Sayı problemleri

"İki sayının toplamı 50, farkı 14'tür. Büyük sayı kaçtır?" Bu soruyu x ve y ile iki denklem kurarak çözebilirsin; ama bir kez neden işlediğini gördüğünde cevap tek satırdır: (50 + 14) / 2 = 32. Sayı problemleri birkaç tekrar eden kalıptan oluşur: toplam ile fark, toplam ile oran, bölme ile verilen ilişki, aktarma ve sıradaki yer. Bu derste her kalıbın hem denklemle kurulumunu hem de kısa yolunu öğreneceğiz; kısa yolu, kurulumu bildiğin için güvenle kullanacaksın.

• Toplamı ve farkı, toplamı ve oranı ya da farkı ve oranı verilen iki sayıyı bulursun.
• Bölme ile anlatılan ilişkiyi (bölen, bölüm, kalan) denkleme çevirirsin.
• Aktarma ve paylaştırma problemlerini önce-sonra düşüncesiyle kurarsın.
• Bir sıradaki yer bilgisinden kişi sayısını ve konumları hesaplarsın.

Tek bilinmeyenli sayı problemleri

En yalın tür, bir sayı hakkında iki ifadenin eşitlendiği sorulardır: "Bir sayının 3 katının 7 fazlası, aynı sayının 5 katının 9 eksiğine eşittir." Önceki dersteki çeviri kuralıyla sol taraf 3x + 7, sağ taraf 5x − 9 olur. 3x + 7 = 5x − 9 denkleminden 16 = 2x, x = 8 bulunur. Sağlama: 3 · 8 + 7 = 31 ve 5 · 8 − 9 = 31.

Bu türde hata çoğunlukla çözümde değil, çeviridedir. Bu yüzden denklemi kurduktan sonra, çözmeden önce bir kez cümleye dönüp her parçayı karşılaştırmak iyi bir alışkanlıktır.

Toplam ve fark

İki sayının toplamı T, farkı F ise:

büyük sayı = (T + F) / 2, küçük sayı = (T − F) / 2

Nereden geliyor? Büyük b, küçük k olsun. b + k = T ve b − k = F denklemleri toplanırsa 2b = T + F, çıkarılırsa 2k = T − F bulunur. Bir başka görüş: iki sayı eşit olsaydı her biri T / 2 olurdu; fark bu ortalamanın iki yanına eşit paylaşılır, büyük sayı F / 2 yukarıda, küçük sayı F / 2 aşağıdadır.

Toplamı 50, farkı 14 olan sayılar: büyük (50 + 14) / 2 = 32, küçük (50 − 14) / 2 = 18. Sağlama: 32 + 18 = 50, 32 − 18 = 14.

Toplam ve oran

"Büyük sayı küçüğün k katıdır" dendiğinde küçük sayıya x, büyüğe kx de. Toplam T ise x + kx = (k + 1)x = T ve küçük sayı T / (k + 1) olur. İki sayının toplamı 72 ve büyük küçüğün 5 katıysa küçük 72 / 6 = 12, büyük 60'tır.

Bu kalıbın en sık görünen biçimi parça düşüncesidir: büyük sayı 5 parça, küçük sayı 1 parçadır; toplam 6 parça 72 eder, bir parça 12'dir. Oran iki kesirle verildiğinde de aynı düşünce işler. "Birinci sayının 1/3'ü ikincinin 1/5'ine eşittir" cümlesi, birincinin 3 parça, ikincinin 5 parça olduğunu söyler: a / 3 = b / 5 = t ise a = 3t, b = 5t.

Fark ve oran

"Büyük sayı küçüğün 4 katıdır ve aralarındaki fark 36'dır." Küçük x, büyük 4x; fark 3x = 36, x = 12. Parça düşüncesiyle: büyük 4 parça, küçük 1 parça, fark 3 parçadır. Fark her zaman parça sayılarının farkına denk gelir.

Bölme ile verilen ilişki

"Büyük sayı küçük sayıya bölündüğünde bölüm 3, kalan 5'tir." Bölme eşitliği bölünen = bölen · bölüm + kalan olduğu için büyük = 3 · küçük + 5 yazılır. Bu ilişki bir toplam ya da farkla birleşince soru çözülür. Toplam 49 ise küçük k olmak üzere (3k + 5) + k = 49, 4k = 44, k = 11 ve büyük sayı 38'dir.

Bölmede kalan her zaman bölenden küçüktür. Bulduğun küçük sayı kalandan büyük değilse kurulumda bir hata vardır: bölüm 3 kalan 5 için küçük sayı en az 6 olmalıdır.

Paylaştırma

Bir çokluğun birkaç kişi arasında, birbirine göre anlatılan paylarla dağıtıldığı sorularda en küçük paya x demek çoğu zaman en sade kurulumdur. "300 lira üç kardeşe paylaştırılıyor. Ortanca kardeş küçükten 20 lira fazla, büyük kardeş ise ortancanın 2 katı alıyor." Küçük x, ortanca x + 20, büyük 2(x + 20) = 2x + 40. Toplam 4x + 60 = 300, x = 60. Paylar 60, 80 ve 160 liradır. Büyük kardeşin payını 2x + 20 yazmak, "ortancanın 2 katı" ifadesindeki parantezi unutmaktır.

Aktarma

Bir yerden ötekine bir miktar aktarıldığında toplam değişmez; değişen, iki yerdeki miktarların oranıdır. "İki kutuda toplam 80 bilye var. Birinci kutudan ikinciye 10 bilye aktarılınca ikinci kutudaki bilyeler birincidekinin 3 katı oluyor." Aktarmadan sonraki durumda toplam hâlâ 80'dir: birinci 1 parça, ikinci 3 parça, 4 parça 80, bir parça 20. Aktarmadan sonra birinci kutuda 20, ikincide 60 bilye vardır. Başlangıca dönmek için aktarmayı geri al: birinci 30, ikinci 50.

Bu çözümdeki kısa yol, toplamın korunduğunu fark etmektir. Önce-sonra tablosuyla da aynı sonuca ulaşılır: a + b = 80 ve b + 10 = 3(a − 10).

Banknot ve adet problemleri

"5 ve 10 liralık banknotlardan oluşan 20 banknotun toplam değeri 145 liradır. Kaç tane 10 liralık vardır?" İki bilgi iki denklem verir: adetler a + b = 20, değerler 5a + 10b = 145. Kısa yol olarak hepsini 5 liralık varsay: 20 banknot 100 lira ederdi. Aradaki 45 liralık fark, her 10 liralığın 5 lira fazla getirmesinden gelir; 45 / 5 = 9 tane 10 liralık vardır. Bu "hepsini birinden varsay" yolu, iki türün adet ve toplam değer bilgisiyle verildiği bütün sorularda işler.

Sıradaki yer

"Bir sırada Ali baştan 12., sondan 9. kişidir. Sırada kaç kişi vardır?" Baştan sayınca Ali'ye kadar 12 kişi, sondan sayınca Ali'ye kadar 9 kişi vardır; Ali iki sayımda da yer aldığı için bir kez fazla sayılmıştır. Kişi sayısı 12 + 9 − 1 = 20'dir. Ters yönde, 25 kişilik bir sırada baştan 8. olan kişi sondan 25 − 8 + 1 = 18. kişidir.

İki kişi arasındaki kişi sayısı sorulduğunda iki kişinin yerlerini farkla karşılaştır ve 1 çıkar: 15. ile 20. kişiler arasında 20 − 15 − 1 = 4 kişi vardır.

Soru kökleri

Sayı problemleri çoğunlukla "… sayılardan büyüğü/küçüğü kaçtır?", "… başlangıçta kaç tane vardı?" ve "sırada kaç kişi vardır?" kökleriyle gelir. Hangi kalıbın kullanıldığını ilk cümlelerden tanı: toplam ile fark mı, toplam ile oran mı, bölme mi, aktarma mı? Kalıbı tanıdığında kurulum da hazırdır.

Örnek 1 — Toplam ve fark

Soru: İki sayının toplamı 50, farkı 14'tür. Büyük sayı kaçtır?

• A) 18
• B) 25
• C) 28
• D) 32
• E) 36

Çözüm: Büyük sayı (toplam + fark) / 2 = (50 + 14) / 2 = 32'dir. Küçük sayı 18'dir; A, küçük sayıyı büyük sanan öğrencinin cevabıdır. Cevap: D.

Örnek 2 — Toplam ve oran

Soru: İki sayının toplamı 72'dir. Büyük sayı küçük sayının 5 katı olduğuna göre büyük sayı kaçtır?

• A) 12
• B) 36
• C) 60
• D) 64
• E) 66

Çözüm: Küçük sayı 1 parça, büyük sayı 5 parçadır; toplam 6 parça 72 eder ve bir parça 12'dir. Büyük sayı 5 · 12 = 60'tır. A, bir parçayı cevap sanan öğrencinin seçeneğidir. Cevap: C.

Örnek 3 — Bölme ile verilen ilişki

Soru: Toplamları 49 olan iki doğal sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 3, kalan 5'tir. Büyük sayı kaçtır?

• A) 11
• B) 33
• C) 36
• D) 38
• E) 44

Çözüm: Küçük sayı k ise büyük sayı 3k + 5'tir. (3k + 5) + k = 49 denkleminden 4k = 44 ve k = 11 bulunur. Büyük sayı 3 · 11 + 5 = 38'dir. Kalan 5, bölen 11'den küçük olduğu için sonuç tutarlıdır. B, kalanı eklemeyi unutmanın sonucudur. Cevap: D.

Örnek 4 — Sıradaki yer

Soru: Bir sırada Ali baştan 12., sondan 9. kişidir. Bu sırada kaç kişi vardır?

• A) 19
• B) 20
• C) 21
• D) 22
• E) 23

Çözüm: Baştan ve sondan yapılan iki sayımda Ali iki kez sayılır. Kişi sayısı 12 + 9 − 1 = 20'dir. C, Ali'yi iki kez sayan öğrencinin cevabıdır. Cevap: B.

• Toplam-fark sorusunda küçük sayıyı vermek. (T + F) / 2 büyük, (T − F) / 2 küçük sayıdır; sorulanı yeniden oku.
• Oran sorusunda bir parçayı cevap sanmak. Bir parça küçük sayıdır; büyük sayı istenmişse parça sayısıyla çarp.
• Bölmede kalanı unutmak. Büyük = bölen · bölüm + kalan; kalan bölenden küçük olmalıdır.
• Paylaştırmada parantezi atlamak. "Ortancanın 2 katı" 2(x + 20)'dir, 2x + 20 değil.
• Aktarmada başlangıç ile sonu karıştırmak. Oran aktarmadan sonraki duruma aittir; başlangıcı bulmak için aktarmayı geri al.
• Sırada kişiyi iki kez saymak. Baştan ve sondan sıra toplanınca 1 çıkarılır.