Küp açılımları

Kenarı 20 birim olan bir küpün her yüzüne 1 birim kalınlığında bir kat eklendiğini düşün; yeni küpün kenarı 21 olur. Hacmi ne kadar artar? 21³'ü doğrudan hesaplamak üç basamaklı çarpmalar ister. Oysa büyük küpü parçalara ayırınca hesap kendiliğinden kurulur: eski 20 · 20 · 20 küpü, üç yüze yapışan 20 · 20 · 1 boyutunda üç levha, üç kenar boyunca uzanan 20 · 1 · 1 boyutunda üç çubuk ve köşede 1 · 1 · 1 boyutunda küçük bir küp. Toplam 8000 + 1200 + 60 + 1 = 9261'dir. Bu parçalanış, toplamın küpü için yazılan özdeşliğin ta kendisidir. Bir önceki derste kareler için iki özdeşlik gördük. Bu derste küpler için aynı işi yapıyoruz: toplamın ve farkın küpünü açmak, iki küpün toplamını ve farkını çarpanlarına ayırmak ve toplam ile çarpım verildiğinde küpler toplamını bulmak.

• Toplamın ve farkın küpünü açar, katsayıları 1, 3, 3, 1 dizisiyle kurarsın.
• Dört terimli bir ifadenin bir toplamın ya da farkın küpü olup olmadığını tanırsın.
• İki küpün toplamını ve farkını çarpanlarına ayırır, bu kalıbı sayısal hesaplarda kullanırsın.
• İki sayının toplamı veya farkı ile çarpımı biliniyorsa küpler toplamını ve farkını, bir sayı ile tersinin küpleri toplamını bulursun.

Toplamın küpü

(x + y)³ ifadesi, (x + y) ile karesinin çarpımıdır. Karesini önceki dersten biliyoruz: x² + 2xy + y². Bunu bir kez daha (x + y) ile çarpınca x³ + 3x²y + 3xy² + y³ elde edilir. Kancadaki parçalar bu dört terimin her biridir: x³ büyük küp, 3x²y üç levha, 3xy² üç çubuk, y³ köşedeki küçük küp.

Açılımın düzenini akılda tutmanın yolu iki gözlemdir. Birincisi, x'in kuvveti 3'ten 0'a doğru azalırken y'nin kuvveti 0'dan 3'e doğru artar ve her terimde iki kuvvetin toplamı 3'tür. İkincisi, katsayılar sırasıyla 1, 3, 3, 1'dir. Bu katsayılar ileride binom açılımında göreceğin Pascal üçgeninin dördüncü satırıdır.

Farkın küpünde işaretler sırayla değişir: (x − y)³ = x³ − 3x²y + 3xy² − y³. y'nin tek kuvvetlerini içeren terimler eksi, çift kuvvetlerini içerenler artı olur. Bir terimin katsayısı da açılıma girer. (2k − 1)³ açılımında ikinci terim 3 · (2k)² · 1 = 12k²'dir; 2'nin karesini almayı unutmak bu açılımdaki tipik yanlıştır.

Dört terimli bir küpü tanımak

Açılımı tersinden okumak, bir ifadenin küp olup olmadığını anlamayı sağlar. Bunun için önce baştaki ve sondaki terimin küp olup olmadığına, ardından ortadaki iki terimin 3x²y ve 3xy² kalıbına uyup uymadığına bakılır. x³ + 3x² + 3x + 1 ifadesinde ilk terim x³, son terim 1³'tür; ortadaki terimler 3 · x² · 1 ve 3 · x · 1² olduğundan ifade (x + 1)³'tür. İşaretler sırayla artı ve eksi gidiyorsa ifade bir farkın küpüdür.

İki küpün toplamı ve farkı

İki kare farkının bir küp karşılığı vardır, ama bu kez hem toplam hem fark çarpanlarına ayrılır:

x³ − y³ = (x − y)(x² + xy + y²) ve x³ + y³ = (x + y)(x² − xy + y²).

İkinci çarpanın orta terimindeki işaret, birinci çarpanın işaretinin tersidir. Bu ikinci çarpan bir tam kare değildir: orta terimi 2xy değil xy'dir. Tam kareyle karıştırıp x² + 2xy + y² yazmak bu kalıplardaki en yaygın hatadır. Doğruluğu denetlemenin yolu, iki çarpanı çarpıp ara terimlerin birbirini götürdüğünü görmektir.

Katsayılı terimlerde önce her terimin neyin küpü olduğu bulunur. x³ − 8 için 8 = 2³ yazılır ve ifade (x − 2)(x² + 2x + 4) olur. 27 bir küp, 9 ise bir küp değildir; bu yüzden küpleri tanımak için ilk birkaç küpü bilmek gerekir: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000.

Sayısal hesaplarda küp kalıpları

Bu kalıplar büyük küpleri kısa yoldan hesaplamayı da sağlar. 7³ + 3³ toplamında birinci çarpan 7 + 3 = 10'dur ve ikinci çarpan 49 − 21 + 9 = 37 olur; toplam 370'tir. Sorular çoğunlukla birinci çarpan 10, 20 ya da 100 gibi yuvarlak çıkacak şekilde hazırlanır. Bir sayının küpünü hesaplarken de sayıyı yuvarlak bir sayıya yakınlığıyla yazmak işe yarar; kancadaki 21³ bunun örneğiydi.

Toplam ve çarpımdan küpler toplamı

Kareler toplamında olduğu gibi küpler toplamı da toplam ve çarpım cinsinden yazılabilir. Toplamın küpü açılımında ortadaki iki terim 3xy(x + y) biçiminde gruplanır: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y). Buradan x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) bulunur. x + y = 3 ve xy = 2 ise x³ + y³ = 27 − 18 = 9'dur. Fark için aynı yol x³ − y³ = (x − y)³ + 3xy(x − y) eşitliğini verir.

Bir sayı ile tersinin çarpımı 1 olduğundan bu eşitlikler sadeleşir. x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) ve x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)'tir. x + 1/x = 2 ise x³ + 1/x³ = 8 − 6 = 2 bulunur.

Bu eşitlikler ters yönde de kullanılır. Toplam ve küpler toplamı verildiğinde çarpım bulunabilir: x³ + y³ ve x + y bilindiğinde, eşitlikte bilinmeyen olarak yalnızca xy kalır.

Yöntemi seçmek

Bir küp sorusunda önce ifadenin türüne bakılır. İki terimli ve iki terimi de küpse toplam ya da fark kalıbıyla çarpanlara ayrılır. Dört terimliyse ve ilk ile son terim küpse açılımın tersine çevrilip çevrilemeyeceği denenir. Toplamla ya da farkla birlikte çarpım da biliniyorsa aranan ifade bu bilgilerle yazılır; bilinmeyenleri tek tek bulmaya çalışmak hem uzun sürer hem de çoğu zaman tam sayı olmayan sonuçlara götürür. Hesaplama sorularında ise sayıların toplamının ya da farkının yuvarlak bir sayı verip vermediğine bakmak, hangi kalıbın kullanılacağını gösterir.

Bir ifadeyi önce ortak paranteze almak da unutulmamalıdır. 2x³ − 16 ifadesinde önce 2 dışarı alınır ve 2(x³ − 8) elde edilir; küp farkı kalıbı ancak bundan sonra görünür.

Karelerden küplere ne değişir?

Kare özdeşlikleriyle küp özdeşlikleri arasında iki önemli fark vardır. Birincisi işaretle ilgilidir. Bir sayının karesi hiçbir zaman negatif olmaz, ama küpü sayının işaretini korur: (−2)³ = −8'dir. Bu yüzden iki kare toplamı gerçek sayılarda çarpanlarına ayrılmazken iki küp toplamı ayrılır. İkincisi terim sayısıyla ilgilidir. Toplamın karesi üç terim verirken toplamın küpü dört terim verir; terim sayısını saymak, bir açılımın eksik yazılıp yazılmadığını hızla gösterir. Bu iki fark akılda tutulursa küp sorularında kare kalıplarını yanlışlıkla uygulamak da önlenir. Bir sonuç bulduktan sonra küçük sayılarla denemek, örneğin x = 2 ve y = 1 koyup iki tarafı karşılaştırmak, hem açılımı hem çarpanları denetlemenin en kısa yoludur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri toplamın ve farkın küpünün açılımını, bir açılımdaki terimin katsayısını, küp olan dört terimli ifadeleri, küplerin toplamının ve farkının çarpanlarını, küp kalıplarıyla kısalan sayısal işlemleri, toplam ve çarpımdan küpler toplamını ve bir sayı ile tersinin küpleri toplamını ister.

Örnek 1 — Açılım

Soru: (m + 3)³ ifadesinin açılımı hangisidir?

• A) m³ + 27
• B) m³ + 9m² + 27m + 27
• C) m³ + 3m² + 9m + 27
• D) m³ + 9m² + 9m + 27
• E) m³ + 6m² + 9m + 27

Çözüm: Katsayılar 1, 3, 3, 1'dir: m³ + 3 · m² · 3 + 3 · m · 9 + 27. Cevap: B.

Örnek 2 — Küp farkı

Soru: x³ − 8 ifadesinin çarpanları hangisidir?

• A) (x − 2)(x² + 4x + 4)
• B) (x − 2)³
• C) (x + 2)(x² − 2x + 4)
• D) (x − 2)(x² − 2x + 4)
• E) (x − 2)(x² + 2x + 4)

Çözüm: 8 = 2³ olduğundan x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4). Cevap: E.

Örnek 3 — Küpler toplamı

Soru: g + h = 7 ve gh = 12 olduğuna göre g³ + h³ hangi sayıya eşittir?

• A) 343
• B) 252
• C) 91
• D) 25
• E) 133

Çözüm: g³ + h³ = (g + h)³ − 3gh(g + h) = 343 − 252 = 91. Cevap: C.

Örnek 4 — Sayı ve tersi

Soru: x + 1/x = 5 olduğuna göre x³ + 1/x³ hangi sayıya eşittir?

• A) 125
• B) 120
• C) 115
• D) 110
• E) 140

Çözüm: x³ + 1/x³ = 5³ − 3 · 5 = 125 − 15 = 110. Cevap: D.

• Küpü terim terim almak. (x + y)³ ifadesi x³ + y³ değildir; ortada iki terim daha vardır.
• Farkın küpünde işaretleri karıştırmak. İşaretler sırayla artı, eksi, artı, eksi gider.
• İkinci çarpanı tam kare sanmak. x³ − y³'teki ikinci çarpanın orta terimi 2xy değil xy'dir.
• Katsayının küpünü almayı unutmak. (2k)³ = 8k³'tür.
• Küpler toplamında 3xy(x + y) terimini unutmak. Yalnızca (x + y)³ yazmak yetmez.