Paydayı rasyonel yapma

1/√2 kaç eder? √2'nin yaklaşık 1,414 olduğunu biliyorsan bile 1'i 1,414'e bölmek hesap makinesiz zahmetli bir iştir. Oysa kesrin payını ve paydasını √2 ile çarparsan √2/2 elde edersin ve bu, 1,414'ün yarısı, yani 0,707'dir. Aynı sayıyı iki farklı yazılışla gösterdik; ikincisinde payda bir tam sayıdır ve hesap kolaydır. Paydadaki köklü ifadeyi tam sayıya çevirmeye paydayı rasyonel yapma denir. Matematikte bir sonucu sadeleşmiş biçimde yazmanın kuralı da budur: paydada kök bırakılmaz. Önceki derslerde kök dışına çıkarmayı ve iki kare farkını gördük. Bu derste tek terimli ve iki terimli paydaları rasyonel yapmayı, küpköklü paydaları, bu yöntemle kurulan kesir toplamlarının nasıl birbirini götürdüğünü ve paydası köklü iki sayının toplamını işliyoruz.

• Paydası tek terimli karekök olan kesirleri, önce sadeleştirip sonra uygun kökle genişleterek rasyonel yaparsın.
• Paydası iki terimli köklü ifade olan kesirleri eşleniğiyle genişletirsin.
• Paydası küpkök olan kesirleri, payda tam küp olacak biçimde genişletirsin.
• Eşlenik yöntemiyle kurulan uzun toplamların ardışık terimlerinin birbirini götürdüğünü görür ve sonucu bulursun.

Neden paydayı rasyonel yaparız?

Paydada köklü bir sayı kalan bir kesir, bir sayı olarak yanlış değildir, ama hem hesaplamayı hem karşılaştırmayı zorlaştırır. Kanca bunun bir örneğiydi: bir tam sayıya bölmek, bir köke bölmekten her zaman kolaydır. Ayrıca sınav seçenekleri neredeyse her zaman paydası rasyonel biçimde verilir. Kendi bulduğun sonucun paydasında kök kaldıysa seçeneklerle eşleştirmek için bu dönüşümü yapman gerekir.

Yöntemin özü, kesrin değerini değiştirmeden biçimini değiştirmektir. Bir kesrin payını ve paydasını aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpmak kesri genişletir ama değerini korur. Bu derste yapılan bütün işlemler, bu sayıyı paydadaki kökü ortadan kaldıracak biçimde seçmekten ibarettir.

Tek terimli karekök

Payda √a ise pay ve payda √a ile çarpılır; payda √a · √a = a olur. 6/√3 = 6√3/3 = 2√3'tür. Payda √3 değil de 2√3 gibi katsayılı bir köklüyse yine yalnızca √3 ile genişletmek yeterlidir: 5/(2√3) = 5√3/6.

Paydadaki kök sadeleşebiliyorsa önce sadeleştirmek hesabı küçültür. 10/√50 için önce √50 = 5√2 yazılır; 10/(5√2) = 2/√2 olur ve √2 ile genişletince 2√2/2 = √2 bulunur. Doğrudan √50 ile genişletmek de aynı sonuca götürür, ama daha büyük sayılarla uğraşmayı gerektirir.

Kesrin içi köklüyse, √(3/5) gibi, pay ve paydanın kökleri ayrı yazılır: √3/√5. Sonra √5 ile genişletilir: √15/5.

İki terimli payda: eşlenik

Payda √m − √n ya da √m + √n gibi iki terimliyse tek bir kökle genişletmek işe yaramaz; çarpım yine iki terimli kalır. Burada iki kare farkı kullanılır: (√m − √n)(√m + √n) = m − n. √m − √n ile √m + √n birbirinin eşleniğidir. Payda eşleniğiyle çarpılınca kökler kaybolur ve payda bir tam sayıya dönüşür.

1/(√7 − √3) için pay ve payda √7 + √3 ile çarpılır; payda 7 − 3 = 4 olur ve sonuç (√7 + √3)/4'tür. Terimlerden biri tam sayı olduğunda da aynı yol izlenir: 4/(√3 − 1) eşleniği √3 + 1 ile genişletilir, payda 3 − 1 = 2 olur ve sonuç 4(√3 + 1)/2 = 2√3 + 2'dir.

Paydanın 1 çıktığı durumlar özellikle zariftir. 1/(√10 − 3) için payda 10 − 9 = 1 olur ve sonuç doğrudan √10 + 3'tür. Farkları 1 olan iki sayının karekökleri arasındaki fark ve toplam birbirinin tersidir.

Küpköklü payda

Payda ∛a ise karekökteki gibi ∛a ile çarpmak yetmez; ∛a · ∛a = ∛(a²) hâlâ köklüdür. Paydanın tam küp olması için payda ∛(a²) ile çarpılır: ∛a · ∛(a²) = ∛(a³) = a. 1/∛2 = ∛4/2'dir. Genel ilke, paydadaki kökün içini derecesi kadar kuvvete tamamlamaktır. Dördüncü dereceden bir kökte de aynı fikir işler: 1/⁴√2 için payda ⁴√8 ile çarpılır, çünkü 2 · 8 = 16 = 2⁴ olur ve payda 2'ye iner. Hangi çarpanın gerektiğini bulmak için kökün içindeki sayının, derece kadar kuvvete ulaşması için neyle çarpılması gerektiğine bakılır.

Birbirini götüren toplamlar

Eşlenik yöntemi, uzun ve korkutucu görünen bazı toplamları birkaç saniyede çözer. 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√8 + √9) toplamında her terimin paydası ardışık iki sayının kareköklerinin toplamıdır. Her terim eşleniğiyle genişletilince payda 1 olur ve terim √(k + 1) − √k biçimine döner. Toplam (√2 − √1) + (√3 − √2) + … + (√9 − √8) olur; ortadaki bütün terimler sadeleşip yok olur; elde √9 − √1 = 3 − 1 = 2 kalır.

Bu, kesirlerdeki farka ayırma yöntemine çok benzer; orada da her terim iki parçaya ayrılıyor ve komşu terimlerin parçaları birbirini siliyordu. Toplamın ilk ve son terimini bilmek sonucu bulmak için yeterlidir; aradaki terimlerin sayısı ne kadar çok olursa olsun hesap aynı kalır.

Doğru eşleniği seçmek

Eşlenik, paydadaki iki terimin arasındaki işaretin tersine çevrilmiş hâlidir; terimlerin kendisi değişmez. 3 + √2'nin eşleniği 3 − √2, √11 − √7'nin eşleniği √11 + √7'dir. Paydanın eşleniğiyle çarpımı her zaman birinci terimin karesi eksi ikinci terimin karesidir. Bu çarpımı yazmadan önce sonucun bir tam sayı olacağını bilmek, işlemi denetlemenin en hızlı yoludur: çarpım hâlâ kök içeriyorsa yanlış bir eşlenik seçilmiştir. Eşlenikle yalnızca payda değil pay da çarpılır; pay tek bir sayıysa sonuçta o sayı eşleniğin katsayısı olarak görünür.

Karşılaştırmada kullanmak

Paydayı rasyonel yapmak, görünüşte farklı iki sayının aslında eşit olduğunu göstermenin de yoludur. 1/(√3 + √2) ile √3 − √2 aynı sayıdır, çünkü birincinin paydası eşleniğiyle çarpılınca ikinci elde edilir. Bu yüzden 1/(√3 + √2) + √2 toplamı doğrudan √3'e eşittir. Benzer biçimde iki kesirden hangisinin büyük olduğunu bulmak için ikisinin de paydasını rasyonel yapıp ortaya çıkan sayıları karşılaştırmak, çoğu zaman köklü kesirleri doğrudan karşılaştırmaktan kolaydır. Sınav sorularında böyle bir dönüşüm yapılması gerektiğinin işareti, payda ile başka bir terim arasındaki eşlenik ilişkisidir.

Soru kökleri

Bu dersin problemleri bir kesrin paydası rasyonel hâlini, eşlenikle genişletme sonucunu, küpköklü paydaları, birbirini götüren toplamları ve paydası köklü kesirlerle yapılan işlemleri ister. Her soruda önce paydanın tek mi iki terimli mi olduğuna, derecesinin iki mi üç mü olduğuna bak.

Örnek 1 — Tek terim

Soru: 6/√3 ifadesinin paydası rasyonel hâli hangisidir?

• A) 2√3
• B) 2
• C) √3/2
• D) 6√3
• E) 3√2

Çözüm: √3 ile genişletilir: 6√3/3 = 2√3. Cevap: A.

Örnek 2 — Eşlenik

Soru: 4/(√3 − 1) ifadesinin paydası rasyonel hâli nedir?

• A) √3 − 1
• B) 4√3 + 4
• C) √3 + 1
• D) 2√3 + 2
• E) 2√3 − 2

Çözüm: √3 + 1 ile genişletilir; payda 3 − 1 = 2 olur. 4(√3 + 1)/2 = 2√3 + 2. Cevap: D.

Örnek 3 — Küpkök

Soru: 2/∛4 ifadesinin paydası rasyonel hâli hangisidir?

• A) ∛4
• B) 2∛2
• C) ∛2
• D) 2/∛4
• E) ∛16

Çözüm: Paydadaki ∛4, ∛(2²) demektir; ∛2 ile genişletilince payda ∛8 = 2 olur. 2∛2/2 = ∛2. Cevap: C.

Örnek 4 — Toplam

Soru: 1/(√1 + √2) + 1/(√2 + √3) + … + 1/(√24 + √25) toplamı kaçtır?

• A) 5
• B) 24
• C) 1
• D) √24
• E) 4

Çözüm: Her terim √(k + 1) − √k'ye döner; geriye √25 − √1 = 4 kalır. Cevap: E.

• Yalnızca paydayı çarpmak. Pay da aynı ifadeyle çarpılmalıdır.
• İki terimli paydayı tek kökle genişletmek. Eşlenik gerekir.
• Küpköklü paydayı aynı kökle genişletmek. ∛a için ∛(a²) gerekir.
• Eşlenikte işareti yanlış seçmek. √m − √n'nin eşleniği √m + √n'dir.
• Sonucu sadeleştirmeyi unutmak. 4(√3 + 1)/2 sadeleşince 2√3 + 2 olur.