Çözüm kümesinin özel durumları

İki arkadaş aynı bilmeceyi farklı kâğıtlara yazıyor. Birincisi "Bir sayının iki katına 4 eklersem, sayının 2 fazlasının iki katını bulurum" diyor. İkincisi "Bir sayının bir fazlası, aynı sayının üç fazlasına eşittir" diyor. Birinci bilmeceyi her sayı sağlar: 2x + 4 ile 2(x + 2) her zaman aynıdır. İkinci bilmeceyi hiçbir sayı sağlamaz: bir sayıya 1 ve 3 eklemek hiçbir zaman aynı sonucu vermez. Bu iki cümle, birinci dereceden denklemlerin bir önceki derslerde görmediğimiz iki yüzünü gösteriyor: bütün sayıların çözüm olduğu durum ve hiçbir sayının çözüm olmadığı durum. Bu ünitenin önceki iki dersinde tek bir kök ya da tek bir (x, y) ikilisi bulduk. Bu derste çözüm kümesinin boş ya da sonsuz olduğu durumları, bir parametrenin bu durumları nasıl belirlediğini, iki bilinmeyenli sistemlerde katsayıların oranlarıyla bu durumları tanımayı ve paydalı denklemlerde kökün elenmesiyle oluşan boş kümeyi işliyoruz.

• ax = b biçimindeki bir denklemin tek çözümlü, çözümsüz ya da sonsuz çözümlü olduğunu a ve b'ye bakarak belirlersin.
• Parametreli denklemlerde çözüm kümesini boş ya da ℝ yapan parametre değerini bulursun.
• İki bilinmeyenli sistemlerde katsayı oranlarını karşılaştırarak sistemin çözüm sayısını belirlersin.
• Paydayı sıfır yapan değerler ve sayı kümesi kısıtı yüzünden çözüm kümesinin boşaldığı durumları tanırsın.

Çözüm kümesi

Bir denklemi sağlayan bütün değerlerin oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir. Bir önceki derslerdeki denklemlerin çözüm kümesi tek elemanlıydı. Ama her denklem böyle değildir. Çözüm kümesi boş olabilir; bu durumda ∅ ile gösterilir ve denklem çözümsüzdür. Çözüm kümesi bütün gerçek sayılar da olabilir; bu durumda ℝ ile gösterilir ve eşitlik aslında bir özdeşliktir.

ax = b biçiminde üç durum

Birinci dereceden her denklem sadeleştirilince ax = b biçimine gelir. Üç durum vardır. a sıfırdan farklıysa tek çözüm vardır: x = b/a. a = 0 ve b sıfırdan farklıysa denklem 0 = b gibi yanlış bir eşitliğe döner ve çözüm kümesi boştur. a = 0 ve b = 0 ise denklem 0 = 0 olur; bu her x için doğrudur ve çözüm kümesi ℝ'dir.

Kancadaki iki bilmece bu durumların örnekleridir. 2x + 4 = 2(x + 2) sadeleşince 0 = 0 olur. Öteki bilmece sadeleşince 0 = 2 gibi doğru olmayan bir eşitliğe iner. Sadeleştirme sırasında x'li terimlerin tamamen silindiğini görmek, özel bir durumla karşı karşıya olduğunun işaretidir. Bu noktada geriye kalan eşitliğin doğru mu yanlış mı olduğuna bakmak yeterlidir.

Parametreli denklemler

Katsayılardan biri bir harfe bağlıysa çözüm kümesi o harfin değerine göre değişir. (a − 1)x = 5 denkleminde a = 1 olursa denklem 0 = 5 olur ve çözüm kümesi boştur; a başka herhangi bir değer alırsa tek çözüm vardır.

Hem katsayı hem sağ taraf parametreye bağlıysa iki koşul birlikte incelenir. (m − 2)x = m² − 4 denkleminde katsayıyı sıfır yapan değer m = 2'dir. Bu değerde sağ taraf da 4 − 4 = 0 olur; denklem 0 = 0'a döner ve çözüm kümesi ℝ'dir. m = −2'de ise katsayı −4'tür, sıfır değildir; denklem −4x = 0 olur ve tek çözüm x = 0'dır. Bu yüzden önce katsayıyı sıfır yapan değerler bulunur, sonra her biri için sağ tarafın sıfır olup olmadığına bakılır.

"Her x için doğru" ya da "x'ten bağımsız" ifadeleri de çözüm kümesinin ℝ olduğunu söyler. Böyle bir koşulda iki taraftaki x'in katsayıları birbirine, sabit terimler de birbirine eşit olmalıdır.

İki bilinmeyenli sistemlerde özel durumlar

a₁x + b₁y = c₁ ve a₂x + b₂y = c₂ sisteminde katsayıların oranları karşılaştırılır. a₁/a₂ ile b₁/b₂ farklıysa sistemin tek çözümü vardır. Bu iki oran eşit ama c₁/c₂ farklıysa sistem çözümsüzdür: denklemlerden biri ötekinin katı gibi görünür ama sağ tarafları uymaz. Üç oranın üçü de eşitse iki denklem aslında aynı denklemdir ve sistemin sonsuz çözümü vardır.

x + 2y = 3 ve 2x + 4y = 6 sisteminde oranların hepsi 1/2'dir; ikinci denklem birincinin iki katıdır ve sonsuz çözüm vardır. x + 2y = 3 ve 2x + 4y = 7 sisteminde ilk iki oran 1/2, son oran 3/7'dir; sistem çözümsüzdür. Çözümsüz bir sistemde yok etme yöntemi uygulanınca bilinmeyenlerin ikisi birden silinir ve geriye 0 = 1 türünden, hiçbir zaman doğru olmayan bir eşitlik kalır.

Bu durumların geometrik bir anlamı da vardır. Her denklem düzlemde bir doğru belirtir. Tek çözüm, doğruların tek bir noktada kesişmesidir. Çözümsüz sistem iki paralel doğrudur. Sonsuz çözümlü sistem ise üst üste çakışan iki doğrudur.

Paydadan ve sayı kümesinden gelen boş küme

Bilinmeyenin paydada olduğu bir denklemde bulunan değer paydayı sıfır yapıyorsa o değer kök değildir. (x + 3)/(x − 1) = 4/(x − 1) denkleminde paylar eşitlenince x + 3 = 4 ve x = 1 bulunur. Ama x = 1 paydayı sıfır yapar; denklem bu değerde tanımsızdır. Başka bir aday olmadığı için çözüm kümesi boştur.

Denklemin hangi sayı kümesinde çözüldüğü de sonucu etkiler. 3x = 7 denkleminin gerçek sayılarda tek kökü vardır, 7/3. Ama denklem tam sayılarda ya da doğal sayılarda çözülecekse 7/3 bu kümelerde bulunmadığı için çözüm kümesi boştur. Soru kökünde "doğal sayılarda" ya da "tam sayılarda" gibi bir kısıt varsa bulunan sonucun bu kümeye ait olup olmadığı ayrıca denetlenmelidir.

Yöntemi seçmek

Özel durum sorularında önce denklem ax = b biçimine getirilir, sistemlerde ise katsayıların oranları yazılır. Ardından sorunun hangi durumu istediğine bakılır: çözümsüzlük katsayının sıfır, sağ tarafın sıfırdan farklı olmasını; sonsuz çözüm ikisinin de sıfır olmasını gerektirir. Parametre bulunduktan sonra değer denkleme geri konup istenen durumun gerçekten oluştuğu denetlenmelidir, çünkü katsayıyı sıfır yapan her değer aynı sonucu vermez.

Seçeneklerde ∅ ile {0} farkı

Çözüm kümesi sorularında seçeneklerde sık sık hem ∅ hem {0} bulunur ve bu ikisi karıştırılır. ∅ hiçbir sayının denklemi sağlamadığını söyler. {0} ise denklemi sağlayan tek bir sayı olduğunu ve bu sayının sıfır olduğunu söyler. Örneğin 7x = 0 denkleminin çözüm kümesi {0}'dır, boş küme değildir. Bir denklemin sağ tarafının sıfır olması onu çözümsüz yapmaz; çözümsüzlük ancak bilinmeyenin katsayısı sıfırken sağ taraf sıfırdan farklı kaldığında ortaya çıkar.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir denklemin çözüm kümesini, çözüm kümesini boş ya da ℝ yapan parametre değerlerini, her x için doğru olan eşitliklerde katsayıları, çözümsüz ya da sonsuz çözümlü sistemlerde bilinmeyen katsayıları ve paydadan ya da sayı kümesinden dolayı boşalan çözüm kümelerini ister.

Örnek 1 — Özdeşlik

Soru: 4(x − 3) = 4x − 12 denkleminin çözüm kümesi hangisidir?

• A) ∅
• B) {4}
• C) ℝ
• D) {−12}
• E) {12}

Çözüm: Sol taraf açılınca 4x − 12 olur; eşitlik 0 = 0'a döner ve her x için doğrudur. Cevap: C.

Örnek 2 — Boş küme yapan parametre

Soru: (n − 6)x = 9 denkleminin çözüm kümesi boş küme ise n kaçtır?

• A) 9
• B) 6
• C) 54
• D) −9
• E) 15

Çözüm: Katsayı sıfır, sağ taraf 9 olmalıdır: n − 6 = 0 ve n = 6. Cevap: B.

Örnek 3 — Sonsuz çözümlü sistem

Soru: 3x + 5y = 2 ve 9x + ky = 6 sisteminin sonsuz çözümü varsa k kaçtır?

• A) 5
• B) 10
• C) 18
• D) 15
• E) 45

Çözüm: Oranlar eşit olmalıdır: 3/9 = 5/k = 2/6. Buradan k = 15. Cevap: D.

Örnek 4 — Paydadan gelen boş küme

Soru: (x + 4)/(x − 5) = 9/(x − 5) denkleminin çözüm kümesi hangisidir?

• A) ∅
• B) {5}
• C) {9}
• D) ℝ
• E) {−5}

Çözüm: Paylar eşitlenince x = 5 bulunur, ama bu değer paydayı sıfır yapar. Cevap: A.

• x'ler silinince denklemi çözümsüz saymak. Kalan eşitlik doğruysa çözüm kümesi ℝ'dir.
• Katsayıyı sıfır yapan her değeri aynı sanmak. Sağ tarafın da sıfır olup olmadığına bak.
• Sistemlerde yalnızca iki oranı karşılaştırmak. Sabit terimlerin oranı durumu belirler.
• Paydayı sıfır yapan kökü kabul etmek. O değer denklemi tanımsız kılar.
• Sayı kümesi kısıtını unutmak. Doğal sayılarda kesirli kök çözüm değildir.