Doğru ve ters orantı

Pazarda 2 kilogram domates 60 lira ise 4 kilogramı 120 liradır: alınan miktar iki katına çıkınca ödenen para da iki katına çıkar. Aynı gün şehirler arası bir otobüs, saatte 90 kilometreyle 4 saatte aldığı yolu saatte 60 kilometreyle 6 saatte alır: hız azalınca süre artar. İki örnekte de iki çokluk birlikte değişiyor ama yönleri farklı. Birincisinde çokluklar aynı yönde ve aynı oranda değişir; buna doğru orantı denir. İkincisinde biri artarken öteki aynı oranda azalır; buna ters orantı denir. Bir önceki derste oranı ve sabit bir orantıyı gördük. Bu derste değişen çoklukları inceliyoruz: hangi ilişkinin doğru, hangisinin ters olduğunu tanımayı, iki türün denklemini kurmayı, bir sayıyı doğru ya da ters orantılı parçalara ayırmayı ve ikiden fazla çokluğun birlikte değiştiği bileşik orantıyı.

• İki çokluk arasındaki ilişkinin doğru mu ters mi olduğunu bağlamdan tanırsın.
• Doğru orantıyı y = kx, ters orantıyı x · y = k biçiminde yazar ve bilinmeyen değeri bulursun.
• Bir sayıyı verilen sayılarla doğru ya da ters orantılı parçalara ayırırsın.
• İkiden fazla çokluğun birlikte değiştiği bileşik orantı problemlerini tek bir denklemle çözersin.

Doğru orantı

İki çokluktan biri kaç katına çıkınca öteki de aynı kata çıkıyorsa bu çokluklar doğru orantılıdır. Matematiksel olarak y/x oranı sabittir: y = kx. Bu k'ya orantı sabiti denir. Domates örneğinde k, kilogram başına fiyattır ve 30 liradır. Doğru orantılı iki çokluğun grafiği başlangıç noktasından geçen bir doğrudur; x sıfırken y de sıfırdır.

Doğru orantı problemlerinde iki yol vardır. Birincisi önce k'yı bulmaktır: x = 5 iken y = 8 ise k = 8/5 = 1,6'dır ve x = 15 için y = 24 olur. İkincisi bir önceki dersteki gibi orantı kurmaktır: 5/8 = 15/y. İki yol da aynı sonuca götürür; k'yı bulmak, aynı ilişki birden çok kez soruluyorsa daha hızlıdır.

Ters orantı

İki çokluktan biri kaç katına çıkınca öteki aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Bu durumda sabit olan, çarpımlarıdır: x · y = k. Otobüs örneğinde hız ile sürenin çarpımı her zaman yolun uzunluğunu, yani 360 kilometreyi verir. Hız 90'dan 60'a inince süre 360/60 = 6 saat olur.

Ters orantıda en yaygın hata, ilişkiyi doğru orantı gibi kurmaktır. "Daha çok yazıcı varsa iş daha kısa sürer" gibi bir cümle duyulduğunda çokluklardan birinin artmasının ötekini azalttığı fark edilmeli ve çarpımın sabit tutulduğu bir eşitlik yazılmalıdır. Ters orantılı iki çokluğun grafiği bir doğru değil, eksenlere yaklaşan bir eğridir.

Ters orantının yüzdelerle sorulduğu durumlarda da çarpım sabit kalır. x yüzde 50 artarak 1,5 katına çıkarsa y'nin 1/1,5 = 2/3 katına inmesi gerekir; yani y, üçte bir oranında azalır. Artışın yüzdesi ile azalışın yüzdesi aynı değildir.

Hangi ilişki hangisi?

Bir problemde ilişkinin türünü belirlemek için "biri artınca öteki ne olur?" sorusu sorulur. Alınan mal miktarı arttıkça ödenecek para artar: doğru orantı. Bir yolu alan aracın hızı arttıkça süre azalır: ters orantı. Bir işi yapan makine sayısı arttıkça işin süresi azalır: ters orantı. Bir dişli çarkın diş sayısı arttıkça aynı sürede yaptığı devir sayısı azalır, çünkü birbirine geçen iki çarkta diş sayısı ile devir sayısının çarpımı eşittir.

Her birlikte değişen çokluk orantılı değildir. Bir insanın yaşı ile boyu birlikte artar ama boy yaşla aynı oranda artmaz. Orantıdan söz edebilmek için oranın ya da çarpımın sabit kalması gerekir.

Kuvvetlerle ve köklerle orantı

Bir çokluk ötekinin kendisiyle değil karesiyle, karekökü ya da başka bir kuvvetiyle orantılı olabilir. "a, b² ile doğru orantılıdır" cümlesi a = k · b² demektir. b üç katına çıkınca a dokuz katına çıkar. "a, √b ile ters orantılıdır" cümlesi a · √b = k demektir. Bu sorularda yapılacak iş, orantıdaki ifadeyi olduğu gibi yerine koymaktır; b'nin kendisiyle çalışmak yanlış sonuç verir.

Bir sayıyı orantılı parçalara ayırmak

Bir sayıyı 1, 2 ve 3 ile doğru orantılı parçalara ayırmak, onu 1:2:3 oranında bölüştürmektir. 600 için parçalar 100, 200 ve 300'dür. Ters orantılı ayırmada ise sayılar terslerine çevrilir. 180 sayısı 3 ve 6 ile ters orantılı iki parçaya ayrılacaksa oran 1/3:1/6 olur; paydalar eşitlenince 2:1 bulunur ve parçalar 120 ile 60'tır. Ters çevirmeyi unutup sayıları doğrudan oran almak, en büyük ve en küçük parçaların yer değiştirmesine yol açar: ters orantıda en büyük sayıya en küçük parça düşer.

Bileşik orantı

Bazen bir sonuç birden fazla çokluğa bağlıdır. Bir atölyede üretilen parça sayısı, makine sayısıyla ve çalışma süresiyle doğru orantılıdır. Bu tür problemlerde sonuç, her çokluğun etkisi ayrı ayrı uygulanarak bulunur. 2 makine 3 saatte 120 parça üretiyorsa 4 makine 5 saatte 120 · (4/2) · (5/3) = 400 parça üretir. Doğru orantılı her çokluk kendi büyüme oranıyla, ters orantılı her çokluk kendi büyüme oranının tersiyle çarpılır.

Bileşik orantıyı tek bir eşitlikle de yazmak mümkündür. Üretilen parça sayısı, makine sayısı ile sürenin çarpımına bölünürse sabit bir değer çıkar; bu değer bir makinenin bir saatteki üretimidir. İki durum için bu sabit eşitlenir ve bilinmeyen bulunur.

Yetecek miktar problemleri

Belli sayıda kişiye belli gün yetecek bir erzak, kişi sayısı değişince farklı sayıda gün yeter. Kişi sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır, çünkü toplam erzak miktarı, kişi sayısı ile gün sayısının çarpımıyla ölçülür. Soru bir süre geçtikten sonra kişi sayısının değiştiğini söylüyorsa önce kalan erzak hesaplanır: geçen günlerde tüketilen kısım düşülür, ardından kalan miktar yeni kişi sayısına bölünür.

Tabloyla denetlemek

İki çokluğun ilişkisi bir tabloyla verildiğinde türünü anlamak için iki hesap yapılır. Her satırda y'nin x'e bölümü aynı çıkıyorsa ilişki doğru orantıdır. Her satırda x ile y'nin çarpımı aynı çıkıyorsa ilişki ters orantıdır. İkisi de sabit değilse çokluklar orantılı değildir; birlikte artıyor ya da azalıyor olmaları bu sonucu değiştirmez. Bu denetim, bir problemin kurulumunu doğrulamak için de kullanılır: bulduğun cevabı tabloya ekleyip oran ya da çarpımın korunup korunmadığına bakmak, işlemi tersinden sınamanın kısa bir yoludur.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri doğru ve ters orantılı çoklukların bilinmeyen değerini, ilişkinin türünü, kuvvet ve köklerle kurulan orantıları, bir sayının doğru ya da ters orantılı parçalarını, dişli çarkları, bileşik orantıyı ve yetecek miktar hesaplarını ister.

Örnek 1 — Doğru orantı

Soru: 3 metre kumaş 84 lira ise aynı kumaşın 7 metresi kaç liradır?

• A) 168
• B) 196
• C) 252
• D) 210
• E) 180

Çözüm: Metre fiyatı 84/3 = 28 liradır; 7 metre 7 · 28 = 196 lira. Cevap: B.

Örnek 2 — Ters orantı

Soru: Bir yolu saatte 75 km hızla 6 saatte alan araç, saatte 90 km hızla bu yolu kaç saatte alır?

• A) 7,2
• B) 4,5
• C) 5
• D) 6
• E) 4

Çözüm: Hız ile sürenin çarpımı yolu verir: 75 · 6 = 450 km. 450/90 = 5 saat. Cevap: C.

Örnek 3 — Doğru orantılı parçalar

Soru: 540 sayısı 1, 4 ve 5 ile doğru orantılı üç parçaya ayrılırsa en büyük parça kaç olur?

• A) 216
• B) 54
• C) 300
• D) 270
• E) 180

Çözüm: Oran sayılarının toplamı 10'dur; k = 54 ve en büyük parça 5 · 54 = 270. Cevap: D.

Örnek 4 — Bileşik orantı

Soru: 3 makine 4 saatte 360 parça üretiyor. Aynı hızda çalışan 5 makine 6 saatte kaç parça üretir?

• A) 600
• B) 750
• C) 540
• D) 1080
• E) 900

Çözüm: Makine sayısı 5/3 katına, süre 6/4 katına çıkar: 360 · (5/3) · (3/2) = 900. Cevap: E.

• Ters orantıyı doğru orantı gibi kurmak. Biri artınca öteki azalıyorsa çarpım sabittir.
• Ters orantılı ayırmada sayıları ters çevirmemek. En büyük sayıya en küçük parça düşer.
• Kuvvetli orantıda kuvveti unutmak. a, b² ile orantılıysa b'nin karesi kullanılır.
• Yüzde değişimini simetrik sanmak. x iki katına çıkarsa ters orantılı y yüzde 100 değil, yüzde 50 azalır.
• Yetecek miktar sorularında geçen günleri düşmemek. Önce kalan erzak bulunur.