olduğuna göre bir parça 14'tür: o anda oğul 14, baba 42 yaşındadır. Bugünkü yaşlar biliniyorsa "kaç yıl sonra" sorusu da cevaplanır: oğul bugün 12 ise bu 2 yıl sonra olur.

Bu yol, yaş farkının sabit olmasına dayanır ve oran hangi zamanda verilirse verilsin işler.

Grup yaş toplamı

"Üç kardeşin yaşları toplamı 27'dir. 4 yıl sonra toplam kaç olur?" Her kardeş 4 yaş büyür; toplam 3 · 4 = 12 artar ve 39 olur. Tersinden: "4 kişilik bir ailenin yaş toplamı bugün 100'dür; kaç yıl önce 72 idi?" Toplam 28 azalmıştır, her yıl 4 azaldığına göre 7 yıl önce.

Doğmamış kişi tuzağı. Geçmişe gidildiğinde bir kişi henüz doğmamış olabilir; o zaman o kişi o tarihteki toplama katılmaz ve toplam beklenenden az azalır. "4 kişilik bir ailenin bugünkü yaş toplamı 80'dir. 5 yıl önce yaş toplamı 63'tü." Herkes 5 yıl önce de yaşıyor olsaydı toplam 80 − 20 = 60 olurdu. 63 çıkması, en küçük çocuğun 5 yıl önce henüz doğmadığını gösterir. En küçük çocuk y yaşındaysa, 5 yıl önceki toplam öteki üç kişinin o zamanki yaşlarıdır: (80 − y) − 15 = 63, y = 2.

Toplamın beklenenden az azalması bu tuzağın işaretidir. Böyle bir durumda hesabı doğmuş kişiler üzerinden yeniden kur.

Toplamın bir kişinin yaşına eşitlenmesi

"Anne 38 yaşında, üç çocuğunun yaşları toplamı 20'dir. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olur?" Her yıl annenin yaşı 1, çocukların toplamı 3 artar; aradaki 18 yıllık fark her yıl 2 kapanır. 18 / 2 = 9 yıl sonra eşitlenirler. Denklemle: 38 + t = 20 + 3t, t = 9.

Bu kalıpta kilit düşünce, iki tarafın farklı hızlarla büyümesidir: bir tarafta bir kişi, öteki tarafta birkaç kişi vardır.

"Ben senin yaşındayken"

"Ali, Veli'ye diyor ki: Ben senin yaşındayken sen 10 yaşındaydın; sen benim yaşıma geldiğinde ben 31 yaşında olacağım." Bu tür cümleleri bir sayı doğrusu üzerinde düşün. Ali ile Veli arasındaki yaş farkı d olsun. "Ben senin yaşındayken" d yıl öncesini anlatır: o zaman Veli 10 yaşındaydı, yani Veli'nin bugünkü yaşı 10 + d. "Sen benim yaşıma geldiğinde" d yıl sonrasını anlatır: o zaman Ali 31 olacak, yani Ali'nin bugünkü yaşı 31 − d.

Ali ile Veli arasındaki fark d olduğuna göre (31 − d) − (10 + d) = d, 21 = 3d, d = 7. Veli 17, Ali 24 yaşındadır. Sağlama: 7 yıl önce Ali 17, Veli 10; 7 yıl sonra Veli 24, Ali 31.

Bu kalıbın özü şudur: sayı doğrusunda 10, Veli'nin yaşı, Ali'nin yaşı ve 31 aralarında eşit adımlarla (d) sıralanır. 10'dan 31'e üç adım vardır.

Doğum yılı

Doğum yılı ile yaş arasındaki bağ yıl farkıdır: bir kişinin belirli bir yıldaki yaşı, o yıl ile doğum yılının farkıdır (doğum günü geçmişse). 2031'de 40 yaşına basacak kişi 1991'de doğmuştur ve 2010'da 19 yaşındaydı.

Soru kökleri

Yaş problemleri çoğunlukla "… şimdi kaç yaşındadır?", "kaç yıl sonra … katı olur?" ve "yaşları toplamı kaçtır?" kökleriyle gelir. Hangisi olursa olsun ilk iş, farkın sabit olduğunu ve zaman kaydırıldığında herkese aynı sayının eklendiğini hatırlamaktır.

4Çözümlü örnekler

Örnek 1 — Tablo ile oran

Soru: Bir annenin yaşı kızının yaşının 4 katıdır. 6 yıl sonra annenin yaşı kızının yaşının 3 katı olacaktır. Annenin bugünkü yaşı kaçtır?

  • A) 36
  • B) 40
  • C) 44
  • D) 48
  • E) 52

Çözüm: Kız x, anne 4x olsun. 6 yıl sonra ikisine de 6 eklenir: 4x + 6 = 3(x + 6). Buradan x = 12 ve annenin yaşı 48 bulunur. Sağlama: 6 yıl sonra 54 ve 18. Cevap: D.

Örnek 2 — Sabit fark ve parça

Soru: 40 yaşındaki bir baba, oğlundan 28 yaş büyüktür. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?

  • A) 1
  • B) 2
  • C) 3
  • D) 4
  • E) 5

Çözüm: Oğul bugün 12 yaşındadır. Oran 3'e 1 olduğunda fark 2 parçadır ve 28 eder; bir parça 14'tür. Oğul 14 yaşına geldiğinde baba 42 olur ve 42 = 3 · 14. Bu, 2 yıl sonradır. Cevap: B.

Örnek 3 — Farklı hızda büyüyen iki taraf

Soru: 38 yaşındaki bir annenin üç çocuğunun yaşları toplamı 20'dir. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olur?

  • A) 6
  • B) 8
  • C) 9
  • D) 10
  • E) 18

Çözüm: Her yıl annenin yaşı 1, çocukların yaş toplamı 3 artar; aradaki fark her yıl 2 kapanır. Bugünkü fark 18 olduğuna göre 9 yıl sonra eşitlenirler. Sağlama: anne 47, çocukların toplamı 20 + 27 = 47. E, bugünkü farkı cevap sanan öğrencinin seçeneğidir. Cevap: C.

Örnek 4 — "Ben senin yaşındayken"

Soru: Ali, Veli'ye şöyle diyor: "Ben senin yaşındayken sen 10 yaşındaydın. Sen benim yaşıma geldiğinde ben 31 yaşında olacağım." Ali'nin bugünkü yaşı kaçtır?

  • A) 17
  • B) 21
  • C) 24
  • D) 27
  • E) 31

Çözüm: Yaş farkı d olsun. 10, Veli'nin yaşı, Ali'nin yaşı ve 31 aralarında d'şer adımla sıralanır; 10'dan 31'e üç adım vardır: 3d = 21, d = 7. Veli 17, Ali 24 yaşındadır. A, Veli'nin yaşıdır. Cevap: C.

5Tuzaklar

  • Zaman kaydırırken yalnızca bir kişiye t eklemek. "6 yıl sonra" herkes için 6 yıl sonradır.
  • Yaş farkının değiştiğini sanmak. Fark sabittir; değişen, orandır.
  • Grup toplamında kişi sayısını unutmak. 4 kişilik ailenin toplamı her yıl 4 artar.
  • Doğmamış kişiyi geçmişin toplamına katmak. Toplam beklenenden az azalıyorsa biri henüz doğmamıştır.
  • Bugünkü farkı "kaç yıl sonra" sanmak. Farklı hızlarda büyüyen iki tarafta fark her yıl hız farkı kadar kapanır.
  • "Ben senin yaşındayken"de d'yi tek adım saymak. Uçlar arasında üç eşit adım vardır.

6Tekrar kartı

  • Yaş farkı sabittir; t yıl sonra herkesin yaşı t artar.
  • n kişilik grubun yaş toplamı t yılda nt değişir.
  • Tabloda satır kişiler, sütun zamanlar; kaydırırken herkese aynı sayıyı ekle.
  • Fark sabitken oran k : 1 ise fark (k − 1) parçadır.
  • Farklı hızlarda büyüyen taraflar: fark / hız farkı = kaç yıl.
  • Toplam beklenenden az azaldıysa bir kişi henüz doğmamıştır.
  • "Ben senin yaşındayken": iki uç arasında üç eşit adım (d).

7Alıştırma

  1. Soru 1 · Kolay

    İki kardeş arasındaki yaş farkı 5'tir. 10 yıl sonra aralarındaki yaş farkı kaç olur?

    1. A)0
    2. B)5
    3. C)10
    4. D)15
    5. E)20
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Yaş farkı zamanla değişmez; iki kardeş de 10 yaş büyür.

  2. Soru 2 · Kolay

    Üç kardeşin yaşları toplamı 27'dir. 4 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur?

    1. A)31
    2. B)35
    3. C)39
    4. D)40
    5. E)43
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Her kardeş 4 yaş büyür ve toplam 3 · 4 = 12 artar; A, toplama yalnızca bir kez 4 ekleyen hatadır.

  3. Soru 3 · Kolay

    Ali 12, babası 40 yaşındadır. Ali 20 yaşına geldiğinde babası kaç yaşında olur?

    1. A)28
    2. B)32
    3. C)40
    4. D)44
    5. E)48
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Aralarındaki 28 yaş farkı değişmez; Ali 20 olduğunda baba 48 olur.

  4. Soru 4 · Kolay

    Bir kişinin 5 yıl önceki yaşı ile 5 yıl sonraki yaşının toplamı 50'dir. Bu kişi bugün kaç yaşındadır?

    1. A)20
    2. B)25
    3. C)30
    4. D)35
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. (x − 5) + (x + 5) = 2x = 50 olduğu için x = 25'tir.

  5. Soru 5 · Orta

    Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katıdır. 10 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacaktır. Babanın bugünkü yaşı kaçtır?

    1. A)10
    2. B)20
    3. C)25
    4. D)30
    5. E)40
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. 3x + 10 = 2(x + 10) denkleminden x = 10 bulunur; baba 30 yaşındadır, A oğlun yaşıdır.

  6. Soru 6 · Orta

    İki kişinin yaşları toplamı 46'dır. 5 yıl önce büyük olanın yaşı küçüğün yaşının 2 katıydı. Büyük olan bugün kaç yaşındadır?

    1. A)29
    2. B)31
    3. C)33
    4. D)34
    5. E)46
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Küçük k ise büyük 46 − k'dir; 41 − k = 2(k − 5) denkleminden k = 17 ve büyük 29 bulunur.

  7. Soru 7 · Orta

    32 yaşındaki bir annenin 4 yaşında bir çocuğu vardır. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocuğunun yaşının 3 katı olur?

    1. A)8
    2. B)10
    3. C)12
    4. D)14
    5. E)28
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Fark 28'dir ve 3'e 1 oranında 2 parçaya denk gelir; çocuk 14 yaşına 10 yıl sonra gelir.

  8. Soru 8 · Orta

    En küçük üyesi 10 yaşında olan 4 kişilik bir ailenin yaşları toplamı bugün 100'dür. Kaç yıl önce ailenin yaşları toplamı 72'ydi?

    1. A)4
    2. B)5
    3. C)6
    4. D)7
    5. E)8
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Toplam her yıl 4 azalır ve 28 azalması 7 yıl sürer; en küçük üye 7 yıl önce de doğmuş olduğu için hesap geçerlidir.

  9. Soru 9 · Orta

    45 yaşındaki bir babanın 13 ve 9 yaşlarında iki çocuğu vardır. Kaç yıl sonra çocukların yaşları toplamı babanın yaşına eşit olur?

    1. A)23
    2. B)25
    3. C)27
    4. D)31
    5. E)45
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Çocukların toplamı her yıl 2, babanın yaşı 1 artar; aradaki 23 yıllık fark her yıl 1 kapanır.

  10. Soru 10 · Orta

    6 yıl önce A'nın yaşı B'nin yaşının 2 katıydı. 6 yıl sonra A'nın yaşı B'nin yaşının 3/2 katı olacaktır. A bugün kaç yaşındadır?

    1. A)18
    2. B)24
    3. C)27
    4. D)30
    5. E)36
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. A = 2B − 6 ve A + 6 = 3(B + 6)/2 eşitliklerinden B = 18, A = 30 bulunur; A seçeneği B'nin yaşıdır.

  11. Soru 11 · Orta

    2031 yılında 40 yaşına basacak olan bir kişi 2010 yılında kaç yaşındaydı?

    1. A)17
    2. B)18
    3. C)19
    4. D)20
    5. E)21
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Bu kişi 2031 − 40 = 1991'de doğmuştur; 2010'da 2010 − 1991 = 19 yaşındaydı.

  12. Soru 12 · Zor

    Ayşe, Zeynep'e şöyle diyor: "Ben senin yaşındayken sen 8 yaşındaydın. Sen benim yaşıma geldiğinde yaşlarımızın toplamı 66 olacak." Ayşe bugün kaç yaşındadır?

    1. A)18
    2. B)20
    3. C)22
    4. D)24
    5. E)28
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. Fark d ise Zeynep 8 + d, Ayşe 8 + 2d yaşındadır; d yıl sonra yaşlar 8 + 2d ve 8 + 3d olur ve toplam 16 + 5d = 66 verir. d = 10 ve Ayşe 28 yaşındadır.

  13. Soru 13 · Zor

    36 yaşındaki bir annenin 10, 7 ve 3 yaşlarında üç çocuğu vardır. Kaç yıl sonra annenin yaşı çocuklarının yaşları toplamına eşit olur?

    1. A)4
    2. B)6
    3. C)8
    4. D)10
    5. E)16
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: C. Aradaki 16 yıllık fark her yıl 2 kapanır (çocuklar 3, anne 1 artar); 8 yıl sonra ikisi de 44 olur. E, bugünkü farktır.

  14. Soru 14 · Zor

    Bir ailede anne ile babanın yaşları toplamı 70, iki çocuğun yaşları toplamı 16'dır. Kaç yıl sonra anne ile babanın yaşları toplamı çocukların yaşları toplamının 2 katı olur?

    1. A)15
    2. B)17
    3. C)18
    4. D)19
    5. E)21
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. t yıl sonra iki grubun toplamı da 2t artar: 70 + 2t = 2(16 + 2t). Denklem 70 + 2t = 32 + 4t'ye iner ve t = 19 bulunur.

  15. Soru 15 · Zor

    4 kişilik bir ailenin bugünkü yaşları toplamı 80'dir. 5 yıl önce ailenin yaşları toplamı 63'tü. Ailenin en küçük üyesi kaç yaşındadır?

    1. A)1
    2. B)2
    3. C)3
    4. D)4
    5. E)5
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Herkes 5 yıl önce yaşasaydı toplam 60 olurdu; 63 olması en küçüğün o zaman doğmadığını gösterir. (80 − y) − 15 = 63 eşitliğinden y = 2'dir.

8Ustalık kapısı

5 soru, 5 dakika. 4 ya da 5 doğru yaptıysan sıradaki derse, «İşçi problemleri» dersine geç. 3 ve altındaysan 3. ve 4. bölümü yeniden oku, sonra kapıyı bir kez daha çöz.

  1. Soru 1 · Orta

    Bir anne kızından 24 yaş büyüktür ve ikisinin yaşları toplamı 50'dir. Kız kaç yaşındadır?

    1. A)13
    2. B)24
    3. C)26
    4. D)37
    5. E)50
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: A. Kız (50 − 24) / 2 = 13, anne 37 yaşındadır; D annenin yaşıdır.

  2. Soru 2 · Orta

    5 kişilik bir grubun yaşları toplamı 90'dır. 3 yıl sonra bu grubun yaşları toplamı kaç olur?

    1. A)93
    2. B)95
    3. C)100
    4. D)105
    5. E)108
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: D. Her kişi 3 yaş büyür ve toplam 5 · 3 = 15 artar; A, toplama bir kez 3 ekleyen hatadır.

  3. Soru 3 · Zor

    Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 5 katıdır. 3 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katı olacaktır. Bugünden kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?

    1. A)6
    2. B)9
    3. C)12
    4. D)15
    5. E)18
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. 5x + 3 = 4(x + 3) denkleminden oğul 9, baba 45 bulunur. Fark 36, 3'e 1 oranında 2 parçadır; oğul 18 yaşına 9 yıl sonra gelir.

  4. Soru 4 · Zor

    Can, Efe'ye şöyle diyor: "Ben senin yaşındayken sen 12 yaşındaydın. Sen benim yaşıma geldiğinde ben 42 yaşında olacağım." Can ile Efe'nin bugünkü yaşları toplamı kaçtır?

    1. A)44
    2. B)46
    3. C)50
    4. D)52
    5. E)54
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: E. 12'den 42'ye üç eşit adım vardır ve bir adım (yaş farkı) 10'dur; Efe 22, Can 32 yaşındadır.

  5. Soru 5 · Zor

    5 kişilik bir ailenin bugünkü yaşları toplamı 100'dür. 4 yıl önce ailenin yaşları toplamı 82'ydi. Ailenin en küçük üyesi kaç yaşındadır?

    1. A)1
    2. B)2
    3. C)3
    4. D)4
    5. E)6
    Önce çöz, sonra cevabı aç

    Cevap: B. Herkes 4 yıl önce yaşasaydı toplam 80 olurdu; 82 olması en küçüğün o zaman doğmadığını gösterir. (100 − y) − 16 = 82 eşitliğinden y = 2'dir.

M09 — Problemler

Modülün bütün dersleri bitince işaretle; modül 1, 3, 7 ve 21. günlerde YKS ana sayfasındaki tekrar listesine döner.