Kesir problemleri

"Harçlığının 1/3'ünü kitaba, kalanın 1/4'ünü ulaşıma harcadı." Bu cümlede iki kesir var, ama ikisi aynı bütünden alınmıyor. 1/3 harçlığın tamamından, 1/4 ise kitaptan sonra kalan paradan hesaplanır. Aynı cümle "harçlığının 1/4'ünü ulaşıma" diye yazılsaydı sonuç başka olurdu. Kesir problemlerinin çoğu bu tek ayrım üzerine kurulur: kesir hangi bütüne ait? Bu derste bu soruyu her cümlede sormayı, kalan zincirlerini tek bir çarpımla hesaplamayı ve sondan başa doğru çalışmayı öğreneceğiz.

• Bir kesrin bütünden mi, kalandan mı alındığını ayırt eder ve kalan kesri doğru hesaplarsın.
• Bir kesre karşılık gelen miktardan bütünü ya da başka bir kesri bulursun.
• Ardışık harcama ve satış problemlerini sondan başa çalışarak çözersin.
• Dolu-boş kap ve zıplayan top gibi kalıplaşmış kesir problemlerini kurarsın.

Bir kesre karşılık gelen miktar

Kesir problemlerinin en temel adımı şudur: bütünün bir kesri biliniyorsa bütün bulunabilir. "Bir sayının 3/5'i 36'dır" cümlesi, sayı 5 eşit parçaya bölündüğünde 3 parçanın 36 ettiğini söyler. Bir parça 36 / 3 = 12, bütün 5 · 12 = 60'tır.

Bu parça düşüncesi doğrudan bir başka kesre de götürür. "Bir yolun 2/7'si 18 km ise 5/7'si kaç km'dir?" Bir parça 18 / 2 = 9 km, 5 parça 45 km'dir. Bütünü bulmaya gerek yoktur.

İç içe kesirler de aynı yolla çözülür: "Bir sayının yarısının 1/3'ü 8'dir." Yarısının 1/3'ü, sayının 1/2 · 1/3 = 1/6'sıdır; 1/6'sı 8 olan sayı 48'dir. "Kesrinin kesri" ifadesi her zaman çarpma demektir.

Bütünden mi, kalandan mı?

Bir metinde birden çok kesir geçtiğinde her birinin neye uygulandığını belirlemek zorundasın.

Bütünden alınan kesirler toplanır. "Maaşının 1/4'ünü kiraya, 1/3'ünü mutfağa harcıyor" cümlesinde iki kesir de maaşın tamamından alınır. Harcanan kısım 1/4 + 1/3 = 7/12, kalan kısım 5/12'dir.

Kalandan alınan kesirler çarpılır. "Harçlığının 1/3'ünü kitaba, kalanın 1/4'ünü ulaşıma harcıyor" cümlesinde ikinci kesir kalana uygulanır. Kitaptan sonra 2/3 kalır; bunun 1/4'ü harcanınca 3/4'ü kalır. Sonunda kalan kısım 2/3 · 3/4 = 1/2'dir.

Genel kural: art arda gelen "kalanın" ifadelerinde her adımda kalan kesri (1 − harcanan) ile çarp. Kalan = bütün · (1 − a) · (1 − b) · (1 − c) · …

Ayrımı gözden kaçırmanın bedeli büyüktür: kalanın 1/4'ünü bütünün 1/4'ü sanan öğrenci 1 − 1/3 − 1/4 = 5/12 bulur, doğru kalan ise 1/2'dir.

Bütüne ne demeli?

Bütünü x almak yerine paydalarla uyumlu bir sayı almak kesirleri ortadan kaldırır. Yalnızca bütünden alınan kesirler varsa paydaların ortak katını al: 1/4 ve 1/3 için bütün 12x olur, kira 3x, mutfak 4x, kalan 5x. Kalan zincirlerinde ise paydaların çarpımını almak her adımı tam sayıda tutar: 1/3 ve kalanın 1/4'ü için bütün 12x olur, kitap 4x, kalan 8x, ulaşım 2x, geriye 6x.

Sondan başa çalışmak

Ardışık işlemlerden sonra kalan miktar verildiğinde, işlemleri tersine çevirerek başa dönmek çoğu zaman en hızlı yoldur. "Bir tüccar kumaşın yarısını, sonra kalanın 1/3'ünü, sonra yeniden kalanın 1/4'ünü sattı ve elinde 30 metre kaldı." Sondan başla:

• Son satıştan sonra kalan 30 metre, son satıştan önceki miktarın 3/4'üdür. Önceki miktar 30 / (3/4) = 40 metre.
• 40 metre, ikinci satıştan önceki miktarın 2/3'üdür. Önceki miktar 60 metre.
• 60 metre, ilk satıştan önceki miktarın 1/2'sidir. Başlangıç 120 metre.

Her adımda "kalanın kesri" ile bölersin. Aynı sonuç çarpım kuralıyla da çıkar: 1/2 · 2/3 · 3/4 = 1/4, bütünün 1/4'ü 30 ise bütün 120'dir. İki yolu birbirinin sağlaması olarak kullanabilirsin.

Kesir ile sabit miktar bir arada

Bazı cümlelerde kesre bir sabit eklenir ya da çıkarılır: "Bir öğrenci parasının 1/3'ünden 20 lira fazlasını harcıyor ve geriye 60 lirası kalıyor." Burada harcanan miktar x/3 + 20'dir; kalan x − (x/3 + 20) = 2x/3 − 20 olur. 2x/3 − 20 = 60 denkleminden 2x/3 = 80 ve x = 120 bulunur. Parça düşüncesiyle de çözülür: sabiti kalana ekle, 60 + 20 = 80 liranın paranın 2/3'ü olduğunu gör. Sabit "eksiği" biçiminde verildiyse ters yönde çıkarırsın. Bu tür cümlelerde parantezi atlamak, sabiti kalandan çıkarmak yerine eklemeye yol açar.

Dolu ve boş kap

"Bir bidon 3/4'ü dolu iken 70 kg, 1/4'ü dolu iken 40 kg gelmektedir. Boş bidon kaç kg'dır?" İki durum arasındaki fark yalnızca sudan gelir: 3/4 − 1/4 = 1/2'lik suyun kütlesi 70 − 40 = 30 kg'dır. Buradan 1/4'lük su 15 kg'dır ve boş bidon 40 − 15 = 25 kg'dır.

Bu kalıpta iki tartım arasındaki fark, kabın kendisini denklemden atar. Önce farktan birim kesrin değerini, sonra ondan kabın kütlesini bul.

Zıplayan top

"27 m yükseklikten bırakılan bir top, her çarpmada düştüğü yüksekliğin 2/3'ü kadar yükseliyor." Topun aldığı yol aşağı ve yukarı hareketlerin toplamıdır. İlk düşüş 27 m'dir. Sonra top 18 m çıkar ve 18 m iner; sonra 12 m çıkar ve 12 m iner. Topun yere ikinci kez çarptığı ana kadar aldığı yol 27 + 18 + 18 = 63 m, üçüncü çarpmaya kadar 63 + 12 + 12 = 87 m'dir.

Bu kalıptaki tek tuzak, ilk bırakılışın tek yönlü olduğunu, sonraki her yüksekliğin ise iki kez (çıkış ve iniş) yol eklediğini unutmaktır.

Kesirli karşılaştırma

"A'nın 2/3'ü B'nin 3/4'üne eşittir" gibi cümleler bir oran bildirir. 2A / 3 = 3B / 4 eşitliğinde içler dışlar çarpımı 8A = 9B verir; A 9 parça, B 8 parçadır. Toplam ya da fark verildiğinde parça düşüncesi soruyu bitirir: A + B = 34 ise bir parça 2, A = 18 ve B = 16'dır.

Soru kökleri

Kesir problemleri çoğunlukla "başlangıçta kaç … vardı?", "tamamı kaçtır?" ya da "boş kap kaç kg'dır?" kökleriyle gelir. Metni okurken her kesrin altına bütünden mi kalandan mı alındığını yaz. Bu küçük not, sorunun kurulumunu belirleyen asıl adımdır.

Örnek 1 — Kalandan alınan kesir

Soru: Bir öğrenci harçlığının 1/3'ünü kitaba, kalanın 1/4'ünü ulaşıma harcıyor ve geriye 180 lirası kalıyor. Öğrencinin harçlığı kaç liradır?

• A) 240
• B) 300
• C) 320
• D) 360
• E) 420

Çözüm: İkinci kesir kalana uygulanır. Kitaptan sonra 2/3 kalır, ulaşımdan sonra bunun 3/4'ü kalır: 2/3 · 3/4 = 1/2. Harçlığın yarısı 180 lira olduğuna göre harçlık 360 liradır. İki kesri de bütünden sayan öğrenci kalanı 5/12 bulur ve 432'ye ulaşır; bu değer seçeneklerde bile yoktur. Cevap: D.

Örnek 2 — Bütünden alınan kesirler

Soru: Bir kişi maaşının 1/4'ünü kiraya, 1/3'ünü mutfak giderlerine ayırıyor ve geriye 2500 lirası kalıyor. Bu kişinin maaşı kaç liradır?

• A) 4800
• B) 5000
• C) 5400
• D) 6000
• E) 7500

Çözüm: İki kesir de maaşın tamamından alınır ve toplanır: 1/4 + 1/3 = 7/12. Kalan kısım 5/12'dir. Maaşı 12x alırsan kalan 5x = 2500, x = 500 ve maaş 6000 lira olur. Cevap: D.

Örnek 3 — Sondan başa

Soru: Bir tüccar elindeki kumaşın yarısını, sonra kalanın 1/3'ünü, sonra kalanın 1/4'ünü satıyor ve elinde 30 metre kumaş kalıyor. Tüccarın başlangıçta kaç metre kumaşı vardı?

• A) 90
• B) 100
• C) 120
• D) 150
• E) 180

Çözüm: Sondan başla. 30 metre, son satıştan önceki miktarın 3/4'ü olduğu için önceki miktar 40 metredir. 40 metre, bir önceki miktarın 2/3'üdür: 60 metre. 60 metre de başlangıcın yarısıdır: 120 metre. Çarpım kuralıyla sağlama: 1/2 · 2/3 · 3/4 = 1/4 ve 120'nin 1/4'ü 30'dur. Cevap: C.

Örnek 4 — Dolu ve boş bidon

Soru: Bir bidon 3/4'ü su ile dolu iken 70 kg, 1/4'ü su ile dolu iken 40 kg gelmektedir. Boş bidon kaç kg'dır?

• A) 15
• B) 20
• C) 25
• D) 30
• E) 35

Çözüm: İki tartım arasındaki fark yalnızca sudan gelir: bidonun 1/2'si kadar su 30 kg'dır, dolayısıyla 1/4'ü kadar su 15 kg'dır. 1/4'ü dolu bidon 40 kg olduğuna göre boş bidon 40 − 15 = 25 kg'dır. D, yarım bidon suyun kütlesidir. Cevap: C.

• Kalanın kesrini bütünün kesri sanmak. "Kalanın 1/4'ü" önceki adımdan kalana uygulanır; kalan kesirler çarpılır, toplanmaz.
• Bütünden alınan kesirleri çarpmak. "Maaşının 1/4'ü ve 1/3'ü" aynı bütündendir; toplanır.
• Sondan başa çalışırken çarpmak. Geriye giderken kalan kesirle bölünür: 30, 3/4 ile bölünür, çarpılmaz.
• Kesrin kesrini toplamak. "Yarısının 1/3'ü" 1/2 · 1/3 = 1/6'dır.
• Dolu-boş sorusunda farkı bütün su sanmak. 3/4 ile 1/4 arasındaki fark 1/2'lik sudur.
• Zıplayan topta yükselişi bir kez saymak. İlk düşüş dışındaki her yükseklik yola iki kez eklenir.