Ortak paranteze alma ve gruplama

29 · 64 + 29 · 36 işlemini kâğıtta yapmak iki çarpma ve bir toplama ister: 1856 + 1044 = 2900. Oysa iki çarpımda da 29 vardır. Onu bir kez dışarı yazarsan geriye 64 + 36 = 100 kalır ve sonuç 29 · 100 = 2900 olur; tek satır, hiç elde yok. Bu küçük hile, cebirin en çok kullanılan araçlarından birinin sayılardaki karşılığıdır: ortak paranteze alma. Dağılma özelliği bir çarpımı toplama açar; ortak paranteze alma aynı yolu tersinden yürür ve toplamı çarpıma çevirir. Bu derste terimlerin ortak çarpanını bulmayı, parantez içinde kalan ifadeyi doğru yazmayı, işareti ters olan parantezleri eşitlemeyi ve dört terimli ifadeleri ikişerli gruplayarak çarpanlarına ayırmayı işliyoruz. Çarpanlara ayırma ünitesinin geri kalanı, iki kare farkı ve tam kare gibi özdeşlikler, hep bu ilk adımın üzerine kurulur.

• Bir ifadenin bütün terimlerinde bulunan en büyük ortak çarpanı (sayı ve değişken) bulur ve dışarı alırsın.
• İşaretleri ters olan parantezleri (m − n ile n − m gibi) eksi işaretiyle eşitleyip ortak çarpan yaparsın.
• Dört terimli ifadeleri ikişerli gruplayarak iki çarpanın çarpımı biçiminde yazarsın.
• Ortak paranteze almayı sayısal hesapları kısaltmak, ifade değeri bulmak ve sıfıra eşit ifadeleri çözmek için kullanırsın.

Dağılma özelliğini tersinden okumak

a(b + c) = ab + ac eşitliği soldan sağa okunduğunda bir çarpımı açar; sağdan sola okunduğunda ise bir toplamı çarpıma dönüştürür. Ortak paranteze alma, bu eşitliğin sağdan sola okunmasıdır. Her terimde bulunan çarpan bir kez parantezin önüne yazılır, parantezin içine de her terimin bu çarpana bölümü konur. İşlemin doğru yapıldığını denetlemenin yolu da aynı eşitliktir: parantezi yeniden dağıttığında baştaki ifadeye dönmelisin.

En büyük ortak çarpanı bulmak

Ortak çarpanın iki bileşeni vardır: katsayıların ortak böleni ve değişkenlerin ortak kuvveti. 12x³ − 8x² ifadesinde 12 ile 8'in EBOB'u 4'tür. İki terimde de x vardır; birinde x³, ötekinde x² olarak. Ortak olan en küçük kuvvet, yani x²'dir. Ortak çarpan 4x² olur ve her terim buna bölünür: 12x³ : 4x² = 3x ve 8x² : 4x² = 2. Sonuç 4x²(3x − 2)'dir.

Değişken sayısı arttığında kural aynı kalır: her değişken için terimlerde görülen en küçük kuvvet alınır, hiç görülmeyen değişken ortak çarpana girmez. Ortak çarpanın en büyük seçilmesi önemlidir. 12x³ − 8x² ifadesini 2x(6x² − 4x) diye yazmak yanlış değildir, ama parantezin içinde hâlâ ortak çarpan kaldığı için tam çarpanlarına ayrılmış sayılmaz. Sınav seçenekleri genellikle tam ayrılmış biçimi verir.

Bir terimin tamamı ortak çarpan olduğunda parantez içinde 1 kalır. kc + k ifadesinde ikinci terim k'nin kendisidir ve k · 1 diye düşünülür; sonuç k(c + 1)'dir. Bu 1'i yazmayı unutmak, ifadeyi bir terim eksik bırakır.

Ortak çarpan bir parantez olabilir

Ortak çarpan tek bir sayı ya da harf olmak zorunda değildir. a(x − 2) + 5(x − 2) ifadesinde iki terim de (x − 2) parantezini içerir. Bu parantez bir bütün olarak dışarı alınır ve geriye a ile 5 kalır. İfadenin tamamını tek bir harfle göstermek, örneğin x − 2 yerine geçici olarak t yazmak, gözün ortak çarpanı görmesini kolaylaştırır: at + 5t = t(a + 5).

İki parantez birbirinin tersi olduğunda önce eşitlenmeleri gerekir. p − q ile q − p aynı değildir ama aralarında yalnızca işaret farkı vardır: q − p = −(p − q). 3(p − q) + x(q − p) ifadesinde ikinci terim −x(p − q) olarak yazılır. Artık iki terimde de (p − q) vardır ve ifade (p − q)(3 − x) olur. İşareti çevirirken eksiyi parantezin önündeki katsayıya taşımak en güvenli yoldur; parantezin içini çevirip katsayıyı unutmak sık yapılan bir hatadır.

Gruplama

Bütün terimlerde ortak bir çarpan yoksa terimler ikişerli gruplanabilir. ax + ay + 2x + 2y ifadesinin dört teriminde ortak çarpan bulunmaz. İlk ikisinden a, son ikisinden 2 dışarı alınınca a(x + y) + 2(x + y) elde edilir. Şimdi iki grupta da (x + y) vardır ve ifade (x + y)(a + 2) olur.

Gruplamanın başarılı olmasının işareti, ikinci adımda iki grupta aynı parantezin ortaya çıkmasıdır. Parantezler farklı çıkarsa ya terimler yanlış eşleştirilmiştir ya da bir gruptan çıkan işaret yanlış seçilmiştir. Böyle bir durumda terimlerin yerini değiştirip başka bir eşleme denemek gerekir: birinci terimi ikinci yerine üçüncüyle eşlemek çoğu zaman sorunu çözer. İkinci grubun ilk terimi eksiyse dışarı alınan çarpanı da eksi seçmek, parantezlerin aynı çıkmasını sağlar.

Sayısal hesapta kullanmak

Kancadaki işlem bu dersin sayılardaki yüzüdür. 29 · 64 + 29 · 36 toplamında ortak çarpan 29'dur ve parantez içi 100 olur. Bu tür sorularda parantez içinin 10, 100 ya da 1000 gibi yuvarlak bir sayı vermesi tesadüf değildir; soru zaten bunun için kurulmuştur. Bir sayının karesinden aynı sayının başka bir sayıyla çarpımını çıkarmak da aynı biçimdedir: bir sayının karesi, o sayının kendisiyle çarpımı olduğundan ortak çarpan o sayıdır.

Üslü sayılarda da ortak paranteze alma işe yarar. 2^(n + 3) − 2ⁿ ifadesinde her iki terim 2ⁿ'yi içerir, çünkü 2^(n + 3) = 2ⁿ · 8'dir. İfade 2ⁿ(8 − 1) = 7 · 2ⁿ olur. Üslü denklemlerde bu adım, tabanı eşitlemenin mümkün olmadığı durumlarda bilinmeyeni yalnız bırakmanın yoludur.

Değer bulma ve sıfır çarpımı

Bir ifade çarpanlarına ayrıldığında, çarpanların değerleri bilinen ifadeler olduğu fark edilir. a²b + ab² ifadesi ab(a + b)'ye eşittir; ab ile a + b verilmişse a ve b'yi tek tek bulmaya gerek kalmaz. Soru kökünde verilen ifadeler, aranan ifadenin hangi çarpanlara ayrılması gerektiğini gösteren ipucudur.

Bir çarpım sıfıra eşitse çarpanlardan en az biri sıfırdır. x² + 5x = 0 denkleminde x ortak paranteze alınır: x(x + 5) = 0. Buradan x = 0 ya da x = −5 bulunur. Denklemin iki tarafını x'e bölmek ise x = 0 çözümünü kaybettirir; bilinmeyene bölmek yerine ortak paranteze almak bu yüzden daha güvenlidir.

Yöntemi seçmek

Bir çarpanlara ayırma sorusunda ilk adım her zaman bütün terimlerde ortak bir çarpan aramaktır; bu adım atlanırsa sonraki özdeşlikler de gözden kaçar. Ortak çarpan yoksa terim sayısına bakılır. Dört terim varsa gruplama denenir. Ortak çarpanı aldıktan sonra parantezin içine bir kez daha bakmak da gerekir: içeride yine ortak çarpan olabilir ya da sonraki derslerde göreceğin bir özdeşlik saklı olabilir. Seçeneklerle karşılaştırırken ise her seçeneği dağıtarak geri açmak, hangisinin baştaki ifadeye eşit olduğunu kesin biçimde gösterir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir ifadenin çarpanlarına ayrılmış biçimini, bir ifadenin çarpanlarından birini, ortak paranteze alınarak kısalan sayısal işlemleri, verilen değerlerle bir ifadenin değerini, üslü ifadelerde ortak çarpanla kurulan denklemleri ve ortak paranteze alınarak çözülen denklemleri ister.

Örnek 1 — En büyük ortak çarpan

Soru: 18a²b − 12ab² ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi hangisidir?

• A) 6ab(3a − 2b)
• B) 6a²b(3 − 2b)
• C) 3ab(6a − 4b)
• D) 6ab(3a + 2b)
• E) 2ab(9a − 6)

Çözüm: Katsayıların EBOB'u 6, a'nın ortak kuvveti a, b'nin ortak kuvveti b'dir. 18a²b : 6ab = 3a ve 12ab² : 6ab = 2b. Cevap: A.

Örnek 2 — Ters parantez

Soru: x(y − 4) − 3(4 − y) ifadesinin eşiti hangisidir?

• A) (x + 3)(y + 4)
• B) (4 − y)(x + 3)
• C) (y − 4)(3 − x)
• D) (y − 4)(x − 3)
• E) (y − 4)(x + 3)

Çözüm: −3(4 − y) = 3(y − 4) yazılır. İfade x(y − 4) + 3(y − 4) = (y − 4)(x + 3) olur. Cevap: E.

Örnek 3 — Gruplama

Soru: mn − 5m + 2n − 10 ifadesinin çarpanlarından biri hangisidir?

• A) m − 2
• B) n + 5
• C) n − 5
• D) m − 5
• E) n + 2

Çözüm: İlk ikisinden m, son ikisinden 2 çıkar: m(n − 5) + 2(n − 5) = (n − 5)(m + 2). Cevap: C.

Örnek 4 — Değer bulma

Soru: a + b = 6 ve ab = 4 olduğuna göre a²b + ab² + a + b toplamı hangi sayıya eşittir?

• A) 24
• B) 28
• C) 36
• D) 40
• E) 30

Çözüm: İlk iki terim ab(a + b), son ikisi (a + b)'dir; ifade (a + b)(ab + 1) = 6 · 5 = 30. Cevap: E.

• Ortak çarpanı en büyük seçmemek. Parantezin içinde ortak çarpan kalıyorsa ifade tam ayrılmamıştır.
• Kendisi ortak çarpan olan terimde 1'i unutmak. kc + k = k(c + 1); parantez içi yalnızca c değildir.
• Ters parantezde işareti kaçırmak. q − p = −(p − q); eksi katsayıya taşınmalıdır.
• Gruplamada ikinci grubun işaretini yanlış almak. Grubun ilk terimi eksiyse dışarı eksi bir çarpan alınır.
• Denklemde bilinmeyene bölmek. x² = kx denkleminde x'e bölmek x = 0 çözümünü kaybettirir.