Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

İki kefeli bir terazinin sol kefesinde dört özdeş kutu ve 3 gramlık bir ağırlık, sağ kefesinde 23 gramlık ağırlık var ve terazi dengede. Bir kutu kaç gramdır? Önce iki kefeden 3'er gram alırsın; denge bozulmaz ve solda dört kutu, sağda 20 gram kalır. Sonra iki kefedeki her şeyi dörde bölersin: bir kutu 5 gram gelir. Bu iki hamle, bir denklemi çözmenin özüdür. 4x + 3 = 23 denkleminde eşittir işareti terazinin dengesidir; iki tarafa aynı işlemi uyguladığın sürece denge korunur ve sonunda x yalnız kalır. Önceki ünitelerde ifadeleri sadeleştirmeyi ve çarpanlarına ayırmayı öğrendin. Bu ünitede eşitlikleri çözmeye geçiyoruz. Bu ilk derste bilinmeyenin yalnızca birinci kuvvetle yer aldığı denklemleri ele alıyoruz: parantezli, kesirli ve ondalıklı denklemleri, bilinmeyenin paydada olduğu denklemleri, kökü verilen denklemde bir katsayıyı bulmayı ve bir formülü istenen değişkene göre düzenlemeyi.

• Bir denklemin iki tarafına aynı işlemi uygulayarak bilinmeyeni yalnız bırakırsın.
• Parantezli, kesirli ve ondalıklı denklemleri önce sadeleştirip sonra çözersin.
• Bilinmeyeni paydada olan denklemlerde içler-dışlar çarpımını kullanır ve paydayı sıfır yapan değerleri elersin.
• Kökü verilen bir denklemde bilinmeyen katsayıyı bulur, bir formülü istenen değişkene göre düzenlersin.

Denklem ve kök

İçinde bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliğe denklem denir. Bilinmeyen yalnızca birinci kuvvetiyle yer alıyorsa denklem birinci derecedendir ve ax + b = 0 biçimine getirilebilir. Denklemi doğru kılan değere kök ya da çözüm denir. a sıfırdan farklıysa birinci dereceden bir denklemin tek bir kökü vardır: x = −b/a.

Bir değerin kök olup olmadığını anlamak için o değer denklemde yerine konur. İki taraf eşit çıkıyorsa değer köktür. Bu denetim, bulunan cevabı sınamanın da en güvenli yoludur.

Denge ilkesi

Bir denklemin iki tarafına aynı sayıyı eklemek, iki taraftan aynı sayıyı çıkarmak, iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak ya da bölmek denklemin kökünü değiştirmez. Çözüm, bu işlemleri bilinmeyeni yalnız bırakacak sırayla uygulamaktır. Günlük dilde söylenen "karşı tarafa geçince işaret değişir" kuralı aslında bu ilkenin kısa yoludur: 4x + 3 = 23 denkleminde 3'ü sağa "geçirmek", iki taraftan 3 çıkarmak demektir.

Bilinmeyen iki tarafta da varsa önce bilinmeyenli terimler bir tarafta, sabitler öbür tarafta toplanır. 2(x + 3) = 5x − 9 denkleminde parantez açılınca 2x + 6 = 5x − 9 olur. 2x iki taraftan çıkarılır ve 6 = 3x − 9 elde edilir; 9 eklenince 15 = 3x ve x = 5 bulunur. Bilinmeyenli terimleri katsayısı büyük olan tarafta toplamak, negatif katsayıyla uğraşmayı önler.

Parantez ve işaret

Parantezin önünde eksi varsa parantez açılırken içindeki her terimin işareti değişir. 4 − (2x − 7) ifadesi 4 − 2x + 7'dir; −7'nin işareti de değişir. Bu adımda yalnızca ilk terimin işaretini değiştirmek, birinci dereceden denklemlerdeki en yaygın hatadır. Parantezin önünde bir katsayı varsa katsayı içerideki her terime dağıtılır.

Kesirli ve ondalıklı denklemler

Katsayıları kesir olan bir denklemde ilk iş paydalardan kurtulmaktır. Bunun için iki taraf, paydaların en küçük ortak katıyla çarpılır. x/3 + x/6 = 4 denkleminde ortak kat 6'dır; iki taraf 6 ile çarpılınca 2x + x = 24 ve x = 8 olur. Pay bir toplam ya da farksa çarpımdan sonra parantez içinde yazılmalıdır; özellikle önünde eksi bulunan bir kesirde bu parantez, işaretlerin doğru dağılmasını sağlar.

Ondalıklı katsayılar da aynı mantıkla temizlenir. 0,4x − 1 = 0,1x + 2 denkleminin iki tarafı 10 ile çarpılınca 4x − 10 = x + 20 olur; 3x = 30 ve x = 10 bulunur. Virgülden sonra iki basamak varsa 100 ile çarpmak gerekir.

Bilinmeyen paydada

Bilinmeyen paydada yer alıyorsa denklem bir orantı biçimindeyse içler-dışlar çarpımı kullanılır. 3/(x + 1) = 2/(x − 1) için 3(x − 1) = 2(x + 1), yani 3x − 3 = 2x + 2 ve x = 5 bulunur. Ama önce paydayı sıfır yapan değerler not edilmelidir: bu denklemde x, −1 ya da 1 olamaz. Bulunan değer bu yasaklı değerlerden biriyse denklemin kökü yoktur. Bu tür denklemlerin birinci dereceye inmesi, paydalar çarpılıp kaldırıldıktan sonra ortaya çıkar.

Kökü verilen denklem

Bazı sorular bir denklemin kökünü verir ve denklemdeki bir katsayıyı sorar. Kök denklemi sağladığı için yerine konur ve katsayı için yeni bir denklem elde edilir. ax + 1 = 7 denkleminin kökü 2 ise 2a + 1 = 7 ve a = 3 olur. Bu sorularda bilinmeyen artık x değil katsayıdır; x yerine sayı konduktan sonra çözülen denklem de birinci derecedendir.

Formül düzenleme

Fizikte ve geometride kullanılan formüller de birer denklemdir. Bir formülü başka bir değişkene göre düzenlemek, o değişkeni denge ilkesiyle yalnız bırakmaktır. v = v₀ + at formülünde t'yi yalnız bırakmak için önce v₀ iki taraftan çıkarılır, sonra a'ya bölünür: t = (v − v₀)/a. Sayısal bir değer sorulduğunda ya önce formül düzenlenip sonra sayılar konur ya da sayılar konup çıkan denklem çözülür; ikinci yol çoğu zaman daha az hata payı taşır.

Yöntemi seçmek

Bir denklemle karşılaşınca sıra şudur: paydalar ve ondalıklar varsa önce onları temizle, sonra parantezleri aç, ardından bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sabitleri öbür tarafa topla ve en son katsayıya böl. Bilinmeyen paydadaysa çalışmaya başlamadan yasaklı değerleri yaz. Sonucu her zaman baştaki denkleme koyarak denetle; bu işlem birkaç saniye sürer ama işaret hatalarının hemen hepsini yakalar.

Denklem ile özdeşlik arasındaki fark

Her eşitlik bir denklem değildir. 2(x + 1) = 2x + 2 eşitliği x'in her değeri için doğrudur; böyle eşitliklere özdeşlik denir ve önceki ünitede kullandığımız çarpanlara ayırma kalıplarının hepsi birer özdeşlikti. Denklem ise yalnızca belirli değerler için doğrudur ve çözmek, bu değerleri bulmak demektir. Bir eşitliği sadeleştirirken bilinmeyenli terimler iki taraftan tamamen siliniyorsa ya bir özdeşlikle ya da hiç kökü olmayan bir eşitlikle karşı karşıyasındır. Bu iki özel durum, ünitenin üçüncü dersinde ayrıntılı olarak ele alınıyor. Bu derste incelenen denklemlerin hepsinde bilinmeyenin katsayısı sadeleştirmeden sonra sıfırdan farklı kalır ve tek bir kök bulunur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri basit ve parantezli denklemlerin kökünü, kesirli ve ondalıklı katsayılı denklemleri, bilinmeyenin paydada olduğu denklemleri, kökü verilen bir denklemde katsayıyı ve bir formülden istenen değişkenin değerini ister.

Örnek 1 — İki tarafta bilinmeyen

Soru: 9x − 4 = 5x + 40 denkleminin kökü kaçtır?

• A) 36
• B) 13
• C) 44
• D) 11
• E) 9

Çözüm: 5x iki taraftan çıkarılır, 4 eklenir: 4x = 44 ve x = 11. Cevap: D.

Örnek 2 — Kesirli denklem

Soru: (x + 4)/5 = (x − 2)/3 denklemini sağlayan x hangisidir?

• A) 7
• B) 22
• C) 16
• D) 11
• E) 33

Çözüm: İçler-dışlar: 3(x + 4) = 5(x − 2), yani 3x + 12 = 5x − 10 ve 2x = 22. Cevap: D.

Örnek 3 — Katsayı bulma

Soru: 3x − a = x + 2 denkleminin kökü 4 ise a kaçtır?

• A) 15
• B) 30
• C) 6
• D) 12
• E) 3

Çözüm: x = 4 konur: 12 − a = 6 ve a = 6. Cevap: C.

Örnek 4 — Bilinmeyen paydada

Soru: (5x − 2)/(x + 2) = 4 denkleminin çözümü nedir?

• A) 6
• B) −2
• C) 14
• D) 20
• E) 10

Çözüm: x ≠ −2 olmak üzere 5x − 2 = 4x + 8 ve x = 10; yasaklı değer değildir. Cevap: E.

• Eksili parantezde yalnız ilk terimi çevirmek. −(2x − 7) = −2x + 7'dir.
• Kesirli denklemde bir terimi ortak katla çarpmayı unutmak. Kesirsiz terimler de çarpılmalıdır.
• Payı toplam olan kesri parantezsiz çarpmak. Özellikle eksili kesirlerde işaret bozulur.
• Yasaklı değerleri denetlememek. Paydayı sıfır yapan bir sonuç kök değildir.
• Formülde sayıları erken yuvarlamak. Önce tam değerlerle çalış, en sonda hesapla.