Rutin olmayan problemler

Bugün Salı. 100 gün sonra hangi gün olur? Bu soruyu takvim sayfalarını çevirerek çözebilirsin, ama gerek yoktur: günler 7'lik bir döngüde tekrarlanır, 100 günde 14 tam hafta ve 2 gün vardır. 14 hafta sonra yine Salı'dır; 2 gün sonra Perşembe. Rutin olmayan problemler bir formül ezberiyle değil, bir strateji seçimiyle çözülür: bir döngü bulmak, en kötü durumu düşünmek, küçük bir örnek denemek, sondan başa gitmek ya da ihtimalleri sistemli sıralamak. Bu derste bu stratejilerin her birini, hangi soruda işe yaradığını tanıyarak öğreneceğiz. Problemler modülünün bu son dersi, önceki derslerde gördüğün kalıplara uymayan sorular için bir alet çantasıdır.

• Tekrar eden bir döngüyü fark eder, kalanı kullanarak uzak bir terimi bulursun.
• Sayı ve şekil örüntülerinde genel kuralı yazar, istenen terimi hesaplarsın.
• "En az kaç tane çekilmeli?" türü sorularda en kötü durumu kurarak cevabı bulursun.
• Sıralama, sondan başa çalışma ve sistemli listeleme stratejilerini uygun soruda kullanırsın.

Strateji seçimi

Rutin bir problemde ne yapacağını soru tipi söyler: işçi sorusunda hızlar toplanır, karışım sorusunda saf madde korunur. Rutin olmayan bir problemde ise ilk iş hangi stratejinin işe yarayacağını seçmektir. Bu seçimi yapmak için sorunun yapısına bak:

• Aynı şeyler tekrar ediyorsa döngü ara.
• Terimler bir kurala göre büyüyorsa örüntü yaz.
• "Garanti", "emin olmak", "en az kaç" sözcükleri varsa en kötü durumu kur.
• Sonuç verilip başlangıç soruluyorsa sondan başa git.
• Kişiler ya da nesneler bir sıraya diziliyorsa sıralama tablosu çiz.
• "Kaç farklı" soruluyorsa sistemli listele.

Bir strateji işe yaramadığında başka birine geçmek de stratejinin parçasıdır.

Döngü ve kalan

Tekrarlanan bir yapıda uzak bir terimi bulmak için döngünün uzunluğunu bul ve istenen sırayı bu uzunluğa böl; kalan, döngüdeki yeri söyler.

• Günler 7'lik bir döngüdür. Salı'dan 100 gün sonrası için 100'ün 7'ye bölümünden kalan 2'dir; Salı'dan 2 gün sonrası Perşembe'dir. Geriye doğru sayarken kalan kadar geri gidilir: Çarşamba'dan 45 gün önce, 45'in 7'ye bölümünden kalan 3 olduğu için Pazar'dır.
• Saatler 24'lük bir döngüdür. Saat 10.00'dan 100 saat sonra, 100'ün 24'e bölümünden kalan 4 olduğu için saat 14.00'tür.
• Renkli boncuk dizisi kırmızı, sarı, mavi, yeşil diye tekrarlanıyorsa döngü 4'tür. 50. boncuk için kalan 2'dir, yani döngünün ikinci rengi olan sarı.

Kalan 0 çıkarsa istenen terim döngünün son elemanıdır; birinci elemanı değil. Bu nokta döngü sorularının en kolay kaçırılan yeridir.

Birler basamağı döngüsü. Bir sayının kuvvetlerinin birler basamağı da döngüye girer. 3'ün kuvvetleri 3, 9, 27, 81, 243 … birler basamakları 3, 9, 7, 1 diye 4'lük bir döngüde tekrarlanır. 3⁴²'nin birler basamağı için 42'nin 4'e bölümünden kalan 2'dir; döngünün ikinci elemanı 9'dur. 7'nin kuvvetleri 7, 9, 3, 1 döngüsünü izler.

Sayı ve şekil örüntüleri

Bir dizide ardışık terimler arasındaki fark sabitse dizi, ardışık sayılar dersindeki gibi doğrusal büyür: 3, 7, 11, 15 … dizisinde fark 4'tür ve n. terim 3 + (n − 1) · 4'tür. 20. terim 79'dur. Ardışık terimlerin oranı sabitse dizi çarpımla büyür: 2, 6, 18, 54 … dizisinde her terim bir öncekinin 3 katıdır ve sonraki terim 162'dir.

Şekil örüntülerinde önce ilk birkaç şekli say, sonra farka bak. Yan yana dizilen karelerden oluşan bir kibrit çöpü dizisinde 1 kare için 4, 2 kare için 7, 3 kare için 10 çöp gerekir. Her yeni kare 3 çöp ekler; n kare için 3n + 1 çöp gerekir. 20 kare için 61 çöp, 46 çöple ise 15 kare yapılır. Kuralı bulduktan sonra küçük bir örnekle sınamak yanlış kuralı erkenden yakalar.

En kötü durum

"Bakmadan çekilen toplardan en az kaç tanesi çekilirse aynı renkten iki top garanti olur?" türü sorularda şansa değil, en kötü talihe göre düşünürsün. Kendini en şanssız çekilişi yapan kişinin yerine koy ve istenen durumu olabildiğince geciktir.

• Torbada kırmızı, mavi ve yeşil toplar varsa, en kötü durumda ilk üç çekiliş üç farklı renk gelir. Dördüncü çekiliş, hangi renk gelirse gelsin, bir rengi ikinciler. Cevap 3 + 1 = 4'tür. Renk sayısı k ise aynı renkten iki top için k + 1 çekiliş gerekir.
• "En az 3 kırmızı top garanti" isteniyorsa en kötü durumda önce bütün öteki toplar çekilir. 6 kırmızı, 8 mavi, 5 yeşil top varsa 8 + 5 = 13 top çekildikten sonra 3 kırmızı daha çekilmelidir: 16.
• "Her renkten en az bir top garanti" isteniyorsa en kötü durumda en kalabalık iki renk tükenir, sonra üçüncüsünden bir top gelir.

En kötü durum düşüncesi, cevabın hem yeterli hem gerekli olduğunu gösterir: bir eksik çekilişte istenen durumun gerçekleşmediği bir senaryo vardır.

Sıralama problemleri

Kişilerin boy, yaş ya da yarış sırası gibi bir düzene girdiği sorularda her bilgiyi bir sıralama çizgisine işle. Kesin bilgilerden (en son, ikinci sırada) başla, sonra göreli bilgileri (A, B'den önce) yerleştir. Beş kişilik bir sırada Deniz ikinci, Cem en sonda ise geriye 1, 3 ve 4. sıralar kalır. "Bora, Ayşe'nin hemen arkasında" bilgisi ikisini 3 ve 4'e yerleştirir, çünkü 1 ve 2 art arda boş değildir. Geriye kalan Ece birinci sıradadır.

Göreli bilgilerde "önce" ve "sonra"yı karıştırmamak için her bilgiyi bir ok gibi yaz: Alp → Barış, Alp'in Barış'tan önce geldiğini gösterir. Oklar bir zincir oluşturuyorsa sıra kendiliğinden ortaya çıkar.

Sondan başa çalışmak

Bir sayıya art arda işlemler uygulanıp sonuç verildiğinde, işlemleri tersine çevirerek sondan başa gidersin. "Bir sayıya 5 eklenip 3 ile çarpılıyor, sonra 4 çıkarılıp 2'ye bölünüyor; sonuç 25." Sondan başla: 25 · 2 = 50, 50 + 4 = 54, 54 / 3 = 18, 18 − 5 = 13. Her adımda işlemin tersini kullanırsın: bölmenin tersi çarpma, çıkarmanın tersi toplama.

Sistemli listelemek

"Kaç farklı" sorularında olasılıkları gelişigüzel yazmak bazılarını atlamana ya da iki kez saymana yol açar. Bir düzen seç ve ona uy. Toplamı 12 olan, birbirinden farklı üç pozitif tam sayıyı küçükten büyüğe (a < b < c) listelemek için a'yı 1'den başlatıp b'yi artır: (1, 2, 9), (1, 3, 8), (1, 4, 7), (1, 5, 6); sonra a = 2: (2, 3, 7), (2, 4, 6); sonra a = 3: (3, 4, 5). Yedi üçlü vardır.

Değişmez: tek-çift bilgisi

Bazı sorularda bir işlem tekrarlandığında bir şey hiç değişmez; o şeyi bulmak soruyu çözer. Tahtada 1'den 10'a kadar sayılar yazılı olsun; her adımda iki sayı silinip yerlerine farkları yazılsın. Sonunda kalan tek sayı tek mi çift mi? a − b ile a + b her zaman aynı tekliktedir, bu yüzden her adımda sayıların toplamının tekliği değişmez. Başlangıçta toplam 55, yani tektir; son sayı da tek olmalıdır.

Soru kökleri

Rutin olmayan sorular "… hangi gün olur?", "birler basamağı kaçtır?", "en az kaç tane çekilmelidir?", "kaçıncı sıradadır?" ve "kaç farklı … vardır?" gibi köklerle gelir. Kökte strateji için bir ipucu vardır: gün ve saat döngüyü, "en az … garanti" en kötü durumu, "kaç farklı" sistemli listelemeyi çağırır.

Örnek 1 — Günlerin döngüsü

Soru: Bugün günlerden Salı'dır. Bugünden 100 gün sonra günlerden hangisi olur?

• A) Pazartesi
• B) Çarşamba
• C) Perşembe
• D) Cuma
• E) Cumartesi

Çözüm: Günler 7'lik bir döngüdür. 100'ün 7'ye bölümünden kalan 2'dir; 14 tam hafta sonra yine Salı olur, 2 gün sonra Perşembe. Cevap: C.

Örnek 2 — En kötü durum

Soru: Bir torbada 6 kırmızı, 8 mavi ve 5 yeşil top vardır. Torbaya bakmadan en az kaç top çekilirse çekilen toplar arasında en az 3 kırmızı top bulunacağı kesinleşir?

• A) 3
• B) 9
• C) 14
• D) 16
• E) 19

Çözüm: En kötü durumda önce bütün mavi ve yeşil toplar çekilir: 13 top. Bundan sonra çekilen her top kırmızıdır; 3 kırmızı için 3 top daha gerekir. Toplam 16 top. A, en şanslı durumu düşünen cevaptır; E ise bütün toplardır. Cevap: D.

Örnek 3 — Sıralama

Soru: Ali, Berk, Can, Doruk ve Emre'nin boylarıyla ilgili şunlar bilinmektedir: Ali, Berk'ten uzundur. Can, Ali'den uzundur. Doruk, Berk'ten kısadır. Emre, Can'dan uzundur. Buna göre en kısa olan kimdir?

• A) Ali
• B) Berk
• C) Can
• D) Doruk
• E) Emre

Çözüm: Bilgileri uzundan kısaya zincirle: Emre > Can > Ali > Berk > Doruk. En kısa olan Doruk'tur. B, Doruk'a ilişkin bilgiyi atlayan cevaptır. Cevap: D.

Örnek 4 — Şekil örüntüsü

Soru: Kibrit çöpleriyle yan yana kareler dizilerek oluşturulan bir örüntüde 1. şekil 4, 2. şekil 7, 3. şekil 10 çöpten oluşmaktadır. 20. şekil kaç çöpten oluşur?

• A) 58
• B) 60
• C) 61
• D) 63
• E) 80

Çözüm: Her yeni kare 3 çöp ekler; n. şekil 3n + 1 çöpten oluşur. 20. şekil 3 · 20 + 1 = 61 çöptür. E, her kareye 4 çöp sayan hesaptır; ortak kenarlar iki kez sayılmaz. Cevap: C.

• Kalan 0'ı döngünün başı sanmak. Kalan 0 ise terim döngünün son elemanıdır.
• En kötü durum yerine en şanslı durumu düşünmek. "Garanti" sorusunda şansa güvenilmez; istenen durumu en çok geciktiren çekilişi düşün.
• Örüntüyü iki terimden genellemek. Kuralı yazdıktan sonra üçüncü terimle sına.
• Sıralamada göreli bilgiyi kesin sanmak. "A, B'den önce" A'nın hemen önünde olduğunu söylemez.
• Sondan başa giderken işlemi tersine çevirmemek. Çarpmanın tersi bölme, eklemenin tersi çıkarmadır.
• Listelerken düzen seçmemek. Küçükten büyüğe sıralı yazmak atlamayı ve tekrarı önler.