İki kare farkı ve tam kare özdeşliği

21 · 19 çarpımını akıldan yapabilir misin? İki sayı da 20'ye eşit uzaklıkta: biri bir fazla, öteki bir eksik. Bu durumda çarpım 20² − 1² = 400 − 1 = 399'dur. 41² için de benzer bir kısayol var: 41 = 40 + 1 olduğundan karesi 1600 + 2 · 40 + 1 = 1681 eder. İki hesap da hızlı, çünkü arkalarında her durumda doğru olan iki eşitlik var: tam kare özdeşliği ile iki kare farkı. Bir önceki derste ortak paranteze almayı gördük; o yöntem bir çarpanın bütün terimlerde açıkça yazılı olmasını bekliyordu. Bu dersteki özdeşlikler ise görünürde ortak çarpanı olmayan ifadeleri çarpanlarına ayırır. Bu derste iki kare farkını, toplamın ve farkın karesini, bu kalıpların sayısal hesaplarda kullanımını, verilen toplam ve çarpımdan kareler toplamını bulmayı ve bir ifadeyi tam kareye tamamlamayı işliyoruz.

• İki kare farkı biçimindeki ifadeleri iki çarpanın çarpımına ayırır, bu kalıbı sayısal hesapları kısaltmak için kullanırsın.
• Toplamın ve farkın karesini açar, tam kare olan üç terimli ifadeleri tanırsın.
• Toplam ya da fark ile çarpım verildiğinde kareler toplamını ve farkın karesini bulursun.
• Bir ifadeyi tam kareye tamamlar, eksik terimi ve ifadenin en küçük değerini bulursun.

İki kare farkı

(x − y)(x + y) çarpımı dağıtıldığında x² + xy − xy − y² elde edilir; ortadaki iki terim birbirini götürür ve geriye x² − y² kalır. Bu eşitliği tersinden okumak, iki karenin farkını çarpanlarına ayırmanın yoludur: x² − y² = (x − y)(x + y). Önemli olan, iki terimin de bir şeyin karesi olması ve aralarında eksi işareti bulunmasıdır.

Terimlerin kare olduğunu görmek bazen bir adım ister. 4x² − 9 ifadesinde 4x² = (2x)² ve 9 = 3²'dir; ifade (2x − 3)(2x + 3) olur. Katsayı da kökün içine girer: 25k² karesi alınmış 5k'dır. Kuvvet dörde çıktığında kalıp iki kez uygulanabilir: x⁴ − 16 önce (x² − 4)(x² + 4) olur, sonra x² − 4 bir kez daha ayrılır.

Kareler toplamı ise gerçek sayılarda bu biçimde ayrılmaz. x² + 9 ifadesi iki çarpana bölünmez; iki kare farkını kareler toplamıyla karıştırmak bu ünitedeki en yaygın hatalardan biridir.

Sayısal hesapta iki kare farkı

Kancadaki 21 · 19 hesabı bu kalıbın sayılardaki uygulamasıydı. Bir sayının bir fazlası ile bir eksiğinin çarpımı, o sayının karesinden bir eksiktir. Genel olarak, ortadaki sayıya eşit uzaklıktaki iki sayının çarpımı, ortadaki sayının karesinden uzaklığın karesinin çıkarılmasıyla bulunur.

Kalıp öteki yönde de çalışır. 65² − 35² farkını hesaplamak için iki büyük kare almaya gerek yoktur: (65 − 35)(65 + 35) = 30 · 100 = 3000. Bu tür sorular, iki sayının toplamı ya da farkı yuvarlak bir sayı verecek biçimde kurulur.

Toplamın ve farkın karesi

(x + y)² ifadesi (x + y)(x + y) demektir. Dağıtınca x² + xy + xy + y² = x² + 2xy + y² bulunur. Farkın karesinde orta terimin işareti değişir: (x − y)² = x² − 2xy + y². Bu iki eşitlik tam kare özdeşlikleri olarak bilinir.

En sık yapılan hata, orta terimi unutup (x + y)² yerine x² + y² yazmaktır. Bunun yanlış olduğunu görmek için küçük bir sayı denemek yeterlidir: (2 + 3)² = 25, ama 2² + 3² = 13'tür. Aradaki 12, tam olarak 2 · 2 · 3, yani unutulan orta terimdir.

Bir üç terimli ifadenin tam kare olup olmadığını anlamak için ilk ve son terimin kare olup olmadığına, sonra orta terimin bu karelerin kökleri çarpımının iki katı olup olmadığına bakılır. 4x² + 12x + 9 ifadesinde ilk terim (2x)², son terim 3²'dir ve orta terim 2 · 2x · 3 = 12x'tir; ifade (2x + 3)²'dir. Orta terim farklı çıksaydı ifade tam kare olmazdı.

Sayısal karelerde de aynı açılım kullanılır. 41² = (40 + 1)² ve 99² = (100 − 1)² gibi yazımlar, sayıyı yuvarlak bir sayıya yakın biçimde ifade edip hesabı kolaylaştırır.

Toplam ve çarpımdan kareler toplamı

Tam kare özdeşliği yeniden düzenlenince kareler toplamı için bir eşitlik elde edilir: x² + y² = (x + y)² − 2xy. Toplam ve çarpım verildiğinde x ile y'yi ayrı ayrı hesaplamak gerekmez. x + y = 8 ve xy = 15 ise x² + y² = 64 − 30 = 34'tür. Fark verilmişse x² + y² = (x − y)² + 2xy yazılır.

İki özdeşlik birbirine de bağlanabilir: (x − y)² = (x + y)² − 4xy. Bu eşitlik, toplam ve çarpım bilinirken farkın karesini doğrudan verir.

Aynı fikir bir sayı ile onun tersine de uygulanır. Çarpımları 1 olduğu için x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2'dir. x + 1/x = 3 ise x² + 1/x² = 9 − 2 = 7 bulunur. Fark verilmişse işaret değişir: x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2.

Tam kareye tamamlamak

Bir üç terimli ifadenin tam kare olması için eksik terim bulunabilir. x² + 10x + c ifadesinin tam kare olması için orta terimin katsayısının yarısının karesi gerekir: 5² = 25. Orta terim eksikse ilk ve son terimin köklerinin çarpımının iki katı alınır; x² + kx + 16 için k = 8 ya da k = −8 olur.

Tamamlama, bir ifadenin en küçük değerini bulmanın da yoludur. x² − 4x + 9 ifadesi (x² − 4x + 4) + 5 = (x − 2)² + 5 biçiminde yazılır. Bir kare hiçbir zaman negatif olmadığından ifadenin en küçük değeri 5'tir ve bu değer x = 2'de alınır.

Kesirlerde sadeleştirme

Pay ya da payda iki kare farkıysa çarpanlarına ayrılıp ortak çarpan sadeleştirilebilir. (x² − 25)/(x + 5) ifadesinde pay (x − 5)(x + 5) olur ve sadeleşince x − 5 kalır. Sadeleştirme yalnızca çarpanlar arasında yapılır; pay ve paydadaki terimleri tek tek götürmek yanlış sonuç verir.

Yöntemi seçmek

Bir ifade önüne geldiğinde önce ortak çarpan aranır, sonra terim sayısına bakılır. İki terim varsa ve araları eksiyse iki kare farkı düşünülür. Üç terim varsa ilk ve son terimin kare olup olmadığına bakılır; kareyse ve orta terim uyuyorsa ifade tam karedir. Soruda toplam, fark ve çarpım gibi bilgiler verilmişse aranan ifadeyi bu bilgilerle yazmak için uygun özdeşlik seçilir. Büyük sayılarla yapılan bir hesap karşısında ise sayıları yuvarlak bir sayıya yakınlıklarıyla yazmak çoğu zaman kısayolu açığa çıkarır.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri kare farkı ya da tam kare biçimindeki ifadelerin çarpanlarını, özdeşliklerle kısalan sayısal hesapları, toplam ve çarpım verildiğinde kareler toplamını, bir sayı ile tersinin kareleri toplamını, tam kare için eksik terimi, bir ifadenin en küçük değerini ve sadeleşen kesirleri ister.

Örnek 1 — İki kare farkı

Soru: 25k² − 1 ifadesi hangi iki çarpanın çarpımıdır?

• A) (5k − 1)²
• B) (5k − 1)(5k + 1)
• C) (25k − 1)(k + 1)
• D) 5(k − 1)(k + 1)
• E) (5k + 1)²

Çözüm: 25k² = (5k)² ve 1 = 1²'dir; iki kare farkı (5k − 1)(5k + 1) verir. Cevap: B.

Örnek 2 — Sayısal fark

Soru: 61² − 39² işleminin sonucu kaçtır?

• A) 2200
• B) 484
• C) 1100
• D) 4400
• E) 2000

Çözüm: (61 − 39)(61 + 39) = 22 · 100 = 2200. Cevap: A.

Örnek 3 — Kareler toplamı

Soru: a + b = 7 ve ab = 10 olduğuna göre a² + b² toplamı hangi sayıya eşittir?

• A) 49
• B) 39
• C) 59
• D) 29
• E) 69

Çözüm: a² + b² = (a + b)² − 2ab = 49 − 20 = 29. Cevap: D.

Örnek 4 — Eksik terim

Soru: x² − 14x + c ifadesi bir tam kare olduğuna göre c sayısı kaçtır?

• A) 28
• B) 14
• C) 49
• D) 196
• E) 7

Çözüm: Orta terimin katsayısının yarısı 7'dir; karesi 49. İfade (x − 7)² olur. Cevap: C.

• Orta terimi unutmak. (x + y)² = x² + 2xy + y²'dir; x² + y² değildir.
• Kareler toplamını ayırmaya çalışmak. x² + 9 gerçek sayılarda iki çarpana ayrılmaz.
• Katsayının karesini almayı unutmak. 4x² − 9 ifadesinde 4x², 2x'in karesidir.
• Kesirde terim götürmek. Sadeleştirme yalnızca çarpanlar arasında yapılır.
• Eksik orta terimde tek işaret yazmak. x² + kx + 16 için k hem 8 hem −8 olabilir.