Rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi

12/18 kesrini sadeleştirirken pay ile paydayı ortak böleni olan 6'ya bölersin ve 2/3 bulursun. Peki (x² − 25)/(x² + 5x) gibi bir kesir sadeleşir mi? İlk bakışta pay ile paydada ortak bir şey görünmez. Ama payı (x + 5)(x − 5) diye, paydası x(x + 5) diye yazınca ikisinde de x + 5 çarpanı ortaya çıkar ve kesir (x − 5)/x'e iner. Sayılarla yaptığın sadeleştirme ile harflerle yapılan arasında yöntem farkı yoktur; tek fark, ortak çarpanı görmek için önce çarpanlara ayırmak gerekmesidir. Bu ünitenin önceki dört dersinde öğrendiğin bütün araçlar, yani ortak paranteze alma, iki kare farkı, küp kalıpları ve üç terimli ayırma, burada birlikte kullanılır. Bu derste payı ve paydası polinom olan kesirlerin, yani rasyonel ifadelerin, tanımsız olduğu değerleri, sadeleştirilmesini ve bu ifadelerle dört işlemi işliyoruz.

• Bir rasyonel ifadenin tanımsız olduğu değerleri paydayı sıfır yapan değerler olarak bulursun.
• Pay ve paydayı çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirirsin; ters işaretli çarpanları −1 ile eşleştirirsin.
• Rasyonel ifadeleri çarpar, böler, ortak paydada toplar ve çıkarırsın.
• Kesrin içinde kesir bulunan karmaşık ifadeleri tek bir kesre indirirsin.

Tanımsız değerler

Bir kesir, paydası sıfır olduğunda tanımsızdır. Rasyonel ifadelerde de paydayı sıfır yapan her değer ifadeyi tanımsız kılar. (x + 2)/(x² − x − 6) ifadesinde payda (x − 3)(x + 2)'dir ve x = 3 ile x = −2 için sıfır olur. İfade bu iki değerde tanımsızdır.

Bu bilgi sadeleştirmeden önce not edilmelidir. (x + 2)/(x² − x − 6) sadeleşince 1/(x − 3) olur. Sade biçim yalnızca x = 3'te tanımsız görünür, ama baştaki ifade x = −2'de de tanımsızdır. Sadeleştirme, ifadenin tanımlı olduğu her değerde aynı sonucu veren daha kısa bir yazılış üretir; tanımsız değerleri ortadan kaldırmaz.

Sadeleştirme: önce çarpanlara ayır

Sadeleştirmenin tek kuralı şudur: yalnızca çarpanlar sadeleşir, terimler sadeleşmez. (x + 3)/3 ifadesinde 3'ler götürülemez, çünkü paydaki 3 bir toplamın parçasıdır, bir çarpan değildir. Bu yüzden ilk iş pay ile paydayı tamamen çarpanlarına ayırmaktır. Sonra her iki tarafta da bulunan çarpanlar sadeleştirilir.

(4x − 8)/(x² − 4) için pay 4(x − 2), payda (x − 2)(x + 2) olarak yazılır. Ortak çarpan x − 2'dir ve sonuç 4/(x + 2) olur. Burada ortak paranteze alma ile iki kare farkı birlikte kullanıldı. Sınavlardaki sadeleştirme sorularının büyük bölümü, pay ve paydanın farklı yöntemlerle ayrılmasını ister.

Ters işaretli çarpanlar

3 − x ile x − 3 birbirinin tersidir: 3 − x = −(x − 3). Bu yüzden (3 − x)/(x − 3) = −1'dir. Pay ve paydada ters işaretli iki çarpan görüldüğünde biri −1 ile çarpılmış öteki olarak yazılır ve sadeleşir; geriye bir eksi işareti kalır. Bu eksiyi kaybetmek, rasyonel ifadelerdeki en sık hatalardan biridir. Kural, terimlerin sırası ters çevrilmiş her farka uygulanır; toplamlara ise uygulanmaz, çünkü 3 + x ile x + 3 aynı ifadedir.

Çarpma ve bölme

İki rasyonel ifade çarpılırken paylar ile paydalar çarpılır. Ama çarpımı açmadan önce her şeyi çarpanlarına ayırıp çapraz sadeleştirme yapmak işi çok kısaltır. (x² − 9)/(x + 1) · (x + 1)/(x − 3) çarpımında x + 1 ve x − 3 sadeleşir ve geriye x + 3 kalır.

Bölme, ikinci kesrin ters çevrilip çarpılmasıdır. Ters çevirme işlemi sadeleştirmeden önce yapılmalıdır; yoksa yanlış çarpanlar götürülebilir. Bölmede bir çarpanın sıfır olmaması gereken yerler de artar: bölen kesrin payı da sıfır olamaz, çünkü ters çevrilince paydaya geçer.

Toplama ve çıkarma

Paydalar aynıysa paylar toplanır ya da çıkarılır. Paydalar farklıysa ortak payda kurulur. Ortak payda, paydaların çarpanlarının en küçük ortak katıdır; sayılardaki EKOK'un harfli karşılığıdır. 1/x + 1/(x + 1) toplamında paydaların ortak çarpanı yoktur ve ortak payda x(x + 1) olur. Paylar genişletilince (x + 1 + x)/(x(x + 1)) = (2x + 1)/(x(x + 1)) bulunur.

Paydalardan biri ötekinin bir çarpanını içeriyorsa ortak payda daha küçüktür. Bu yüzden toplamaya başlamadan önce paydaları da çarpanlarına ayırmak gerekir; aksi hâlde gereğinden büyük bir ortak paydayla çalışılır ve sonuçta sadeleştirilecek fazladan çarpanlar birikir. Toplama ya da çıkarma bittikten sonra sonucun payını da ayırıp bir kez daha sadeleştirme denemek gerekir, çünkü yeni payda paydayla ortak bir çarpan ortaya çıkabilir.

Çıkarmada parantez dikkat ister. İkinci kesrin payı bir toplamsa çıkarma işlemi o toplamın her terimine uygulanır; payı parantez içinde yazmadan eksi işaretini dağıtmak işaret hatasına yol açar.

Karmaşık kesirler

Payında ya da paydasında kesir bulunan ifadelere karmaşık kesir denir. Bunları sadeleştirmenin iki yolu vardır. Birincisi, pay ve paydayı ayrı ayrı tek kesre çevirip sonra bölmektir. İkincisi, içerideki bütün paydaların ortak katıyla pay ve paydayı birlikte çarpmaktır. (1 + 1/x)/(1 − 1/x²) için ikinci yol seçilirse pay ve payda x² ile çarpılır: (x² + x)/(x² − 1). Pay x(x + 1), payda (x − 1)(x + 1) olarak ayrılır ve sonuç x/(x − 1) bulunur.

Değer hesaplamada sadeleştirme

Bir rasyonel ifadenin büyük bir sayıdaki değeri sorulduğunda doğrudan yerine koymak uzun hesaplar ister. Önce sadeleştirmek, ifadeyi çoğu zaman tek bir çarpana ya da sabit bir sayıya indirir. Bu tür sorularda verilen sayının büyüklüğü, önce sadeleştirmenin beklendiğini gösteren bir işarettir.

Seçeneklerle çalışmak

Sadeleştirme sorularında seçenekler genellikle birbirine çok yakındır: aynı çarpanların yalnızca işareti ya da yeri değişir. Bu yüzden sonucu bulduktan sonra bir denetim yapmak yararlıdır. Tanımlı olduğu bilinen küçük bir sayı, örneğin 1 ya da 2, baştaki ifadeye ve seçtiğin sonuca yerleştirilir; iki değer eşit çıkmalıdır. Bu yerleştirmede paydayı sıfır yapan sayılar seçilmez, çünkü orada iki ifade de anlamını yitirir. Bir sayıyla yapılan denetim, sadeleştirmenin doğru olduğunu kesin olarak kanıtlamaz ama yanlış bir seçeneği çoğu zaman hemen eler. İki farklı sayıyla denemek bu güveni artırır.

Sık görülen bir yanılgı

Öğrencilerin önemli bir bölümü, payda ve paydada aynı harf gördüğünde onu götürmeye çalışır. (x + 4)/(x + 7) kesrinde x'ler sadeleşmez; bu kesir zaten en sade biçimindedir. Bir kesrin sadeleşmiş olup olmadığını anlamak için pay ve paydanın çarpanlarına ayrılmış biçimlerine bakılır: ortak bir çarpan yoksa kesir sadeleşmez. Benzer biçimde, payın ya da paydanın bir parçasını sadeleştirip ötekini bırakmak da yanlıştır; çarpan bütün pay ve bütün paydanın çarpanı olmalıdır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri rasyonel ifadelerin sade biçimini, tanımsız oldukları değerleri, ters işaretli çarpanların oranını, rasyonel ifadelerin çarpım, bölüm, toplam ve farkını, karmaşık kesirleri ve sadeleştirme sonrası bir ifadenin değerini ister.

Örnek 1 — Ortak çarpan

Soru: (x² − 49)/(x² − 7x) ifadesinin sade biçimi hangisidir?

• A) (x − 7)/x
• B) x + 7
• C) (x + 7)/x
• D) 7/x
• E) (x + 7)/(x − 7)

Çözüm: Pay (x − 7)(x + 7), payda x(x − 7) olur; x − 7 sadeleşir. Cevap: C.

Örnek 2 — Ters işaret

Soru: (6 − 2a)/(a² − 9) ifadesinin sade biçimi hangisidir?

• A) −2/(a + 3)
• B) 2/(a + 3)
• C) −2/(a − 3)
• D) 2/(a − 3)
• E) −2

Çözüm: 6 − 2a = −2(a − 3) ve a² − 9 = (a − 3)(a + 3) yazılır; a − 3 sadeleşir, eksi kalır. Cevap: A.

Örnek 3 — Üç terimli pay

Soru: (k² + 4k + 3)/(k² − 1) ifadesi neye eşittir?

• A) (k + 3)/(k − 1)
• B) (k + 1)/(k − 1)
• C) k + 3
• D) (k − 1)/(k + 3)
• E) (k − 3)/(k − 1)

Çözüm: Pay (k + 1)(k + 3), payda (k − 1)(k + 1) olur; k + 1 sadeleşir. Cevap: A.

Örnek 4 — Fark

Soru: 2/x − 2/(x + 1) farkı neye eşittir?

• A) 0
• B) 2/(x(x + 1))
• C) 2/(2x + 1)
• D) −2/(x(x + 1))
• E) 4/(x(x + 1))

Çözüm: Ortak payda x(x + 1)'dir: (2x + 2 − 2x)/(x(x + 1)) = 2/(x(x + 1)). Cevap: B.

• Terimleri sadeleştirmek. Yalnızca çarpanlar sadeleşir; (x + 3)/3'te 3'ler götürülmez.
• Ters işaretli çarpanda eksiyi kaybetmek. (3 − x)/(x − 3) = −1'dir.
• Tanımsız değerleri sade biçimden okumak. Tanımsızlık baştaki paydadan bulunur.
• Bölmede ters çevirmeden sadeleştirmek. Önce ikinci kesir ters çevrilir.
• Çıkarmada payı parantezsiz yazmak. Eksi, ikinci payın bütün terimlerine dağılır.