Üç terimli ifadelerin çarpanları

Alanı x² + 8x + 15 metrekare olan dikdörtgen bir bahçenin kenarlarını x cinsinden yazman istensin. Bir kenarı x + 3, öteki x + 5 olan dikdörtgeni düşün: alanı (x + 3)(x + 5)'tir ve çarpım açılınca x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15 bulunur. Demek ki aradığın kenarlar bunlardır. Peki 3 ve 5'i nereden bulduk? Çarpımları 15, toplamları 8 olan iki sayı onlardır. Bu küçük bulmaca, ikinci dereceden üç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırmanın bütün yöntemidir. Önceki iki derste tam kare ile kare farkı gibi özel kalıplarla çalıştık; o kalıplar ancak ifade belli bir biçime uyduğunda işe yarıyordu. Bu derste kalıba uymayan üç terimlileri ele alıyoruz: başkatsayısı 1 olan x² + bx + c ifadeleri, başkatsayısı 1'den farklı ax² + bx + c ifadeleri, iki değişkenli üç terimliler ve yerine koyma ile üç terimliye dönüşen daha karmaşık ifadeler.

• x² + bx + c biçimindeki ifadeleri, çarpımı c ve toplamı b olan iki sayıyı bularak çarpanlarına ayırırsın.
• c'nin ve b'nin işaretinden, aranan iki sayının işaretlerini önceden kestirirsin.
• ax² + bx + c biçimindeki ifadeleri çarpım yöntemiyle ya da deneme ile çarpanlarına ayırırsın.
• Yerine koyma yaparak dördüncü dereceden ya da parantezli ifadeleri üç terimliye indirir ve ayırırsın.

Başkatsayısı 1 olan üç terimliler

(x + m)(x + n) çarpımı açıldığında x² + (m + n)x + mn bulunur. Orta terimin katsayısı iki sayının toplamı, sabit terim ise çarpımıdır. Bu yüzden x² + bx + c ifadesini ayırmak için çarpımı c, toplamı b olan iki sayı aranır. x² + 8x + 15 için çarpımı 15 olan sayı çiftleri 1 ile 15 ve 3 ile 5'tir; toplamı 8 olan çift 3 ile 5'tir.

Arama, sabit terimin çarpanlarından başlar, çünkü bir sayının çarpan çiftleri sınırlıdır ama toplamı belli bir sayı olan çiftler sonsuzdur. Önce c'nin bütün çarpan çiftleri listelenir, sonra toplamı b eden çift seçilir. c büyük bir sayı olduğunda bu liste uzayabilir; o zaman b'ye yakın toplam veren çiftlerden başlamak zaman kazandırır.

İşaretlerden ipucu

c pozitifse iki sayı aynı işaretlidir: b pozitifse ikisi de pozitif, b negatifse ikisi de negatiftir. c negatifse sayılar ters işaretlidir ve mutlak değerce büyük olan sayı b'nin işaretini taşır. x² − 2x − 24 için c = −24 negatif olduğundan sayılardan biri pozitif, öteki negatiftir. Farkları 2 olan çarpan çifti 4 ile 6'dır; b negatif olduğundan büyük olan eksi alınır ve sayılar −6 ile 4 olur. İfade (x − 6)(x + 4)'tür.

İşaret kuralını önceden uygulamak, deneme sayısını yarıya indirir. Bir çarpan çifti seçtikten sonra işaretleri yerleştirip toplamı kontrol etmek, sonucu doğrulamanın da yoludur.

Başkatsayısı 1'den farklı üç terimliler

ax² + bx + c ifadesinde a 1'den farklıysa iki sayının çarpımı artık c değil, a ile c'nin çarpımıdır. 3x² + 11x + 6 için a · c = 18'dir. Çarpımı 18, toplamı 11 olan sayılar 9 ve 2'dir. Orta terim bu iki sayıya bölünür: 3x² + 9x + 2x + 6. Sonra önceki derslerde gördüğümüz gruplama uygulanır: 3x(x + 3) + 2(x + 3) = (3x + 2)(x + 3).

Bu yönteme çarpım yöntemi ya da ac yöntemi denir ve her zaman aynı adımlarla işler: a · c'yi bul, çarpımı a · c ve toplamı b olan iki sayıyı ara, orta terimi bu sayılara göre ikiye ayır, ikişerli grupla. Gruplamadan sonra iki parantez aynı çıkmıyorsa bir hesap hatası yapılmıştır.

Bazı öğrenciler aynı işi çapraz çarpım denen deneme yöntemiyle yapar: ax²'yi iki çarpana, c'yi iki çarpana ayırır ve çapraz çarpımların toplamının bx'i verip vermediğine bakar. Seçenek sayısı az olduğunda bu yöntem hızlıdır; çok olduğunda ac yöntemi daha düzenlidir. İki yöntem de aynı sonuca götürür.

İki değişkenli üç terimliler

x² + 3xy − 10y² gibi ifadelerde y bir sabit gibi düşünülür. −10'u veren ve toplamı 3 olan çift 5 ile −2'dir; ifade (x + 5y)(x − 2y) olur. Tek fark, her çarpanda ikinci terimin y ile birlikte yazılmasıdır. Sonucu açarak denetlemek, y'nin unutulup unutulmadığını hemen gösterir.

Yerine koyma

Bazı ifadeler ilk bakışta üç terimli gibi görünmez ama bir parçası tek bir harfle gösterilince üç terimliye döner. x⁴ − 10x² + 9 ifadesinde x² yerine t yazılırsa t² − 10t + 9 elde edilir. Bu ifade (t − 1)(t − 9)'dur; t yerine yeniden x² konunca (x² − 1)(x² − 9) bulunur. İki parantezin her biri iki kare farkı olduğundan ifade sonunda dört çarpana ayrılır: (x − 1)(x + 1)(x − 3)(x + 3).

Parantezli ifadelerde de aynı fikir işler. (x + 1)² − (x + 1) − 6 ifadesinde x + 1 yerine t yazılırsa t² − t − 6 = (t − 3)(t + 2) olur. Geri dönünce (x − 2)(x + 3) bulunur. Geri dönüşü unutmak, cevabı t cinsinden bırakmak demektir ve seçeneklerde böyle bir ifade yer almaz.

Üslü ifadelerde de yerine koyma kullanılır. 4ˣ, (2ˣ)² demek olduğundan 4ˣ − 5 · 2ˣ + 4 gibi bir ifade 2ˣ yerine bir harf konarak üç terimliye dönüşür.

Denklemlerde kullanım

Bir üç terimli sıfıra eşitlenmişse çarpanlarına ayırmak denklemi çözer, çünkü sıfıra eşit bir çarpımda en az bir çarpan sıfır olmak zorundadır. x² + 2x − 35 = 0 denklemi (x + 7)(x − 5) = 0 biçiminde yazılır ve kökler −7 ile 5 olur. Köklerin toplamının −b'ye, çarpımının c'ye eşit olduğuna dikkat et; bu ilişki, çarpanlara ayırmanın doğruluğunu sınamak için de kullanılabilir.

Yöntemi seçmek

Bir üç terimliyle karşılaşınca önce her terimi bölen bir çarpan var mı diye bakılır; varsa önce o alınır ve parantezin içindeki üç terimli daha küçük sayılarla çalışılır hâle gelir. Sonra baştaki ve sondaki terim birer kare mi diye bakılır; öyleyse tam kare kalıbı denenir. Bunlar işe yaramazsa başkatsayıya göre yöntem seçilir: başkatsayı 1 ise doğrudan toplam ve çarpım araması, değilse ac yöntemi. İfadenin derecesi dörtse ya da içinde tekrar eden bir parça varsa yerine koyma düşünülür.

Her durumda sonuç, çarpanları yeniden çarparak denetlenir. Bu denetim birkaç saniye sürer ama seçeneklerde birbirine çok benzeyen, yalnızca bir işaretle ayrılan cevaplar arasında doğru olanı kesin olarak gösterir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri başkatsayısı 1 olan ve olmayan üç terimlilerin çarpanlarını, bir üç terimlinin çarpanlarından birini, bir çarpanı verilen ifadede eksik katsayıyı, iki değişkenli üç terimlileri, yerine koymayla ayrılan ifadeleri ve üç terimli denklemlerin köklerini ister.

Örnek 1 — Aynı işaretli sayılar

Soru: x² − 8x + 15 ifadesi hangi çarpımla yazılır?

• A) (x + 3)(x + 5)
• B) (x − 1)(x − 15)
• C) (x − 3)(x − 5)
• D) (x + 3)(x − 5)
• E) (x − 3)(x + 5)

Çözüm: Çarpımı 15, toplamı −8 olan sayılar −3 ve −5'tir. Cevap: C.

Örnek 2 — Ters işaretli sayılar

Soru: y² + 4y − 21 ifadesinin eşiti hangisidir?

• A) (y − 7)(y + 3)
• B) (y + 7)(y − 3)
• C) (y + 21)(y − 1)
• D) (y − 7)(y − 3)
• E) (y + 7)(y + 3)

Çözüm: Çarpım −21 olduğundan sayılar ters işaretlidir; toplamı 4 olan çift 7 ve −3'tür. Cevap: B.

Örnek 3 — Başkatsayı 2

Soru: 2k² − 5k − 3 ifadesi hangi çarpıma eşittir?

• A) (2k − 1)(k + 3)
• B) (2k + 3)(k − 1)
• C) (2k − 3)(k + 1)
• D) (k − 3)(k + 1)
• E) (2k + 1)(k − 3)

Çözüm: a · c = −6'dır; çarpımı −6, toplamı −5 olan sayılar −6 ve 1'dir. 2k² − 6k + k − 3 = 2k(k − 3) + (k − 3) = (2k + 1)(k − 3). Cevap: E.

Örnek 4 — Denklem

Soru: x² + 2x − 35 = 0 denkleminin pozitif kökü kaçtır?

• A) 5
• B) 7
• C) 35
• D) 2
• E) 6

Çözüm: (x + 7)(x − 5) = 0 olur; kökler −7 ve 5'tir. Cevap: A.

• Toplam ile çarpımı karıştırmak. Sabit terim çarpımı, orta katsayı toplamı verir.
• Ters işaretli çiftte işareti yanlış sayıya vermek. Mutlak değerce büyük olan, orta katsayının işaretini taşır.
• Başkatsayıyı hesaba katmamak. ax² + bx + c'de aranan çarpım c değil a · c'dir.
• Yerine koymadan sonra geri dönmeyi unutmak. Sonuç baştaki değişkenle yazılmalıdır.
• Ortak çarpanı önce almamak. 2x² + 10x + 12'de önce 2 dışarı alınırsa sayılar küçülür.