Oran ve orantı

Bir kek tarifi 3 su bardağı una 2 yumurta istiyor. Misafir çok olduğu için 9 bardak un kullanacaksan kaç yumurta gerekir? Çoğu kişi bu soruyu hiç düşünmeden 6 diye cevaplar: un üç katına çıkınca yumurta da üç katına çıkmalıdır. Bu sezginin matematikteki adı orantıdır. Un ile yumurtanın 3'e 2 olan ilişkisi bir oran, bu ilişkinin büyük tarifte de korunması ise bir orantıdır. Oran ve orantı, bir haritadaki uzaklığı gerçek uzaklığa çevirmekten bir ödülü emeğe göre paylaştırmaya kadar sayısız yerde kullanılır. Bu derste iki çokluğun oranını doğru kurmayı, orantıda bilinmeyeni bulmayı, eşit oranları bir sabitle yazmayı, bir miktarı verilen oranda bölüştürmeyi ve iki ayrı oranı tek bir oranda birleştirmeyi işliyoruz. Çoklukların birlikte nasıl değiştiğini inceleyen doğru ve ters orantı ise bir sonraki dersin konusu.

• Aynı cinsten iki çokluğun oranını, birimleri eşitleyerek kurarsın.
• a/b = c/d orantısında içler ve dışlar çarpımıyla bilinmeyeni bulursun.
• Eşit oranları ortak bir k sabitiyle yazar, bölüştürme ve toplam problemlerini çözersin.
• a:b ve b:c gibi iki oranı ortak terim üzerinden a:b:c biçiminde birleştirirsin.

Oran nedir?

İki çokluğun bölümüne oran denir; a/b biçiminde ya da iki nokta üst üsteyle a:b biçiminde yazılır. Oran, bir çokluğun ötekinin kaç katı olduğunu söyler. Bir okulda 300 kız ve 200 erkek öğrenci varsa kızların erkeklere oranı 300/200 = 3/2'dir; her 2 erkeğe karşılık 3 kız vardır.

Oran kurulurken iki kural önemlidir. Birincisi, oranlanan çokluklar aynı cinsten olmalı ve aynı birimle ölçülmelidir. 2 saat ile 40 dakikanın oranı 2/40 değildir; önce saat dakikaya çevrilir ve oran 120/40 = 3 bulunur. Aynı cinsten iki çokluğun oranı birimsiz bir sayıdır. İkincisi, oranın sırası önemlidir: kızların erkeklere oranı 3/2 iken erkeklerin kızlara oranı 2/3'tür. Soru kökünde hangi çokluğun önce yazıldığına bakmak bu yüzden gereklidir.

Farklı cinsten iki çokluğun bölümü de günlük hayatta sık kullanılır, ama bu durumda sonuç bir birim taşır: kilometre başına yakıt ya da saat başına üretim gibi. Bu derste esas olarak aynı cinsten çoklukların oranı ele alınıyor.

Orantı ve içler-dışlar çarpımı

İki oranın eşitliğine orantı denir: a/b = c/d. Bu eşitlikte a ile d'ye dışlar, b ile c'ye içler denir. Eşitliğin iki tarafı bd ile çarpılınca ad = bc bulunur: dışlar çarpımı içler çarpımına eşittir. Bilinmeyeni bir orantıda bulmanın en kısa yolu budur. 3/x = 9/12 için 9x = 36 ve x = 4 olur.

Kancadaki tarif de böyle çözülür: 3/2 = 9/y yazılır, 3y = 18 ve y = 6 bulunur. Orantıyı kurarken iki oranda da aynı sıranın korunması gerekir: birinci oranda un üstteyse ikincisinde de un üstte olmalıdır.

Orantı sabiti

Birden çok oran birbirine eşitse ortak değerlerine orantı sabiti denir ve genellikle k ile gösterilir. a/2 = b/5 = c/7 = k yazıldığında a = 2k, b = 5k ve c = 7k olur. Bu yazılış, toplam ya da fark verilen soruları tek bilinmeyenli bir denkleme indirir. a + b + c = 70 verilmişse 2k + 5k + 7k = 14k = 70'ten k = 5 bulunur; buradan her çokluk ayrı ayrı hesaplanır.

a:b:c = 2:5:7 yazılışı da aynı anlama gelir. İki nokta üst üste ile yazılan çoklu oranlar, her terimin aynı k ile çarpıldığını söyler. Sorularda en sık yapılan hata, oran sayılarını çokluğun kendisi sanmaktır: 2:5:7 oranındaki üç sayı 2, 5 ve 7 olmak zorunda değildir; 10, 25 ve 35 de bu orandadır.

Eşitlik çarpanlar biçiminde de verilebilir. 2a = 5b ise a/b = 5/2'dir; katsayılar ters yerlere geçer. Üç çokluk için 3a = 4b = 6c gibi bir eşitlikte her terim ortak bir sayıya eşitlenir. Bu ortak sayıyı 12 seçmek işi kolaylaştırır, çünkü 12, 3, 4 ve 6'nın en küçük ortak katıdır: a = 4, b = 3, c = 2 ve oran 4:3:2 olur.

Bölüştürme

Bir miktarı verilen oranda bölüştürmek için oran sayıları toplanır ve miktar bu toplama bölünür; çıkan sayı k'dır. 270 lira 2:3:4 oranında üç kişiye verilecekse oran sayılarının toplamı 9'dur. k = 30 olur ve paylar 60, 90 ve 120 lira bulunur. Payların toplamı baştaki miktarı vermelidir; bu, hesabın doğruluğunu denetlemenin en kısa yoludur.

Bazı sorularda toplam değil, iki pay arasındaki fark verilir. Bu durumda oran sayılarının farkı fark miktarına eşitlenir ve k yine bulunur. Hangi bilginin verildiğine göre denklemin bir tarafı oran sayılarının toplamı, farkı ya da tek bir oran sayısı olur; yöntem aynı kalır.

İki oranı birleştirmek

a:b = 1:2 ve b:c = 3:4 verildiğinde a:b:c oranını bulmak için ortak terim b eşitlenir. Birinci oranda b'nin karşılığı 2, ikincisinde 3'tür. İkisinin ortak katı 6'dır: birinci oran 3 ile çarpılınca 3:6, ikinci oran 2 ile çarpılınca 6:8 olur. Sonuç a:b:c = 3:6:8'dir. Ortak terimi eşitlemeden iki oranı yan yana yazmak, 1:2:4 gibi yanlış bir sonuç verir.

Ölçek

Harita ve planlarda ölçek bir orandır. 1:50000 ölçeği, haritadaki 1 birimin gerçekte 50000 birime karşılık geldiğini söyler. Haritada 4 cm olan bir uzaklık gerçekte 200000 cm, yani 2 km'dir. Ölçek sorularında hata çoğunlukla birim dönüşümünde yapılır; 1 km'nin 100000 cm olduğunu akılda tutmak gerekir.

Orantının özelliklerinden yararlanmak

a/b = c/d ise (a + c)/(b + d) de aynı orana eşittir. Payları ve paydaları toplanan eşit oranlar, aynı oranı verir. Bu özellik, a ile c'nin toplamı bilinirken b ile d'nin toplamını doğrudan bulmayı sağlar. Bir oranın her iki tarafına aynı sayının eklenmesi ise oranı genellikle değiştirir; bu yüzden "eklenince oran değişti" diye kurulan sorularda yeni orantı ayrıca yazılmalıdır.

Bir oran verildiğinde başka bir ifadenin değerini bulmak için de k kullanılır. a/b = 3/2 ise a = 3k ve b = 2k yazılır; ardından istenen ifadede k'ler sadeleşir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri iki çokluğun oranını, orantıda bilinmeyeni, orantı sabitiyle bulunan çoklukları, bir miktarın verilen oranda bölüştürülmesini, iki oranın birleştirilmesini, ölçekle gerçek uzaklığı ve bir oran bilinirken başka bir ifadenin aldığı değeri sorar.

Örnek 1 — İçler ve dışlar

Soru: x/15 = 4/6 orantısında x kaçtır?

• A) 12
• B) 8
• C) 10
• D) 22
• E) 9

Çözüm: Dışlar çarpımı içler çarpımına eşittir: 6x = 60 ve x = 10. Cevap: C.

Örnek 2 — Bölüştürme

Soru: 450 elma iki manav arasında 4:5 oranında paylaştırılırsa küçük pay kaç elma olur?

• A) 250
• B) 200
• C) 180
• D) 225
• E) 150

Çözüm: Oran sayılarının toplamı 9'dur; k = 50 ve küçük pay 4 · 50 = 200. Cevap: B.

Örnek 3 — Oranları birleştirmek

Soru: a:b = 3:2 ve b:c = 5:6 ise a:b:c oranı hangisidir?

• A) 3:2:6
• B) 15:10:6
• C) 3:5:6
• D) 15:10:12
• E) 6:4:5

Çözüm: b'nin karşılıkları 2 ve 5'tir; ortak kat 10. Birinci oran 5 ile, ikinci oran 2 ile çarpılır: 15:10 ve 10:12. Cevap: D.

Örnek 4 — Orandan ifade

Soru: m/n = 3/2 ise (m + 2n)/(m − n) oranının değeri kaçtır?

• A) 9
• B) 7
• C) 14
• D) 7/5
• E) 5/2

Çözüm: m = 3k ve n = 2k yazılır: (3k + 4k)/(3k − 2k) = 7k/k = 7. Cevap: B.

• Birimleri eşitlemeden oran kurmak. Saat ile dakika, kilogram ile gram önce aynı birime çevrilir.
• Oranın sırasını ters yazmak. "a'nın b'ye oranı" a/b'dir.
• Oran sayılarını çokluk sanmak. 2:5 oranındaki çokluklar 2k ve 5k'dır.
• İki oranı ortak terimi eşitlemeden birleştirmek. Ortak terimin karşılıkları önce eşitlenir.
• Ölçekte birim dönüşümünü unutmak. 1 km = 100000 cm.