İki bilinmeyenli denklem sistemleri

Bir kırtasiyede iki defter ile bir kalem 31 lira, bir defter bir kalemden 5 lira pahalı. Defter kaç lira? Tek bir cümleyle bu soruyu çözemezsin: "iki defter ile bir kalem 31 lira" bilgisi, defter 10 ve kalem 11 lira olduğunda da, defter 15 ve kalem 1 lira olduğunda da doğrudur. İkinci cümle bu olasılıkların hepsini eler ve tek bir ikiliyi bırakır: defter 12, kalem 7 lira. İki bilinmeyen varken tek bir denklem sonsuz sayıda çözüme izin verir; ikinci bir denklem bu çözümleri genellikle tek bir noktaya indirir. Bir önceki derste tek bilinmeyenli denklemleri çözdük. Bu derste iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan denklem sistemlerini ele alıyoruz: yok etme ve yerine koyma yöntemlerini, kesirli ve ondalıklı sistemleri, bilinmeyenin paydada olduğu sistemleri, üç denklemin toplanmasıyla çözülen sistemleri ve çözümü verilen bir sistemde katsayıları bulmayı.

• İki bilinmeyenli bir sistemi yok etme yöntemiyle, gerekirse denklemleri uygun sayılarla çarparak çözersin.
• Bir bilinmeyeni ötekine bağlı yazıp yerine koyma yöntemini kullanırsın.
• Kesirli, ondalıklı ve bilinmeyeni paydada olan sistemleri sadeleştirip çözersin.
• Simetrik kurulmuş sistemleri toplayıp çıkararak, üç bilinmeyenli toplam sistemlerini taraf tarafa toplayarak kısa yoldan çözersin.

Sistem ve çözüm

İki bilinmeyenli birinci dereceden iki denklemin birlikte ele alınmasına denklem sistemi denir. Sistemin çözümü, iki denklemi aynı anda sağlayan (x, y) ikilisidir. Her denklemin kendi başına sonsuz çözümü vardır; sistem bu iki sonsuz kümenin ortak elemanını arar. Çoğu sistemde bu ortak eleman tektir. Hiç ortak çözüm olmaması ya da sonsuz çok ortak çözüm olması da mümkündür; bu özel durumlar bir sonraki dersin konusudur.

Bulunan bir ikilinin doğruluğu, iki denkleme birden konarak denetlenir. Yalnızca bir denklemi sağlayan ikili, sistemin çözümü değildir.

Yok etme yöntemi

Denklemlerden birinde bir bilinmeyenin katsayısı ötekindekinin tersiyse iki denklem taraf tarafa toplanınca o bilinmeyen yok olur. x + y = 10 ve x − y = 4 sisteminde toplama 2x = 14 verir; x = 7 ve y = 3 bulunur. Katsayılar eşitse denklemler taraf tarafa çıkarılır.

Katsayılar ne eşit ne ters olduğunda denklemler uygun sayılarla çarpılarak eşitlenir. 2x + 3y = 12 ve 3x + 2y = 13 sisteminde x'i yok etmek için birinci denklem 3 ile, ikinci denklem 2 ile çarpılır: 6x + 9y = 36 ve 6x + 4y = 26. Taraf tarafa çıkarınca 5y = 10 ve y = 2 olur; geri konunca x = 3 bulunur. Hangi bilinmeyenin yok edileceğini seçerken daha küçük çarpanlar gerektiren bilinmeyeni seçmek hesabı kısaltır.

Yerine koyma yöntemi

Denklemlerden birinde bir bilinmeyen zaten yalnızsa ya da kolayca yalnız bırakılabiliyorsa yerine koyma daha hızlıdır. y = 2x − 1 ve 3x + y = 14 sisteminde ikinci denklemde y yerine 2x − 1 yazılır: 3x + 2x − 1 = 14, yani 5x = 15 ve x = 3. Sonra y = 2 · 3 − 1 = 5 bulunur.

Yerine koyarken ifade parantez içinde yazılmalıdır; özellikle önünde bir katsayı ya da eksi işareti varsa parantez, eksinin ve katsayının her terime ulaşmasını garanti eder. Yöntem, sözel problemlerde "biri ötekinin üç katı" gibi bir bilgi verildiğinde de doğal olarak kullanılır.

Kesirli ve ondalıklı sistemler

Katsayıları kesir ya da ondalık olan sistemlerde önce her denklem ayrı ayrı temizlenir. x/2 + y/3 = 7 denkleminin iki tarafı 6 ile çarpılınca 3x + 2y = 42 olur. Ondalıklı bir denklem de 10 ya da 100 ile çarpılır. Sistem bu biçime gelince yok etme ya da yerine koyma uygulanır. Her denklem kendi paydalarına göre temizlenir; iki denklemi aynı sayıyla çarpmak gerekmez.

Bilinmeyen paydada

1/x ve 1/y biçiminde bilinmeyenler içeren sistemlerde paydaları temizlemeye çalışmak, ikinci dereceden terimler doğurur. Bunun yerine 1/x ile 1/y birer yeni bilinmeyen gibi düşünülür. 3/x + 2/y = 2 ve 5/x − 2/y = 2 sisteminde iki denklem toplanınca 2/y'ler yok olur: 8/x = 4 ve x = 2 bulunur. Ardından 1/y hesaplanır ve ters çevrilir. Burada da x ile y'nin sıfır olamayacağı unutulmamalıdır.

Simetrik sistemler

4x + 5y = 67 ve 5x + 4y = 68 gibi katsayıların yer değiştirdiği sistemlerde taraf tarafa toplama ve çıkarma çok kısa sonuç verir. Toplayınca 9x + 9y = 135, yani x + y = 15 olur. Çıkarınca x − y = 1 bulunur. Bu iki basit denklemden x ve y hemen elde edilir. Soru çoğu zaman x ile y'yi tek tek değil, yalnızca toplamlarını istediği için bu yol cevabı tek adımda verir.

Benzer bir kısayol, iki kare farkıyla kurulan sistemlerde de işe yarar. Toplam ile kareler farkı biliniyorsa kareler farkı, farkla toplamın çarpımı olarak yazılır ve fark hemen bulunur; sistem böylece birinci dereceye iner.

Üç bilinmeyenli toplam sistemleri

x + y = 8, y + z = 10 ve x + z = 12 gibi sistemlerde her bilinmeyen iki denklemde yer alır. Üç denklem taraf tarafa toplanınca 2(x + y + z) = 30 ve x + y + z = 15 bulunur. Herhangi bir bilinmeyen, bu toplamdan onu içermeyen denklem çıkarılarak elde edilir: z = 15 − 8 = 7. Bu yöntem, üç bilinmeyeni tek tek yerine koymaktan çok daha kısadır.

Çözümü verilen sistem

Bir sistemin çözümü verilip katsayılar sorulduğunda, çözüm iki denklemde de yerine konur. Her denklem bir katsayı için birinci dereceden bir denkleme dönüşür. Bu sorularda dikkat edilecek nokta, verilen ikilinin sırasıdır: (2, 3) ikilisi x = 2 ve y = 3 demektir.

Sorulanı doğrudan hedeflemek

Sistem sorularının önemli bir kısmı bilinmeyenlerin her birini tek tek istemez; toplamlarını, farklarını ya da çarpımlarını ister. Böyle bir soruda önce istenen ifadeye bakmak ve denklemleri o ifadeyi doğrudan verecek biçimde birleştirmek zaman kazandırır. Örneğin istenen x + y ise ve denklemler taraf tarafa toplanınca bütün katsayılar eşit çıkıyorsa, bilinmeyenleri ayrı ayrı bulmaya gerek kalmaz. Bu kısayol işe yaramıyorsa x ile y tek tek bulunur ve istenen ifade en sonda hesaplanır; sonuç değişmez, yalnızca harcanan süre uzar.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri sistemin çözümündeki bir bilinmeyeni, bilinmeyenlerin toplamını ya da çarpımını, kesirli, ondalıklı ve paydalı sistemleri, simetrik sistemleri, üç bilinmeyenli toplam sistemlerini, çözümü verilen sistemde katsayıları ve iki bilinmeyenle kurulan kısa sözel durumları ister.

Örnek 1 — Toplama ile yok etme

Soru: x + y = 35 ve x − y = 9 olduğuna göre x kaçtır?

• A) 13
• B) 26
• C) 22
• D) 44
• E) 17

Çözüm: Taraf tarafa toplanınca 2x = 44 ve x = 22. Cevap: C.

Örnek 2 — Yerine koyma

Soru: y = x + 4 ve 2x + 3y = 37 sisteminde y kaçtır?

• A) 5
• B) 13
• C) 9
• D) 11
• E) 7

Çözüm: 2x + 3(x + 4) = 37 olur; 5x = 25, x = 5 ve y = 9. Cevap: C.

Örnek 3 — Katsayı eşitleme

Soru: 3x + 2y = 36 ve 2x + 5y = 46 sisteminin çözümünde x kaçtır?

• A) 8
• B) 6
• C) 12
• D) 10
• E) 4

Çözüm: Denklemler 2 ve 3 ile çarpılır: 6x + 4y = 72, 6x + 15y = 138. Çıkarınca 11y = 66, y = 6 ve x = 8. Cevap: A.

Örnek 4 — Üç denklemi toplamak

Soru: x + y = 11, y + z = 15 ve x + z = 16 olduğuna göre x + y + z kaçtır?

• A) 42
• B) 15
• C) 19
• D) 26
• E) 21

Çözüm: Üç denklem toplanınca 2(x + y + z) = 42 olur. Cevap: E.

• Bulunan ikiliyi yalnız bir denklemde denetlemek. Çözüm iki denklemi de sağlamalıdır.
• Çarparken bir terimi atlamak. Denklem bir sayıyla çarpılınca sağ taraf da çarpılır.
• Yerine koyarken parantezi unutmak. 3(x + 4) yerine 3x + 4 yazmak hatadır.
• Paydalı sistemde paydaları çarpıp kaldırmak. 1/x ve 1/y'yi yeni bilinmeyen gibi kullan.
• Üç denklemi toplayınca ikiye bölmeyi unutmak. Toplam, bilinmeyenlerin toplamının iki katıdır.