Problem kurma şablonu

TYT matematiğinde problemler tek başına 10–12 soru eder ve bu soruların çoğunda zorluk işlemde değil, kurulumdadır. "Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı" ile "bir sayının 3 katının 5 eksiği" aynı sözcüklerden oluşur, ama biri 3(x − 5), öteki 3x − 5'tir. Denklem doğru kurulduğunda geri kalanı birkaç satırlık hesaptır; yanlış kurulduğunda en temiz hesap bile yanlış cevaba götürür. Bu derste bütün problem türlerinde kullanacağın beş adımlık bir kurulum şablonu öğreneceğiz: soruyu sondan oku, bilinmeyeni seç, cümleyi çevir, birimi eşitle, sorulanı ver ve sağla.

• Sözel ifadeleri ("fazlası", "eksiği", "katı", "yarısı") doğru sırayla cebirsel ifadeye çevirirsin.
• Bilinmeyeni, denklemi en sade hâle getirecek biçimde seçersin; kesirli problemlerde paydaların ortak katını kullanırsın.
• Birimleri çözümden önce eşitler, bulduğun değerin sorulan çokluk olup olmadığını denetlersin.
• İki çokluklu problemleri tablo ya da iki denklemle kurarsın.

Neden bir şablon?

Problem soruları kılık değiştirir: bir gün işçi, bir gün havuz, bir gün hız olarak gelir. Ama hepsinin iskeleti aynıdır. Metinde bir ya da birkaç bilinmeyen çokluk vardır, bu çokluklar arasında cümlelerle anlatılan ilişkiler vardır ve bu ilişkilerden biri ya da ikisi denklem kurmaya yeter. Şablon, bu iskeleti her soruda aynı sırayla ortaya çıkarmanı sağlar. Sınav baskısında insanın ilk yaptığı şey metni okuyup doğrudan hesaba girmektir; şablon bu refleksi bir iki saniyelik bir düzene bağlar.

Adım 1: Soruyu sondan oku

Metni okumadan önce son cümleye bak: ne soruluyor? "Kaç yaşındadır?", "kaç liradır?", "başlangıçta kaç tane vardı?", "toplam kaç tane?" Sorulan çokluğu altını çizerek işaretle. Bu hem bilinmeyeni seçmende yol gösterir hem de sonunda yanlış çokluğu cevap olarak işaretleme riskini azaltır. Birçok problemde hesap sonunda bulunan x doğrudan cevap değildir; sorulan x'in iki katı, x'le bir başkasının toplamı ya da başlangıç değeri olabilir.

Adım 2: Bilinmeyeni seç

Hangi çokluğa x dediğin, denklemin ne kadar sade olacağını belirler. Üç pratik kural:

• Birbirine göre anlatılan çokluklarda temel olana x de. "Ali'nin parası Ayşe'nin parasının 3 katıdır" cümlesinde Ayşe'ye x, Ali'ye 3x demek kesirsiz bir kurulum verir. Tersini yapsan Ayşe'ye x/3 demek zorunda kalırsın.
• Kesirli problemlerde paydaların ortak katını al. "Öğrencilerin 1/3'ü gözlüklü, gözlüksüzlerin 1/4'ü sarışın" gibi bir metinde sınıfı 12x almak bütün parçaları tam sayı yapar: gözlüklü 4x, gözlüksüz 8x, sarışın 2x.
• Sorulan çokluk tek başına yeterliyse ona x de. Bu, en son adımda dönüştürme ihtiyacını ortadan kaldırır.

Adım 3: Cümleyi parça parça çevir

Sözel ifadeleri cebire çevirmek bir sözlük işidir:

Çeviride sıra her şeydir. İşlemler cümlede okunan sırayla uygulanır: "x'in 5 eksiğinin 3 katı" önce 5 çıkarıp sonra 3 ile çarpar, 3(x − 5); "x'in 3 katının 5 eksiği" önce 3 ile çarpıp sonra 5 çıkarır, 3x − 5. İkinci bir işlem, birinci işlemin sonucuna uygulanıyorsa parantez gerekir. Aynı durum kareler için de geçerlidir: "bir sayının karesinin 3 eksiği" x² − 3'tür, "bir sayının 3 eksiğinin karesi" (x − 3)²'dir.

Karşılaştırma cümlelerinde de yön sık karışır. "a, b'den 7 fazladır" cümlesinde büyük olan a'dır: a = b + 7. Bunu a + 7 = b yazmak ilişkiyi ters çevirir. Kuşkuya düştüğünde küçük sayılarla dene: b = 10 ise a = 17 olmalıdır.

Uzun bir cümleyi tek seferde çevirmeye çalışma. "Bir sayının 4 fazlasının 3 katı, aynı sayının 2 katından 20 fazladır" cümlesini eşitliği kuran "fazladır" yükleminden ikiye böl: sol taraf 3(x + 4), sağ taraf 2x + 20; denklem 3(x + 4) = 2x + 20.

Adım 4: Birimleri eşitle

Denklemde yan yana gelen bütün çokluklar aynı birimde olmalıdır. En sık karşılaşılan dönüşümler: 1 saat = 60 dakika, 1 km = 1000 m, 1 lira = 100 kuruş, 1 litre = 1000 mililitre. "Dakikada 12 litre akıtan bir musluk 2 saat 15 dakikada kaç litre akıtır?" sorusunda önce süreyi dakikaya çevir: 135 dakika. Sonuç 135 · 12 = 1620 litredir. 2,15 saat yazıp 2,15 · 12 hesaplamak iki hatayı birden yapar: hem 15 dakikayı 0,15 saat sanmak hem de saat ile dakikayı karıştırmak.

Hız sorularında km/saat ile m/dakika arasındaki geçiş sıkça gerekir: saatte 72 km, dakikada 72 000 / 60 = 1200 metredir.

Adım 5: Çöz, sorulanı ver, sağla

Denklemi çözdükten sonra durmadan önce iki soru sor. Bulduğum değer sorulan çokluk mu? Ayşe'ye x dediysen ve soru Ali'nin parasını istiyorsa, cevap x değil 3x'tir. Sonuç mantıklı mı? Kişi sayısı kesirli, yaş negatif, parça bütünden büyük çıktıysa kurulumda bir hata vardır. Bulduğun değeri metne geri koyup her cümlenin sağlandığını görmek (sağlama) yarım dakika sürer ve çoğu hatayı yakalar.

İki çokluklu problemler: tablo ya da iki denklem

Bazı problemlerde iki bilinmeyen doğal olarak ortaya çıkar. "Bir çiftlikte tavukların ve koyunların toplam 30 başı ve 80 ayağı vardır" sorusunda tavuk sayısı t, koyun sayısı k olsun. Baş sayısından t + k = 30, ayak sayısından 2t + 4k = 80 gelir. İlk denklemi 2 ile çarpıp ikinciden çıkarınca 2k = 20, k = 10 bulunur.

İki denklemi toplamak ya da çıkarmak çoğu zaman hızlı sonuç verir. "3 kalem ile 2 defter 34 lira, 2 kalem ile 3 defter 41 liradır" sorusunda iki denklem toplanırsa 5 kalem + 5 defter = 75, yani bir kalem ile bir defter 15 lira eder; çıkarılırsa defter kalemden 7 lira pahalı çıkar. Buradan defter 11 lira bulunur.

Bir durumun önce ve sonrası anlatılıyorsa küçük bir tablo kur: satırlara kişileri ya da nesneleri, sütunlara "önce" ve "sonra"yı yaz. "Ali, Ayşe'ye 40 lira verirse paraları eşit olur" cümlesinde Ali'nin sütunu 3x → 3x − 40, Ayşe'ninki x → x + 40 olur; denklem 3x − 40 = x + 40'tır.

Seçeneklerden geriye gitmek

Seçenekleri denklemde denemek meşru bir yoldur, ama kurulumun yerine geçmez. Denklemin kurulması zor, seçenekler ise tam sayı ve azsa her seçeneği metne koymak hızlı olabilir. Bu yolu kullanırken ortadaki seçenekten başla: sonuç büyük çıkarsa daha küçük seçeneklere, küçük çıkarsa daha büyüklere geç. Denklem kolay kuruluyorsa deneme yapmak zaman kaybıdır.

Soru kökleri

Problem kurma becerisi iki tür soruda ölçülür. Birincisi, sonucu isteyen olağan sorulardır: "… kaç liradır?" İkincisi, yalnızca kurulumu isteyen sorulardır: "Yukarıdaki durumu ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?" İkinci türde her seçeneği küçük bir sayıyla sına; cümleyi sağlamayan denklemleri hızla elersin.

Örnek 1 — Cümleyi denkleme çevirmek

Soru: "Bir sayının 4 fazlasının 3 katı, aynı sayının 2 katından 20 fazladır." Bu cümleyi ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisidir?

• A) 3x + 4 = 2x + 20
• B) 3(x + 4) = 2x + 20
• C) 3(x + 4) = 2(x + 20)
• D) 3x + 4 = 2(x + 20)
• E) 3(x + 4) + 20 = 2x

Çözüm: Cümleyi "fazladır" fiilinden önce ve sonra ikiye böl. Sol taraf: sayının 4 fazlası x + 4, bunun 3 katı 3(x + 4). Sağ taraf: sayının 2 katı 2x, bundan 20 fazla 2x + 20. A'da parantez unutulmuş, C'de 20 yanlışlıkla 2 ile çarpılmış, E'de 20 ters tarafa geçirilmiştir. Cevap: B.

Örnek 2 — Kesirde ortak kat

Soru: Bir sınıftaki öğrencilerin 1/3'ü gözlüklüdür. Gözlüksüz öğrencilerin 1/4'ü sarışındır. Gözlüksüz sarışın öğrenci sayısı 6 olduğuna göre sınıf kaç kişidir?

• A) 24
• B) 30
• C) 36
• D) 42
• E) 48

Çözüm: Paydalar 3 ve 4'tür; sınıfı 12x al. Gözlüklüler 4x, gözlüksüzler 8x, gözlüksüzlerin 1/4'ü olan sarışınlar 2x olur. 2x = 6 ise x = 3 ve sınıf 36 kişidir. Sağlama: 12 gözlüklü, 24 gözlüksüz, bunların 6'sı sarışın. Cevap: C.

Örnek 3 — Birimi eşitlemek

Soru: Dakikada 12 litre su akıtan bir musluk 2 saat 15 dakikada kaç litre su akıtır?

• A) 162
• B) 270
• C) 1350
• D) 1620
• E) 1800

Çözüm: Musluğun hızı dakika cinsinden verildiği için süreyi dakikaya çevir: 2 · 60 + 15 = 135 dakika. Akan su 135 · 12 = 1620 litredir. E, 15 dakikayı çeyrek saat yerine yarım saat sayan öğrencinin cevabıdır (150 dakika). Cevap: D.

Örnek 4 — Sorulanı vermek

Soru: Ali'nin parası Ayşe'nin parasının 3 katıdır. Ali, Ayşe'ye 40 lira verirse paraları eşit oluyor. Ali'nin başlangıçtaki parası kaç liradır?

• A) 40
• B) 60
• C) 80
• D) 100
• E) 120

Çözüm: Temel çokluk Ayşe'nin parasıdır: Ayşe x, Ali 3x. Para verildikten sonra Ali'de 3x − 40, Ayşe'de x + 40 kalır. 3x − 40 = x + 40 eşitliğinden x = 40 bulunur. Soru Ali'nin parasını ister: 3x = 120. A, bulunan x'i cevap sanan öğrencinin seçeneğidir. Cevap: E.

• Sırayı karıştırmak. "5 eksiğinin 3 katı" 3(x − 5), "3 katının 5 eksiği" 3x − 5'tir.
• Karşılaştırmanın yönünü ters çevirmek. "a, b'den 7 fazladır" a = b + 7 demektir; küçük sayıyla sına.
• Birimleri eşitlemeden hesaplamak. 2 saat 15 dakika 2,15 saat değil, 135 dakikadır.
• x'i cevap sanmak. Sorulan çokluk x'in katı ya da başka bir çokluk olabilir; son cümleyi yeniden oku.
• Kesirli problemde x'i bütün almak. Bütüne paydaların ortak katını (12x gibi) vermek kesirleri ortadan kaldırır.
• Sağlamayı atlamak. Kesirli kişi, negatif yaş ya da bütünden büyük parça kurulum hatasının işaretidir.